高考数学一轮复习 立体几何配套文档第八章 81.docx
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高考数学一轮复习立体几何配套文档第八章81
§8.1 空间几何体的结构、直观图和三视图
2014高考会这样考
1.几何体作为线面关系的载体,其结构特征是必考内容;2.考查三视图、直观图及其应用.
复习备考要这样做
1.重点掌握以三视图为命题背景,研究空间几何体的结构特征的题型;2.熟悉一些典型的几何体模型,如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图.
1.多面体的结构特征
多面体
结构特征
棱柱
有两个面互相平行,而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行.
棱锥
有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
棱台
棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分.
2.旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
矩形的一边所在的直线
圆锥
直角三角形
直角三角形的一直角边所在的直线
圆台
直角梯形
直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
半圆直径所在的直线
3.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则:
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°或135°,z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原来的一半.
4.空间几何体的三视图
(1)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形.
(2)三视图的特点:
三视图满足“长对正、高平齐、宽相等”或说“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”.
[难点正本 疑点清源]
1.正棱柱:
侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形.
2.正棱锥:
底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.反过来,正棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.
3.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系:
S直观图=
S原图形,S原图形=2
S直观图.
4.空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影,并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形.
1.利用斜二测画法得到的以下结论,正确的是__________.(写出所有正确的序号)
①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形;④圆的直观图是椭圆;⑤菱形的直观图是菱形.
答案 ①②④
解析 ①正确;由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确;但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直,故③错;④正确;⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等,故错误.
2.一个几何体的主视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的________.(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱.
答案 ①②③⑤
解析 ①存在可以得主视图为三角形的情况;②四棱锥,若底面是矩形,有一侧棱垂直于底面可以得主视图为三角形;③三棱柱,把侧面水平放置,正对着底面看,得主视图为三角形;④四棱柱,不论从哪个方向看都得不出三角形;⑤圆锥的底面水平放置,主视图是三角形;⑥圆柱从不同方向看是矩形或圆,不可能是三角形.
3.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( )
A.圆柱B.圆锥
C.球体D.圆柱、圆锥、球体的组合体
答案 C
解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为矩形和三角形,只有球满足任意截面都是圆面.
4.(2012·湖南)某几何体的主视图和左视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( )
答案 C
解析 根据几何体的三视图知识求解.
由于该几何体的主视图和左视图相同,且上部分是一个矩形,矩形中间无实线和虚线,因此俯视图不可能是C.
5.如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是( )
答案 B
解析 通过观察图形,三棱锥的主视图应为高为4,底面边长为3的直角三角形.
题型一 空间几何体的结构特征
例1
设有以下四个命题:
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;
②底面是矩形的平行六面体是长方体;
③直四棱柱是直平行六面体;
④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.
其中真命题的序号是________.
思维启迪:
利用有关几何体的概念判断所给命题的真假.
答案 ①④
解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的.底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②是错误的.因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故命题③是错误的.命题④由棱台的定义知是正确的.
探究提高 解决该类题目需准确理解几何体的定义,要真正把握几何体的结构特征,并且学会通过反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,设法举出一个反例即可.
以下命题:
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;
④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
其中正确命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
答案 B
解析 命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥.命题②错,因这腰必须是垂直于两底的腰.命题③对.命题④错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行.
题型二 几何体的三视图
例2
如图,某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形,且体积为
,则该几何体的俯视图可以是( )
思维启迪:
对于三视图的有关问题,一定要抓住“投影”这个关键词,把握几何体的形状.
答案 C
解析 若该几何体的俯视图是选项A,则该几何体的体积为1,不满足题意;若该几何体的俯视图是选项B,则该几何体的体积为
,不满足题意;若该几何体的俯视图是选项C,则该几何体的体积为
,满足题意;若该几何体的俯视图是选项D,则该几何体的体积为
,不满足题意.故选C.
探究提高 对于几何体的三视图,要注意以下几点:
(1)三视图的排放位置.
主视图、左视图分别放在左、右两边,俯视图放在主视图的下边.
(2)注意实虚线的区别.
(3)画三视图的规则:
长对正,宽平齐,高相等.
一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的主视图与左视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为( )
答案 C
解析 由三视图中的主、左视图得到几何体的直观图如图所示,所以该几何体的俯视图为C.
题型三 空间几何体的直观图
例3
已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形,求原△ABC的面积.
思维启迪:
按照直观图的画法,建立适当的坐标系将三角形A′B′C′还原,并利用平面几何的知识求出相应的线段、角,求解时要注意线段和角的变化规律.
解
建立如图所示的坐标系xOy′,△A′B′C′的顶点C′在y′
轴上,A′B′边在x轴上,
把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴,在y轴上取点C使OC=
2OC′,A、B点即为A′、B′点,长度不变.
已知A′B′=A′C′=a,在△OA′C′中,
由正弦定理得
=
,
所以OC′=
a=
a,
所以原三角形ABC的高OC=
a,
所以S△ABC=
×a×
a=
a2.
探究提高 对于直观图,除了了解斜二测画法的规则外,还要了解原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′=
S,并能进行相关问题的计算.
正三角形AOB的边长为a,建立如图所示的直角坐标系xOy,则它的直观图的面积是________.
答案
a2
解析 正三角形AOB的面积为
a2,其直观图的面积为原图形面积的
倍,故它的直观图的面积等于
·
a2=
a2.
三视图识图不准确致误
典例:
(5分)一个空间几何体的三视图,如图所示,则这个空间几何体的表面积是________.
易错分析 不能把三视图反映出的空间几何体的形状、大小准确的还原出来.
审题视角 由三视图还原成直观图或几何体,要注意几何体的不同放置;结合三视图的规则综合考虑,正确得到原几何体.
解析 这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体,其表面积是圆柱的上下两个底面半圆、圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和,故这个表面积是2×
×π×12+
×2π×1×2+2×2+4π×
2=4π+4.
答案 4π+4
温馨提醒 在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要从三个视图综合考虑,根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时,一般是以主视图和俯视图为主,结合左视图进行综合考虑.
方法与技巧
1.棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.
2.旋转体要抓住“旋转”特点,弄清底面、侧面及展开图形状.
3.三视图画法:
(1)实虚线的画法:
分界线和可见轮廓线用实线,看不见的轮廓线用虚线;
(2)理解“长对正、宽平齐、高相等”.
4.直观图画法:
平行性、长度两个要素.
失误与防范
1.台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面与底面平行.
2.注意空间几何体的不同放置对三视图的影响.
3.能够由空间几何体的三视图得到它的直观图;也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图,提升空间想象能力.
A组 专项基础训练
(时间:
35分钟,满分:
57分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.给出四个命题:
①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱;②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体;③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱;④长方体一定是正四棱柱.
其中正确的命题个数是( )
A.0B.1C.2D.3
答案 A
解析 反例:
①直平行六面体底面是菱形,满足条件但不是正棱柱;②底面是等腰梯形的直棱柱,满足条件但不是长方体;③④显然错误,故选A.
2.(2012·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是
( )
A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱
答案 D
解析 考虑选项中几何体的三视图的形状、大小,分析可得.
球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等,首先排除选项A和C.
对于如图所示三棱锥O-ABC,
当OA、OB、OC两两垂直且OA=OB=OC时,
其三视图的形状都相同,大小均相等,故排除选项B.
不论圆柱如何设置,其三视图的形状都不会完全相同,
故答案选D.
3.(2011·课标全国)在一个几何体的三视图中,主视图和俯视图如图所示,则相应的左视图可以为( )
答案 D
解析 由几何体的主视图和俯视图可知,该几何体的底面为半圆和等腰三角形,其左视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形,故应选D.
4.如图是一个物体的三视图,则此三视图所描述物体的直观图是( )
答案 D
解析 由俯视图可知是B和D中的一个,由主视图和左视图可知B错.
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形,原三角形的面积为________.
答案
解析 由斜二测画法,知直观图是边长为1的正三角形,其原图是一个底为1,高为
的三角形,所以原三角形的面积为
.
6.
如图所示,E、F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的面ADD1A1、面
BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投
影是________.(填序号)
答案 ②
解析 四边形在面DCC1D1上的投影为②,B在面DCC1D1上的投影为C,F、E在面DCC1D1上的投影应在边CC1与DD1上,而不在四边形的内部,故①③④错误.
7.图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图,则h=________cm.
答案 4
解析 如图是三视图对应的直观图,这是一个三棱锥,其中SA⊥平面
ABC,BA⊥AC.
由于V=
S△ABC·h=
×
×5×6×h=5h,∴5h=20,∴h=4.
三、解答题(共22分)
8.(10分)一个几何体的三视图及其相关数据如图所示,求这个几何体的表面积.
解 这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半.
根据图中数据可知圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,高为
,母线长为2,几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和,故这个几何体的表面积为S=
π×12+
π×22+
π×(1+2)×2+
×(2+4)×
=
+3
.
9.(12分)已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.
解
如图所示,正三棱台ABC—A1B1C1中,O、O1分别为两底面中
心,D、D1分别为BC和B1C1的中点,则DD1为棱台的斜高.
由题意知A1B1=20,AB=30,
则OD=5
,O1D1=
,
由S侧=S上+S下,得
×(20+30)×3DD1=
×(202+302),
解得DD1=
,
在直角梯形O1ODD1中,
O1O=
=4
,
所以棱台的高为4
cm.
B组 专项能力提升
(时间:
25分钟,满分:
43分)
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.(2011·山东)
右图是长和宽分别相等的两个矩形,给定下列三个命题:
①存在
三棱柱,其主视图、俯视图如右图;②存在四棱柱,其主视图、俯视图如右图;③存在
圆柱,其主视图、俯视图如右图.其中真命题的个数是( )
A.3B.2
C.1D.0
答案 A
解析 底面是等腰直角三角形的三棱柱,当它的一个矩形侧面放置在水平面上时,它的主视图和俯视图可以是全等的矩形,因此①正确;若长方体的高和宽相等,则存在满足题意的两个相等的矩形,因此②正确;当圆柱侧放时(即左视图为圆时),它的主视图和俯视图可以是全等的矩形,因此③正确.
2.一个正方体截去两个角后所得几何体的主视图、左视图如图所示,则其俯视图为( )
答案 C
解析 依题意可知该几何体的直观图如下图所示,故其俯视图应为C.
3.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,过对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,得四边形BFD1E,给出下列结论:
①四边形BFD1E有可能为梯形;
②四边形BFD1E有可能为菱形;
③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形;
④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D;
⑤四边形BFD1E面积的最小值为
.
其中正确的是( )
A.①②③④B.②③④⑤
C.①③④⑤D.①②④⑤
答案 B
解析 四边形BFD1E为平行四边形,①显然不成立,当E、F分别为AA1、CC1的中点时,②④成立,四边形BFD1E在底面的投影恒为正方形ABCD.当E、F分别为AA1、CC1的中点时,四边形BFD1E的面积最小,最小值为
.
二、填空题(每小题5分,共15分)
4.
在直观图(如图所示)中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm,
则在xOy坐标系中,四边形ABCO为________,面积为________cm2.
答案 矩形 8
解析 由斜二测画法的特点,知该平面图形的直观图的原图,即在xOy坐标系中,四边形ABCO是一个长为4cm,宽为2cm的矩形,所以四边形ABCO的面积为8cm2.
5.用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高是________.
答案
r
解析 由题意可知卷成的圆锥的母线长为r,设卷成的圆锥的底面半径为r′,则2πr′=πr,所以r′=
r,
所以圆锥的高h=
=
r.
6.
如图,点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心,点E为面
B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF
在该正方体的各个面上的投影可能是________.(填出所有可能的序
号)
答案 ①②③
解析 空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′上的投影是①;在面BCC′B′上的投影是②;在面ABCD上的投影是③,故填①②③.
三、解答题
7.(13分)已知正三棱锥V—ABC的主视图、左视图和俯视图如图所示.
(1)画出该三棱锥的直观图;
(2)求出左视图的面积.
解
(1)如图所示.
(2)根据三视图间的关系可得BC=2
,
∴左视图中VA=
=2
,
∴S△VBC=
×2
×2
=6.
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