最新《高等数学》试题库及答案优秀名师资料.docx
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《高等数学》试题库及答案
2007年《高等数学
(一)》最新模拟试题及答案
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写
在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
2(x+1),11(设,且函数,(x)的反函数,则()f(x)=lnx,(x)=f(x),,,,x-1
x-2x+22-xx+2 ABCD....ln ln ln lnx+2x-2x+22-x
0tt,eedt,,2,,,xlim,2(()x,01cos,x
A(0B(1C(-1D(
,,,,yfxxfx()()xx,3(设且函数fx()在处可导,则必有()000
AyByCdyDydy.lim0.0.0.,,,,,,,,,x0
2,2x,1x,4(设函数,则在点处()f(x)x=1f(x)=,31,1xx,,,
A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D.
可导
2-xxf(x)dx=e,C5(设,则()f(x)=,
2222-x-x-x-x A.xe B.-xe C.2e D.-2e
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
116.设函数f(x)在区间[0,1]上有定义,则函数f(x+)+f(x-)的定义域是__________.44
2n7(lim1_________aaqaqaqq,,,,,,,,,,,,n
arctanx8(,lim_________x,,x
2gC(g)=9+9.已知某产品产量为g时,总成本是,则生产100件产品时的边际800成本MC,__g,100
3fxxx()2,,10.函数在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是
_________.
32yxxx,,,,2912911.函数的单调减少区间是___________.
3xyyx'1,,,12.微分方程的通解是___________.
2ln2dt,,,,则13.设a___________.,ta6e,1
2cosxz,14.设则dz=_______.y
2y15.设_____________.Dxyxyxedxdy,,,,,,(,)01,01,则,,,,D
三、计算题
(一)(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
x1,,16.设,求dy.y,,,x,,
lncotx17.求极限lim,x,0lnx
118.求不定积分dx.,51ln51xx,,,,,,
a2219.计算定积分I=axdx,.,0
2zzz','x2e1yxz,,,20.设方程确定隐函数z=z(x,y),求。
xy四、计算题
(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)21(要做一个容积为v的圆柱形容器,问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时,所用
材料最省,
222.计算定积分xxdxsin,0
2,,sinyI,dxdy23.将二次积分化为先对x积分的二次积分并计算其值。
,0xy
五、应用题(本题9分)
2yx,24.已知曲线,求
(1)曲线上当x=1时的切线方程;
2yx,
(2)求曲线与此切线及x轴所围成的平面图形的面积,以及其绕x轴旋转而成
的旋转体的体积V.x
六、证明题(本题5分)
2225(证明:
当时,x>0xxxxln
(1)11,,,,,
高等数学
(一)模拟试题参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
1(答案:
B
2(答案:
A
3(答案:
A
4(答案:
C
5(答案:
D
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)
13,,,6(答案:
,44,,
a7(答案:
1,q
8(答案:
0
19(答案:
4
110(答案:
3
11(答案:
(1,2)
3x,,1Cx12(答案:
2
13(答案:
a,ln2
2,,1cosx14(答案:
,sin2xdxdy,,yy,,
1,215(答案:
1,e,,4
三、计算题
(一)(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
x1,,16.答案:
,xdxln1,,,,x,,
17(答案:
-1
218(答案:
ln51xC,,,,5
219.答案:
a4
222xxyz,''ZZ,,,20.答案:
xyzz2e2exx,,
四、计算题
(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)
VVV43321(答案:
,,,rh002,,,2r0
2,22(答案:
4
23.答案:
1
五、应用题(本题9分)
1,24.答案:
(1)y=2x-1
(2),1230
131,,y,112122
(2)所求面积Sydyyy,,,,,,()1,,,,,024312,,0
1211,,,22Vxdx,,,,,,,,所求体积1,,,,x,0325630
六、证明题(本题5分)
25(证明:
22 fxxxxx()ln
(1)11,,,,,,
2x1,2x21,x2 ?
,,,,fxxxx'()ln
(1)22xxx,,,11
xx2 ,,,,,ln
(1)xx2211,,xx
2 ,,,ln
(1)xx
x,0
2 ?
,,,xx11
2 ?
,,,fxxx'()ln
(1)0
故当时fx()单调递增,则fxf()(0),,即x,0
22xxxxln
(1)11,,,,,
高等数学(上)试题及答案
)一、填空题(每小题3分,本题共15分
2
xlim(1,3x),______.1、。
x,0
x,ex,0,2、当k时,f(x),在处连续(x,0,2,x,kx,0,
dx,______3、设y,x,lnx,则dy
xy,e,x4、曲线在点(0,1)处的切线方程是5、若f(x)dx,sin2x,C,为常数,则f(x),。
C,
二、单项选择题(每小题3分,本题共15分)
xf(x),1、若函数,则()limf(x),x,0x
A、0B、C、1D、不存在,1
2、下列变量中,是无穷小量的为()
1,lnx(x,1)cosx(x,0)A.ln(x,0)B.C.D.x
x,2(x,2)2x,4
xf(x),0y,f(x)3、满足方程的是函数的()(
A(极大值点B(极小值点C(驻点D(间断点
4、下列无穷积分收敛的是()
,,,,,,,,11,2xdxA、B、C、D、sinxdxedxdx,,,,0000xx
5、设空间三点的坐标分别为M(1,1,1)、A(2,2,1)、B(2,1,2)。
则=,AMB
,,,A、B、C、D、342
三、计算题(每小题7分,本题共56分)
,,4x2lim1、求极限。
x,0sin2x
112、求极限,lim()xx,0xe,1
cosx2,tedt,13、求极限lim20,xx
52,y4、设,求y,e,ln(x,1,x)
22,x,ln(1,t)dy5、设f,y(x)由已知,求,2dxy,arctant,
126、求不定积分sin(,3)dx2,xx
x7、求不定积分ecosxdx,
1,x,0x,2,1,ef(x),8、设,求f(x,1)dx,,01,x,0,1,x,
四、应用题(本题7分)
22y,xx,y求曲线与所围成图形的面积A以及A饶轴旋转所产生的旋转体的体y
积。
五、证明题(本题7分)
1若在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且,,证明:
f(x)f(0),f
(1),0f(),12
在(0,1)内至少有一点,使。
f(,),1
参考答案
一。
填空题(每小题3分,本题共15分)
x61、2、k=1(3、4、y,15、f(x),2cos2xe1,x
二(单项选择题(每小题3分,本题共15分)
1、D2、B3、C4、B5、A
三(计算题(本题共56分,每小题7分)
,,4x2x12x1lim,lim,lim,1.解:
7分x,0x,0x,0sin2x28sin2x(4x2)sin2x(4x2),,,,
xxx11e1xe1e1,,,2.解:
lim()limlimlim,,,,,xxxxxxxx,0x,0x,0x,02xe1x(e1)e1xeeexe,,,,,,7分
cosx2,tedt2,,cosxsinxe1,1,lim,,3、解:
7lim2x,00,x2x2ex
分
11,y,(1,)4、解:
…………………………...4分22x,,x,x11
1,…………………………………………...7分21,x
1
2dy11t,5、解:
(4分),,2tdx2t
21,t
122,2dyt1,ddydxt2(7分),,,,()23dtt2dtdxdxt421,t
12122126、解:
(7分)sin(,3)dx,,sin(,3)d(,3),cos(,3),C2,,x2x32xx
xx7、解:
ecosxdx,cosxde,,
xx………………………….2分,ecosx,esinxdx,
xx..………………………….3分,ecosx,sinxde,
xxx……………5分,ecosx,esinx,ecosxdx,
x,e(sinx,cosx),C…………………………7分
8、解:
2101f(x,1)dx,f(x)dx,f(x)dx,f(x)dx……2分,,,,,,0110
01dxdx,,…………x,,,101,e1,x……3分
x0e1,(1,)dx,ln(1,x)……x,0,11,e……5分
0x………………,1,ln(1,e),ln2,1
…6分
1,1,ln(1,e),ln(1,e)…………
……7分
四(应用题(本题7分)
22y,xx,y解:
曲线与的交点为(1,1),
1分
22y,xx,y于是曲线与所围成图形的面积A为
312112212()[]A,x,xdx,x,x,0,3330
4分
A绕轴旋转所产生的旋转体的体积为:
y
1125,,3yy24,,,,(),,,,,,Vyydy,,,2510,,00
7分
五、证明题(本题7分)
证明:
设F(x),f(x),x,……………………….……………2分
11F(x)显然在[,1]上连续,在(,1)内可导,22
11F
(1),,1,0且F(),,0,.22
1x,[,1]由零点定理知存在,使12F(x),0.…….……………4分1
由,在上应用罗尔定理知,至少存在一点[0,x]F(0),01
,,,(0,x),(0,1),使,即F(,),f(,),1,01
……7分f(,),1
高等数学试题
一、单项选择题(每小题1分,共30分)
1、函数f(x)=的定义域是
A、[,1,1]B、(,2,2)
C、(,?
,,1)?
(1,,?
)
D、(,?
,,?
)
2、下列函数中既是有界函数又是偶函数的是
A、xarcsinxB、arctgx
C、x2,1D、sinx,cosx
3、函数y=ex,1的反函数是
A、y=lnx,1B、y=ln(x,1)
C、y=lnx,1D、y=ln(x,1)
4、xsin=
A、?
B、0C、1D、不存在
5、某商品的需要量Q是价格P的函数Q=a,bP(a>0,b>0),则需求量Q对价格P的弹性是
A、bB、
C、D、
6、曲线在t=0处的切线方程是
A、
B、
C、y,1=2(x,2)
D、y,1=,2(x,2)
7、函数y=|sinx|在x=0处是
A、无定义B、有定义,但不连续
C、连续,但不可导D、连续且可导
8、设y=lnx,则y〃=
A、B、
C、D、
9、设f(x)=arctgex,则df(x)=
A、B、
C、D、
10、=
A、,1B、0C、1D、?
11、函数y=ax2,c在区间(0,,?
)内单调增加,则a,c应满足
A、a<0,c=0B、a>0,c任意
C、a<0,c?
0D、a<0,c任意
12、若ln|x|是函数f(x)的原函数,a?
0,那么下列函数中,f(x)的原函数是
A、ln|ax|B、
C、ln|x,a|D、
13、设a?
0,则?
(ax,b)100dx=
A、
B、
C、
D、100a(ax,b)99
14、?
xsinxdx=
A、xcosx,sinx,c
B、xcosx,sinx,c
C、,xcosx,sinx,c
D、,xcosx,sinx,c
15、函数f(x)=x2在[0,2]区间上的平均值是
A、B、1C、2D、
16、=
A、,?
B、0C、D、1
17、下列广义积分中收敛的是
A、B、
C、D、
18、方程x2,y2,z2,2x,4y=1表示的空间图形为
A、平面B、直线
C、柱面D、球面
19、函数z=arcsin(x2,y2)的定义域为
A、x2,y2<1B、x2,y2?
1
C、x2,y2?
1
D、|x|?
1,|y|?
1
20、极限=
A、1B、2C、0D、?
21、函数f(x,y)=
在原点
A、连续B、间断
C、取极小值D、取极大值
22、已知f(x,y)的两个偏导数存在,且f′x(x,y)>0,f′y(x,y)<0,则
A、当y不变时,f(x,y)随x的增加而增加
B、当y不变时,f(x,y)随x的增加而减少
C、当x不变时,f(x,y)随y的增加而增加
D、上述论断均不正确
23、设z=exsiny,则dz=
A、ex(sinydx,cosydy)B、exsinydx
C、excosydyD、excosy(dx,dy)
24、已知几何级数收敛,则
A、|q|?
1,其和为
B、|q|<1,其和为
C、|q|<1,其和为
D、|q|<1,其和为aq
25、是级数收敛的
A、必要条件B、充分条件
C、充分必要条件D、无关条件
26、下列级数中绝对收敛的是
A、B、
C、D、
27、幂级数的收敛半径为
A、1B、C、2D、0
28、微分方程y3,(y′)6,xy3,x4y2=1的阶数是
A、1B、2C、3D、6
29、微分方程的通解为
A、y=?
1B、y=sinx,c
C、y=cos(x,c)D、y=sin(x,c)
30、微分方程满足初始条件y(0)=0的特解为
A、y=cosx,1B、y=cosx
c、y=sinxD、y=,cosx,1
二、填空题(每空2分,共20分)
1、a,b为常数,要使
,则b=
(1)。
2、设由y=sin(x,y)确定隐函数y=y(x),则dy=
(2)。
3、设当x?
0时与ax是等价无穷小,则常数a=(3)。
4、=(4)。
5、=(5)。
6、设f(x,y)=,则f′x(1,2)=(6)。
7、交换积分顺序
=(7)。
8、函数e,2x的麦克劳林级数中xn的系数为(8)。
9、微分方程y〃,2y′,5y=0的通解为(9)。
10、函数y=lnx在区间[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的ξ=(10)。
三、解答题(每小题5分,共30分)
1、求.
2、设y=cos2e,3x,求y′.
3、求?
x2e,xdx.
4、求到两点A(1,0,,1),B(3,,2,1)距离相等的点的轨迹,并指出该轨迹的名称.
5、判断下列级数的敛散性:
(1);
(2).
6、求微分方程满足初始条件y(0)=0的特解.
四、(本题8分)
设平面图形由曲线xy=1与直线y=2,x=3围成,求
(1)平面图形的面积S
(2)此平面图形绕X轴旋转所成的旋转体体积V
五、(本题8分)
某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产X单位甲产品,生产y单位乙产品的总费用为20x,30y,0.1(2x2,2xy,3y2),100,试求出甲、乙两种各生产多少时取得最大利润。
六、(本题4分)
求证方程x,sinx,1=0在区间~,[,2]内有唯一零点。
参考答案
一、选择题(本题共30分)
1.B2.A3.D4.C5.C
6.A7.C8.D9.B10.A
11.B12.A13.C14.C15.A
16.D17.C18.D19.B20.B
21.B22.A23.A24.C25.A
26.D27.B28.C29.D30.D
二、填空题(每小题2分,共20分)
1、1
2、
3、
4、e4,1
5、arctgx,ln(1,x2),c
6、
7、
8、
9、ex(C1cos2x,C2sin2x)
10、e,1
三、(每小题5分,共20分)
1、解原式=
(3分)
=1(2分)
2、解y′=2cose,3x((cose,3x)′
(2分)
=2cose,3x(,sine,3x)((e,3x)′
(2分)
=3sin(2e,3x)(e,3x(1分)
3、解原式=,?
x2de,x
=,x2e,x,2?
xe,xdx(2分)
=,x2e,x,2xe,x,2?
e,xdx
=,x2e,x,2xe,x,2e,x,c(2分)
=,(x2,2x,2)e,x,c(1分)
4、解设点(x,y,z)到A,B距离相等,则
(2分)
两边平方并化简得
2x,2y,2z,6=0(2分)
该轨迹称为平面(1分)
5、解:
(1)?
而等比级数收敛,
?
原级数收敛(3分)
(2)?
=1?
0,
?
原级数发散。
(2分)
6、解原方程可化为,
即(1分)
积分得(2分)
以x=0,y=0代入上式,
求得c=0。
(1分)
?
所求特解为y=,1(1分)
(注:
也可用一阶线性方程求解)
四、(本题8分)
解:
(1)S=(3分)
=5,=5,ln6(1分)
(2)V=(3分)
=(1分)
五、(本题8分)
解:
总收入为40x,60y,总利润为
z=40x,60y,(20x,30y,0.1(2x2,2xy,3y2),100)=20x,30y,0.2x2,0.2xy,0.3y2,
100(2分)
令(2分)
解得x=90,y=80(2分)
而=,0.4,=0.2,
=,0.6
?
=0.22,(,0.4)((,0.6)<0,而=,0.4<0
?
x=90,y=80为极大值点
因极值点唯一,故它就是最大值点。
(2分)
答:
当甲产品生产90单位,乙产品生产80单位时利润最大。
六、(本题4分)
证:
设f(x)=x,sinx,1,
在?
x?
2上连续,
?
f()=,2<0,
f
(2)=1,sin2>0,
?
f(x)在[,2]内有零点。
(2分)
又f′(x)=1,cosx>0( ? f(x)严格单调上升,? f(x)只有唯一的零点。 (2分) 高等数学试题 一、单项选择题(每小题1分,共30分) 1、函数f(x)=的定义域是 A、[,1,1]B、(,2,2) C、(,? ,,1)? (1,,? ) D、(,? ,,? ) 2、下列函数中既是有界函数又是偶函数的是 A、xarcsinxB、arctgx C、x2,1D、sinx,cosx 3、函数y=ex,1的反函数是 A、y=lnx,1B、y=ln(x,1) C、y=lnx,1D、y=ln(x,1) 4、xsin= A、? B、0C、1D、不存在 5、某商品的需要量Q是价格P的函数Q=a,bP(a>0,b>0),则需求量Q对价格P的弹性是 A、bB、 C、D、 6、曲线在t=0处的切线方程是 A、 B、 C、y,1=2(x,2) D、y,1=,2(x,2) 7、函数y=|sinx|在x=0处是 A、无定义B、有定义,但不连续 C、连续,但不可导D、连续且可导 8、设y=lnx,则y〃= A、B、 C、D、 9、设f(x)=arctgex,则df(x)= A、B、 C、D、 10、= A、,1B、0C、1D、? 11、函数y=ax2,c在区间(0,,? )内单调增加,则a,c应满足 A、a<0,c=0B、a>0,c任意 C、a<0,c? 0D、a<0,c任意 12、若ln|x|是函数f(x)的原函数,a? 0,那么下列函数中,f(x)的原函数是 A、ln|ax|B、 C、ln|x,a|D、 13、设a? 0,则? (ax,b)100dx= A、 B、 C、 D、100a(ax,b)99 14、? xsinxdx= A、xcosx,sinx,c B、xcosx,sinx,c C、,xcosx,sinx,c D、,xcosx,sinx,c 15、函数f(x)=x2在[0,2]区间上的平均值是 A、B、1C、2D、 16、= A、,? B、0C、D、1 17、下列广义积分中收敛的是 A、B、 C、D、 18、方程x2,y2,z2,2x,4y=1表示的空间图形为 A、平面B、直线 C、柱面D、球面 19、函数z=arcsin(x2,y2)的定义域为 A、x2,y2<1B、x2,y2? 1 C、x2,y2? 1 D、|x|? 1,|y|? 1 20、极限= A、1B、2C、0D、? 21、函数f(x,y)= 在原点 A、连续B、间断 C、取极小值D、取极大值 22、已知f(x,y)的两个偏导数存在,且f′x(x,y)>0,f′y(x,y)<0,则 A、当y不变时,f(x,y)随x的增加而增加 B、当y不变时,f(x,y)随x的增加而减少 C、当x不变时,f(x,y)随y的增加而增加 D、上述论断均不正确 23、设z=exsiny,则dz= A、ex(sinydx,cosydy)B、exsinydx C、excosydyD、excosy(dx,dy) 24、已知几何级数收敛,则 A、|q|? 1,其和为 B、|q|<1,其和为 C、|q|<1,其和为 D、|q|<1,其和为aq 25、是级数收敛的 A、必要条件B、充分条件 C、充分必要条件D、无关条件 26、下列级数中绝对收敛的是 A、B、 C、
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