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版新课标名师导学高考第一轮总复习理科数学第一章集合常用逻辑第1讲集合及其运算
第一章 集合、常用逻辑用语、算法初步及框图
【p1】
第1讲 集合及其运算
夯实基础 【p2】
【学习目标】
1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题,理解集合中元素的互异性;
2.理解集合之间包含和相等的含义,能识别给定集合的子集,了解在具体情境中全集与空集的含义;
3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
4.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算.
【基础检测】
1.已知集合M={0,1},则下列关系式中,正确的是( )
A.{0}∈MB.{0}∉M
C.0∈MD.0⊆M
【解析】由题可知:
元素与集合只有属于与不属于关系,集合与集合之间有包含关系,所以可得0∈M正确.
【答案】C
2.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x>2},则A∪B=( )
A.(-1,3)B.(2,3)
C.(-1,+∞)D.(2,+∞)
【解析】∵集合A={x|-1<x<3},B={x|x>2},
∴A∪B={x|x>-1}.
【答案】C
3.设集合A={x|x2-3x>0},B={x||x|<2},则A∩B=( )
A.(-2,0)B.(-2,3)
C.(0,2)D.(2,3)
【解析】∵集合A={x|x2-3x>0}={x|x<0或x>3}=(-∞,0)∪(3,+∞),B={x||x|<2}={x|-2<x<2}=(-2,2),∴A∩B=(-2,0).
【答案】A
4.已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},若A⊆B,则a的值为( )
A.-2B.-1C.0D.1
【解析】因为{0,1}⊆{-1,0,a+3},所以a+3=1,解得a=-2.
【答案】A
5.已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6<0},B={1,2,3,4},则Venn图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{1,2}B.{2,3}
C.{3,4}D.{2,3,4}
【解析】由题意A={x|-2 【答案】C 【知识要点】 1.集合的含义与表示 (1)一般地,我们把研究对象统称为__元素__,把一些元素组成的总体叫__集合__,简称为集. (2)集合中的元素的三个特征: __确定性__、__互异性__、__无序性__. (3)集合的表示方法有: __列举法__、__描述法__、__图示法__、__区间法__. (4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种,分别用“__∈__”与“__∉__”来表示. (5)常用的数集: 自然数集N;正整数集N*(或N+);整数集Z;有理数集Q;实数集R. 2.集合之间的关系 (1)一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素__都是__集合B中的元素,我们就说这两个集合有__包含__关系,称集合A为集合B的__子集__,记作__A⊆B(或B⊇A)__;若A⊆B,且A≠B,则AB,我们就说A是B的真子集. (2)不含任何元素的集合叫做__空集__,记作__∅__,它是__任何一个集合的子集__,是任何一个__非空集合的真子集__,即∅⊆A,∅B(B≠∅). 3.集合的基本运算 (1)并集: A∪B={x|x∈A__或__x∈B}; (2)交集: A∩B={x|x∈A__且__x∈B}; (3)补集: ∁UA=__{x|x∈U且x∉A}__. 4.集合的运算性质 (1)A∩B=A⇔A⊆B,A∩A=A,A∩∅=∅; (2)A∪B=A⇔A⊇B,A∪A=A,A∪∅=A; (3)A⊆B,B⊆C,则A⊆C; (4)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB),A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A; (5)A⊆B,B⊆A,则A=B. 典例剖析 【p2】 考点1 集合的基本概念 (1)对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的是( ) A.{x|x是小于18的正奇数} B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5} C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5} D.{x|x=4s-3,s∈N*,且s≤5} 【解析】A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外,还有3,7,11,15;B中集合当k取负数时,多出了若干元素;C中集合当t=0时多了-3这个元素,只有D正确. 【答案】D (2)已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的,且2∈A,则实数m的值为( ) A.2B.3 C.0或3D.0或2或3 【解析】因为2∈A,所以m=2或m2-3m+2=2,解得m=0或m=2或m=3.又集合中的元素要满足互异性,对m的所有取值进行一一检验可得只有m=3符合. 【答案】B (3)若集合A={x|mx2+2x+m=0,m∈R}中有且只有一个元素,则m的取值集合是( ) A.{1}B.{-1} C.{0,1}D.{-1,0,1} 【解析】当m=0时,A={x|2x=0}={0},满足题意; m≠0时,Δ=4-4m2=0,m=±1. 综上m的取值集合是{-1,0,1}. 【答案】D 【点评】 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集,还是其他类型集合; (2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. 考点2 集合间的基本关系 (1)已知集合A={x|y=ln(x+3)},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( ) A.A=BB.A∩B=∅ C.A⊆BD.B⊆A 【解析】由集合A中的函数y=ln(x+3), 得到x+3>0,即x>-3,∴A=(-3,+∞), ∵B={x|x≥2}=[2,+∞), ∴A≠B,A∩B=[2,+∞), ∴B⊆A. 【答案】D (2)若集合{a,0,1}= ,则a=______,b=______. 【解析】∵0∈ ,∴c=0,从而 =1,即b=1,∴a=-1. 【答案】-1;1 (3)已知集合A={x|x2-3x-4≤0},B={x|x≤a},若A∪B=B,则实数a的取值范围是( ) A.(4,+∞)B.[4,+∞) C.(-∞,4)D.(-∞,4] 【解析】集合A={x|x2-3x-4≤0}={x|-1≤x≤4}=[-1,4],B={x|x≤a}, 若A∪B=B,则A⊆B,所以a≥4, ∴实数a的取值范围是[4,+∞). 【答案】B 【点评】已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 考点3 集合的基本运算 (1)设集合A={-1,0,1,2,3},B={x|x2-3x<0},则A∩B=( ) A.{-1}B.{1,2} C.{1,2,3}D.{0,-1,3} 【解析】由题得B={x|0<x<3},所以A∩B={1,2}. 【答案】B (2)已知全集U=R,集合A={x|x2-2x-3>0},则∁UA=________. 【解析】由已知得,A={x|x2-2x-3>0}=(-∞,-1)∪(3,+∞),又全集为R,根据补集的定义可得∁UA=[-1,3]. 【答案】[-1,3] (3)设全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={x|x2-x-2=0},B={0,2},则B∪(∁UA)=( ) A.{0}B.{-2,0,1,2} C.{-1,0,2}D.{-1,0,1,2} 【解析】由题得A={-1,2},所以∁UA={0,1,-2},所以B∪(∁UA)={-2,0,1,2}. 【答案】B (4)设全集U为实数集R,集合A={x|y=ln(3-2x)},B={y|(y-1)(y-3)≤0},则图中阴影部分所表示的集合为( ) A. ∪ B. C. D. ∪ 【解析】由题意可得: A= ,B=[1,3], 图中阴影部分表示集合∁U , 其中A∩B= , 则∁U = ∪ . 【答案】A 【点评】 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况; (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化. 考点4 集合中的创新问题 (1)定义一种集合运算A⊗B={x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)},设M={x||x|<2},N={x|x2-4x+3<0},则M⊗N用区间表示为________. 【解析】M={x||x|<2}=(-2,2),N={x|x2-4x+3<0}=(1,3), ∴M∪N=(-2,3),M∩N=(1,2), ∴M⊗N=(-2,1]∪[2,3). 【答案】(-2,1]∪[2,3) (2)S(A)表示集合A中所有元素的和,且A⊆ ,若S(A)能被3整除,则符合条件的非空集合A的个数是( ) A.10B.11C.12D.13 【解析】因为A⊆ ,所以符合条件的非空集合A可以是: , , , , , , , , , , ,共11个. 【答案】B 【点评】解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点: (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在; (2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质. 方法总结 【p3】 1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现. 4.解题中要明确集合中元素的特征,关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算. 5.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 6.解题时注意区分两大关系: 一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 7.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心. 走进高考 【p3】 1.(2018·全国卷Ⅲ)集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( ) A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2} 【解析】由题意知,A={x|x≥1},所以A∩B={1,2}. 【答案】C 2.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA=( ) A.{x|-1 B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 【解析】A={x|x2-x-2>0}={x|x<-1或x>2},所以∁RA={x|-1≤x≤2}. 【答案】B 3.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( ) A.9B.8C.5D.4 【解析】∵x2+y2≤3,∴x2≤3,∵x∈Z,∴x=-1,0,1, 当x=1时,y=-1,0,1; 当x=0时,y=-1,0,1; 当x=-1时,y=-1,0,1, 所以共有9个. 【答案】A 考点集训 【p175】 A组题 1.集合{x∈N|x-3<2}用列举法表示是( ) A.{1,2,3,4}B.{1,2,3,4,5} C.{0,1,2,3,4,5}D.{0,1,2,3,4} 【解析】由题意x<5,又x∈N,∴集合为{0,1,2,3,4}. 【答案】D 2.下列各式: ①1∈{0,1,2};②∅⊆{0,1,2};③{1}∈{0,1,2};④{0,1,2}={2,0,1},其中错误的个数是( ) A.1个B.2个 C.3个D.4个 【解析】对于①,由元素与集合的关系的可得正确;对于②,由空集是任何集合的子集知正确;对于③,根据集合间的关系知不正确;对于④,由于集合的元素具有无序性知正确. 【答案】A 3.设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|-1<x<3},则( ) A.A=BB.A⊇B C.A⊆BD.A∩B=∅ 【解析】∵A={x|x2-4x+3<0}={x|1 B={x|-1 【答案】C 4.设全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={x|x2+x-2=0},则∁UA=( ) A.{-1,2}B.{-2,0,1} C.{-2,1}D.{-1,0,2} 【解析】集合A={x|(x+2)(x-1)=0}={-2,1}, 因为全集U={-2,-1,0,1,2}, 所以∁UA={-1,0,2}. 【答案】D 5.设全集U=R,集合A={x|1 A.{x|1≤x<2}B.{x|1 C.{x|x<2}D.{x|x≥5} 【解析】∁UB={x|x<2或x≥5}, 故A∩(∁UB)={x|1 【答案】B 6.设全集U=R,集合A={x|x-1≤0},集合B={x|x2-x-6<0},则下图中阴影部分表示的集合为( ) A.{x|x<3}B.{x|-3 C.{x|x<2}D.{x|-2<x≤1} 【解析】由题意可得: A={x|x≤1},B={x|-2 又由图可知,阴影部分表示的集合为A∩B, ∴A∩B={x|-2<x≤1}. 【答案】D 7.设A={x|1<x<4},B={x|x-a>0},若A⊆B,则a的取值范围是________. 【解析】由题意B={x|x>a},∵A⊆B,∴a≤1. 【答案】(-∞,1] 8.已知集合A={2,4},B={a,a2+3},若A∩B={2},则实数a的值为________. 【解析】集合A={2,4},B={a,a2+3}, 若A∩B={2},则a=2或a2+3=2(无解). 所以a=2,此时B={2,7}. 【答案】2 B组题 1.设集合M={x|x≥4},a= ,则下列关系中正确的是( ) A.a∈MB.a∉M C.{a}∈MD.{a}∉M 【解析】∵4> ,∴a∉M. 【答案】B 2.已知m,n∈R,集合A={2,log7m},集合B={m,n},若A∩B={0},则m-n=( ) A.1B.2C.4D.8 【解析】因为A∩B={0},故0∈A,0∈B,所以log7m=0,故m=1, 又n=0,因此m-n=1. 【答案】A 3.设A,B是非空集合,定义A⊗B={x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)},已知M={y|y=-x2+2x,0 【解析】由已知,M={y|y=-x2+2x,0 N={y|y=2x-1,x>0}= , 所以M∪N=(0,+∞),M∩N= , 所以M⊗N= ∪(1,+∞). 【答案】 ∪(1,+∞) 4.设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},若A∩B=B,求实数a的取值范围. 【解析】∵A∩B=B,∴B⊆A, ∵A={0,-4}, ∴B=∅,或B={0},或B={-4},或B={0,-4}. 当B=∅时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数根, 则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,整理得a+1<0,解得a<-1; 当B={0}时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有两等根均为0,则 解得a=-1; 当B={-4}时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有两等根均为-4,则 无解; 当B={0,-4}时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根分别为0,-4,则 解得a=1. 综上所述: a≤-1或a=1. 备课札记
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