专题51 数列的概念及简单表示法届高考数学一轮复习学霸提分秘籍原卷版.docx
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专题51数列的概念及简单表示法届高考数学一轮复习学霸提分秘籍原卷版
第五篇数列及其应用
专题5.01数列的概念及简单表示法
【考试要求】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
【知识梳理】
1.数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项
间的大
小关系
递增数列
an+1>an
其中n∈N*
递减数列
an+1<an
常数列
an+1=an
摆动数列
从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.
4.数列的通项公式
(1)通项公式:
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an=f(n)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(2)递推公式:
如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
【微点提醒】
1.若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an,则an=
2.数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关.
3.易混项与项数的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( )
(2)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.( )
(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.( )
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对任意n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.( )
【教材衍化】
2.(必修5P33A4改编)在数列{an}中,a1=1,an=1+
(n≥2),则a5等于( )
A.
B.
C.
D.
3.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式an=________.
【真题体验】
4.(2019·山东省实验中学摸底)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),Sn为其前n项和,则S5的值为( )
A.57B.61C.62D.63
5.(2018·北京朝阳区月考)数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式an等于( )
A.
B.cos
C.cos
πD.cos
π
6.(2019·天津河东区一模)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=
,若a4=32,则a1=________.
【考点聚焦】
考点一 由数列的前几项求数列的通项
【例1】
(1)已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不可能是( )
A.an=(-1)n-1+1B.an=
C.an=2sin
D.an=cos(n-1)π+1
(2)已知数列{an}为
,
,-
,
,-
,
,…,则数列{an}的一个通项公式是________.
【规律方法】 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
(1)常用方法:
观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
(2)具体策略:
①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1,k∈N*处理.
【训练1】写出下列各数列的一个通项公式:
(1)-
,
,-
,
,…;
(2)
,2,
,8,
,…;
(3)5,55,555,5555,….
考点二 由an与Sn的关系求通项
【例2】
(1)(2019·广州质检)已知Sn为数列{an}的前n项和,且log2(Sn+1)=n+1,则数列{an}的通项公式为________________.
(2)(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=________.
【规律方法】数列的通项an与前n项和Sn的关系是an=
①当n=1时,a1若适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项an;②当n=1时,a1若不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.
【易错警示】 在利用数列的前n项和求通项时,往往容易忽略先求出a1,而是直接把数列的通项公式写成an=Sn-Sn-1的形式,但它只适用于n≥2的情形.例如例2第
(1)题易错误求出an=2n(n∈N*).
【训练2】
(1)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,则数列{an}的通项公式an=________.
(2)已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1,则数列的通项公式an=________.
考点三 由数列的递推关系求通项
【例3】
(1)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln
,则an等于( )
A.2+lnnB.2+(n-1)lnn
C.2+nlnnD.1+n+lnn
(2)若a1=1,nan-1=(n+1)an(n≥2),则数列{an}的通项公式an=________.
(3)若a1=1,an+1=2an+3,则通项公式an=________.
(4)若数列{an}满足a1=1,an+1=
,则an=________.
【规律方法】
由数列的递推关系求通项公式的常用方法
(1)已知a1,且an-an-1=f(n),可用“累加法”求an.
(2)已知a1(a1≠0),且
=f(n),可用“累乘法”求an.
(3)已知a1,且an+1=qan+b,则an+1+k=q(an+k)(其中k可用待定系数法确定),可转化为{an+k}为等比数列.
(4)形如an+1=
(A,B,C为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
【易错警示】 本例
(1),
(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式.
【训练3】
(1)(2019·山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,an+1=an+2n-1+1,则an=________.
(2)若a1=1,an+1=2nan,则通项公式an=________.
考点四 数列的性质
【例4】
(1)数列{an}的通项an=
,则数列{an}中的最大项是( )
A.3
B.19C.
D.
(2)数列{an}满足an+1=
a1=
,则数列的第2019项为________.
【规律方法】1.在数学命题中,以数列为载体,常考查周期性、单调性.
2.
(1)研究数列的周期性,常由条件求出数列的前几项,确定周期性,进而利用周期性求值.
(2)数列的单调性只需判定an与an+1的大小,常用比差或比商法进行判断.
【训练4】
(1)已知数列{an}满足a1=1,an+1=a
-2an+1(n∈N*),则a2020=________.
(2)若an=n2+kn+4且对于n∈N*,都有an+1>an成立,则实数k的取值范围是________.
【反思与感悟】
1.数列是特殊的函数,要利用函数的观点认识数列.
2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法:
(1)算出前几项,再归纳、猜想.
(2)形如“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+λ=p(an+λ),由待定系数法求出λ,再化为等比数列.
(3)递推公式化简整理后,若为an+1-an=f(n)型,则采用累加法;若为
=f(n)型,则采用累乘法.
【易错防范】
1.解决数列问题应注意三点
(1)在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取值是正整数.
(2)数列的通项公式不一定唯一.
(3)注意an=Sn-Sn-1中需n≥2.
2.数列{an}中,若an最大,则an≥an-1且an≥an+1;若an最小,则an≤an-1且an≤an+1.
【分层训练】
【基础巩固题组】(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.数列1,3,6,10,15,…的一个通项公式是( )
A.an=n2-(n-1)B.an=n2-1
C.an=
D.an=
2.已知数列{an}满足:
任意m,n∈N*,都有an·am=an+m,且a1=
,那么a5=( )
A.
B.
C.
D.
3.(2019·江西重点中学盟校联考)在数列{an}中,a1=-
,an=1-
(n≥2,n∈N*),则a2019的值为( )
A.-
B.5C.
D.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+1(n∈N*),则S5=( )
A.31B.42C.37D.47
5.(2019·成都诊断)已知f(x)=
数列{an}(n∈N*)满足an=f(n),且{an}是递增数列,则a的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.
C.(1,3)D.(3,+∞)
二、填空题
6.在数列-1,0,
,
,…,
,…中,0.08是它的第________项.
7.若数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则数列{an}的通项公式an=________.
8.在数列{an}中,a1=2,
=
+ln
,则an=________.
三、解答题
9.(2016·全国Ⅲ卷)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,a
-(2an+1-1)an-2an+1=0.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
10.已知Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足Sn=
a
+
an(n∈N*).
(1)求a1,a2,a3,a4的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
【能力提升题组】(建议用时:
20分钟)
11.(2019·山东新高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:
将1至2018这2018个数中,能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列共有( )
A.98项B.97项C.96项D.95项
12.已知数列{an}的通项公式an=(n+2)·
,则数列{an}的项取最大值时,n=________.
13.(2019·菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=(-1)n·an-
,记
bn=8a2·2n-1,若对任意的n∈N*,总有λbn-1>0成立,则实数λ的取值范围为________.
14.已知数列{an}中,an=1+
(n∈N*,a∈R且a≠0).
(1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;
(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范围.
【新高考创新预测】
15.(数学文化)著名的斐波那契数列{an}:
1,1,2,3,5,8,…,满足a1=a2=1,an+2=an+1+an,n∈N*,那么1+a3+a5+a7+a9+…+a2017是斐波那契数列的第________项.
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