中考数学与圆的综合有关的压轴题附详细答案doc.docx
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2020-2021中考数学与圆的综合有关的压轴题附详细答案
一、圆的综合
1.如图,已知△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于E,过点E作EG⊥AC于
G,交BC的延长线于F.
(1)求证:
AE=BE;
(2)求证:
FE是⊙O的切线;
(3)若FE=4,FC=2,求⊙O的半径及CG的长.
【答案】
(1)详见解析;
(2)详见解析;(3).
【解析】
(1)证明:
连接CE,如图1所示:
∵BC是直径,∴∠BEC=90,°∴CE⊥AB;
又∵AC=BC,∴AE=BE.
(2)证明:
连接OE,如图2所示:
∵BE=AE,OB=OC,∴OE是△ABC的中位线,∴OE∥AC,AC=2OE=6.
又∵EG⊥AC,∴FE⊥OE,∴FE是⊙O的切线.
(3)解:
∵EF是⊙O的切线,∴FE2=FC?
FB.
设FC=x,则有2FB=16,∴FB=8,∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6,∴OB=OC=3,即⊙O的半径为3;∴OE=3.
∵OE∥AC,∴△FCG∽△FOE,∴,即,解得:
CG=.
点睛:
本题利用了等腰三角形三线合一定理,三角形中位线的判定,切割线定理,以及勾股定理,还有平行线分线段成比例定理,切线的判定等知识.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,⊙O交BC于点D,交CA的延长线于点E.过点D作DF⊥AC,垂足为F.
(1)求证:
DF为⊙O的切线;
(2)若AB=4,∠C=30°,求劣弧?
的长.
BE
【答案】
(1)证明见解析
(2)4
3
【解析】
分析:
(1)连接AD、OD,根据直径所对的圆周角为直角,可得∠ADB=90°,然后根据等
腰三角形的性质求出BD=CD,再根据中位线的性质求出OD⊥DF,进而根据切线的判定证明即可;
(2)连接OE,根据三角形的外角求出∠BAE的度数,然后根据圆周角定理求出∠BOE的度数,根据弧长公式求解即可.
详解:
(1)连接AD、OD.∵AB是直径,∴∠ADB=90°.
∵AB=AC,∴BD=CD,
又∵OA=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,∴OD⊥DF
即∠ODF=90°.∴DF为⊙O的切线;
(2)连接OE.∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAE=60°,∵∠BOE=2∠BAE,∴∠BOE=120,°
∴=·4=ππ.
点睛:
本题是圆的综合题,考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理,灵活添加辅助线是解题关键.
3.如图,在VABC中,ACB90o,BAC的平分线AD交BC于点D,过点D作DEAD交AB于点E,以AE为直径作eO.
1求证:
BC是eO的切线;
2若AC3,BC4,求tanEDB的值.
【答案】
(1)见解析;(
2)tanEDB
1
.
2
【解析】
【分析】
1连接OD,如图,先证明
OD//AC,再利用AC
BC得到OD
BC,然后根据切线
的判定定理得到结论;
2先利用勾股定理计算出
AB
5,设eO的半径为r,则OA
OD
r,OB
5r,
再证明VBDO∽VBCA,利用相似比得到r:
3
5
r
:
5,解得r
15
,接着利用勾
8
股定理计算BD
5
CD
3
tan
1
,然后证明
,则
,利用正切定理得
1
2
2
2
1EDB,从而得到tan
EDB的值.
【详解】
1证明:
连接OD,如图,
QAD平分BAC,
1
2,
QOA
OD,
2
3,
1
3,
OD//AC,
QAC
BC,
OD
BC,
BC是eO的切线;
2解:
在RtVACB中,AB
设eO的半径为r,则OAOD
QOD//AC,
VBDO∽VBCA,
OD:
ACBO:
BA,
32425,
r,OB
5r,
即r:
3
5r:
5
,解得r
15
,
8
OD
15
25
,OB
,
8
8
在RtVODB中,BD
OB2
OD2
5
,
2
CDBC
BD
3
,
2
在RtVACD中,tan
CD
3
1,
1
2
AC
3
2
QAE为直径,
ADE
90o,
EDB
ADC
90o,
Q1
ADC
90o,
1
EDB
,
1
tanEDB.
2
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质:
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;圆
的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;也考查了圆周角定理和解直角三角形.
4.如图,△ABC的内接三角形,P为BC延长线上一点,∠PAC=∠B,AD为⊙O的直径,
过C作CG⊥AD于E,交AB于F,交⊙O于G.
(1)判断直线PA与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:
AG2=AF·AB;
(3)若⊙O的直径为10,AC=25,AB=45,求△AFG的面积.
【答案】
(1)PA与⊙O相切,理由见解析;
(2)证明见解析;(3)3.
【解析】
试题分析:
(1)连接CD,由AD为⊙O的直径,可得∠ACD=90°,由圆周角定理,证得
∠B=∠D,由已知∠PAC=∠B,可证得DA⊥PA,继而可证得PA与⊙O相切.
(2)连接BG,易证得△AFG∽△AGB,由相似三角形的对应边成比例,证得结论.
(3)连接BD,由AG2=AF?
AB,可求得AF的长,易证得△AEF∽△ABD,即可求得
AE的
长,继而可求得EF与EG的长,则可求得答案.
试题解析:
解:
(1)PA与⊙O相切.理由如下:
如答图1,连接CD,
∵AD为⊙O的直径,∴∠ACD=90.°
∴∠D+∠CAD=90.°
∵∠B=∠D,∠PAC=∠B,∴∠PAC=∠D.
∴∠PAC+∠CAD=90,°即DA⊥PA.
∵点A在圆上,
∴PA与⊙O相切.
(2)证明:
如答图2,连接BG,
∵AD为⊙O的直径,CG⊥AD,∴?
?
.∴∠AGF=∠ABG.
ACAD
∵∠GAF=∠BAG,∴△AGF∽△ABG.
∴AG:
AB=AF:
AG.∴AG2=AF?
AB.
(3)如答图3,连接BD,
∵AD是直径,∴∠ABD=90.°
∵AG2=AF?
AB,AG=AC=25,AB=45,∴AF=5.
∵CG⊥AD,∴∠AEF=∠ABD=90.°
AE
AF
AE
5
∵∠EAF=∠BAD,∴△AEF∽△ABD.∴
,即
4
5
,解得:
AE=2.
AB
AD
10
∴EF
AF2
AE2
1.
∵EG
AG2
AE2
4,∴FG
EG
EF4
1
3
.
∴SAFG
1FG
AE
132
3.
2
2
考点:
1.圆周角定理;2.直角三角形两锐角的关系;3.相切的判定;4.垂径定理;5.相似三角形的判定和性质;6.勾股定理;7.三角形的面积.
5.四边形ABCD的对角线交于点E,且AE=EC,BE=ED,以AD为直径的半圆过点E,圆
心为O.
(1)如图①,求证:
四边形ABCD为菱形;
(2)如图②,若BC的延长线与半圆相切于点F,且直径AD=6,求弧AE的长.
【答案】
(1)见解析;
(2)
π
2
【解析】
试题分析:
(1)先判断出四边形ABCD是平行四边形,再判断出AC⊥BD即可得出结论;
(2)先判断出AD=DC且DE⊥AC,∠ADE=∠CDE,进而得出∠CDA=30°,最后用弧长公式即可得出结论.
试题解析:
证明:
(1)∵四边形ABCD的对角线交于点E,且AE=EC,BE=ED,∴四边形
ABCD是平行四边形.∵以AD为直径的半圆过点E,∴∠AED=90°,即有AC⊥BD,∴四边
形ABCD是菱形;
(2)由
(1)知,四边形ABCD是菱形,∴△ADC为等腰三角形,∴AD=DC且DE⊥AC,
∠ADE=∠CDE.如图2,过点C作CG⊥AD,垂足为G,连接FO.∵BF切圆O于点F,
∴OF⊥AD,且OF1AD3,易知,四边形CGOF为矩形,∴CG=OF=3.
2
在Rt△CDG中,CD=AD=6,sin∠ADC=CG=1,∴∠CDA=30°,∴∠ADE=15°.
CD
2
?
30
3
连接OE,则∠AOE=2×∠ADE=30°,∴AE
180
.
2
点睛:
本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质,熟练掌握其判定与性
质并结合题意加以灵活运用是解题的关键.
6.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC.
(1)求证:
∠AEC=90°;
(2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由;
(3)若DC=2,求DH的长.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)四边形AOCD为菱形;
(3)DH=2.
【解析】
试题分析:
(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得
,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出
∠AEC=90;°
(2)四边形AOCD为菱形.由
(1)得
平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形
,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是
AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边
形是菱形);
(3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由
DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长.
试题解析:
(1)连接OC,
∵EC与⊙O切点C,
∴OC⊥EC,
∴∠OCE=90,°
∵点CD是半圆O的三等分点,
∴,
∴∠DAC=∠CAB,
∵OA=OC,
∴∠CAB=∠OCA,
∴∠DAC=∠OCA,
∴AE∥OC(内错角相等,两直线平行)
∴∠AEC+∠OCE=180,°
∴∠AEC=90;°
(2)四边形AOCD为菱形.理由是:
∵,
∴∠DCA=∠CAB,
∴CD∥OA,
又∵AE∥OC,
∴四边形AOCD是平行四边形,
∵OA=OC,
∴平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);
(3)连接OD.
∵四边形AOCD为菱形,
∴OA=AD=DC=2,∵OA=OD,
∴OA=OD=AD=2,
∴△OAD是等边三角形,∴∠AOD=60,°
∵DH⊥AB于点F,AB为直径,
∴DH=2DF,
在Rt△OFD中,sin∠AOD=,
∴DF=ODsin∠AOD=2sin60=°,
∴DH=2DF=2.
考点:
1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形.
7.如图,△ABC内接于⊙O,且AB作⊙O的切线PD交CA的延长线于点
F.
为⊙O的直径.∠ACB的平分线交⊙O于点D,过点DP,过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点
(1)求证:
DP∥AB;
(2)若AC=6,BC=8,求线段PD的长.【答案】详见解析
【解析】
【分析】
(1)连接OD,由AB为⊙O的直径,根据圆周角定理得∠ACB=90°,再由
∠ACD=∠BCD=45,°则∠DAB=∠ABD=45,°所以△DAB为等腰直角三角形,所以DO⊥AB,根据切线的性质得OD⊥PD,于是可得到DP∥AB.
(2)先根据勾股定理计算出AB=10,由于△DAB为等腰直角三角形,可得到
AD
AB
10
52;由△ACE为等腰直角三角形,得到
2
2
AE
CE
AC
6
DE=42,则
2
32,在Rt△AED中利用勾股定理计算出
2
CD=7
2,易证得∴△PDA∽△PCD,得到PD
PA
AD
5
2
,所以PA=
5
PD,
PC
PD
CD
7
2
7
7
PC=PD,然后利用PC=PA+AC可计算出PD.
5
【详解】
解:
(1)证明:
如图,连接OD,
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90.°
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D,∴∠ACD=∠BCD=45.°∴∠DAB=∠ABD=45.°∴△DAB为等腰直角三角形.∴DO⊥AB.
∵PD为⊙O的切线,∴OD⊥PD.
∴DP∥AB.
(2)在Rt△ACB中,,
∵△DAB为等腰直角三角形,∴.
∵AE⊥CD,∴△ACE为等腰直角三角形.∴
在Rt△AED中,
∴.
∵AB∥PD,∴∠PDA=∠DAB=45.°∴∠PAD=∠PCD.
又∵∠DPA=∠CPD,∴△PDA∽△PCD.∴
75
∴PA=PD,PC=PD.
5
7
又∵PC=PA+AC,∴7
PD+6=
5
PD,解得PD=.
5
7
8.如图,已知在△ABC中,∠A=90°,
.
,
.
(1)请用圆规和直尺作出⊙P,使圆心P在AC边上,且与AB,BC两边都相切(保留作图痕迹,不写作法和证明).
(2)若∠B=60°,AB=3,求⊙P的面积.
【答案】
(1)作图见解析;
(2)3π
【解析】
【分析】
(1)与AB、BC两边都相切.根据角平分线的性质可知要作∠ABC的角平分线,角平分线与AC的交点就是点P的位置.
(2)根据角平分线的性质和30°角的直角三角形的性质可求半径,然后求圆的面积.【详解】
解:
(1)如图所示,则⊙P为所求作的圆.
(2)∵∠ABC=60°,BP平分∠ABC,∴∠ABP=30,°
∵∠A=90,°∴BP=2AP
Rt△ABP中,AB=3,
由勾股定理可得:
AP=3,∴S⊙P=3π
9.如图,在Rt△ABC中,C90,AD平分∠BAC,交BC于点D,点O在AB上,⊙O经过A、D两点,交AC于点E,交AB于点F.
(1)求证:
BC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径是2cm,E是弧AD的中点,求阴影部分的面积(结果保留π和根号)
【答案】
(1)证明见解析
(2)2
3
3
【解析】
【分析】
(1)连接OD,只要证明OD∥AC即可解决问题;
(2)连接OE,OE交AD于K.只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题.【详解】
(1)连接OD.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∵∠OAD=∠DAC,∴∠ODA=∠DAC,∴OD∥AC,∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC,∴BC是⊙O的切线.
(2)连接OE,OE交AD于K.
∵?
?
,∴OE⊥AD.
AEDE
∵∠OAK=∠EAK,AK=AK,∠AKO=∠AKE=90,°∴△AKO≌△AKE,∴AO=AE=OE,∴△AOE
602
2
3
22
2
是等边三角形,∴∠AOE=60°,∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE
3.
360
4
3
【点睛】
本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
10.如图1,已知⊙O是ADB的外接圆,∠ADB的平分线DC交AB于点M,交⊙O于点
C,连接AC,BC.
(1)求证:
AC=BC;
(2)如图2,在图1的基础上做⊙O的直径CF交AB于点E,连接AF,过点线AH,若AH//BC,求∠ACF的度数;
(3)在
(2)的条件下,若
ABD的面积为6
3,
ABD与
ABC的面积比为
的长.
A作⊙O的切
2:
9,求CD
【答案】
(1)证明见解析;
(2)30°;(3)233
【解析】
分析:
(1)运用“在同圆或等圆中,弧相等,所对的弦相等”可求解;
(2)连接AO并延长交BC于I交⊙O于J,由AH是⊙O的切线且AH∥BC得AI⊥BC,易证
∠IAC=30,°故可得∠ABC=60=°∠F=∠ACB,由CF是直径可得∠ACF的度数;
(3)过点D作DG⊥AB,连接AO,知ABC为等边三角形,求出AB、AE的长,在RtAEO
中,求出AO的长,得CF的长,再求DG的长,运用勾股定理易求CD的长.
详解:
(1)∵DC平分∠ADB,∴∠ADC=∠BDC,∴AC=BC.
(2)如图,连接AO并延长交BC于I交⊙O于J
∵AH是⊙O的切线且AH∥BC,
∴AI⊥BC,
∴BI=IC,∵AC=BC,
1
∴IC=AC,
2
∴∠IAC=30,°
∴∠ABC=60=°∠F=∠ACB.
∵FC是直径,∴∠FAC=90,°
∴∠ACF=180-90°-°60=30°.°
(3)过点D作DGAB,连接AO
由
(1)
(2)知ABC为等边三角形
∵∠ACF=30,°
∴ABCF,
∴AE=BE,
∴SABC
3AB2
273,
4
∴AB=63,
∴AE33.
在RtAEO中,设EO=x,则AO=2x,
∴AO2
AE2
OE2,
2
33
2
∴2x
x2,
∴x=6,⊙O的半径为6,
∴CF=12.
∵SABD
ABDG
1
1
63DG
63,
2
2
∴DG=2.
如图,过点D作DG
CF,连接OD.
∵AB
CF,DG
AB,
∴CF//DG,
∴四边形G′DGE为矩形,
∴GE2,
CG
GECE63
211,
在Rt
OGD中,OG
5,OD6,
∴DG11,
∴CD
DG
2
CG2
11112
233
点睛:
本题是一道圆的综合题
.考查了圆的基本概念,垂径定理,勾股定理,圆周角定理等
相关知识.比较复杂,熟记相关概念是解题关键.
11.如图,点B在数轴上对应的数是﹣2,以原点O为原心、OB的长为半径作优弧AB,
使点A在原点的左上方,且tan∠AOB=3,点C为OB的中点,点D在数轴上对应的数
为4.
(1)S扇形AOB=(大于半圆的扇形);
(2)点P是优弧AB上任意一点,则∠PDB的最大值为°
(3)在
(2)的条件下,当∠PDB最大,且∠AOP<180°时,固定△OPD的形状和大小,以原点O为旋转中心,将△OPD顺时针旋转α(0°≤α≤)360°
①连接CP,AD.在旋转过程中,CP与AD有何数量关系,并说明
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