中考压轴题汇编《代数计算及通过代数计算进行说理》含答案.docx

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中考压轴题汇编《代数计算及通过代数计算进行说理》含答案

图1

第三部分图形运动中的计算说理问题

3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题

例12017年北京市中考第29题

在平面直角坐标系中，OC的半径为r,P是与圆心C不重合的点，点P关于OC的反称点的定义如下：

若在射线CP上存在一点P'，满足CP+CP'=2r，则称点P'为点P关于OC的反称点.如图1为点P及其关于OC的反称点P'的示意图.

特别地，当点P'与圆心C重合时，规定CP'=0.

（1）当OO的半径为1时，

1分别判断点M（2,1）,N（20）,T（1,J3）关于OO的反称

2，

点是否存在？

若存在，求其坐标；

2点P在直线y=-x+2上，若点P关于OO的反称点P'存在，且点P'不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；

3严

（2）OC的圆心在x轴上，半径为1，直线y3X2.3与x轴、y轴分别交于点

3

A、B，若线段AB上存在点P,使得点P关于OC的反称点P'在OC的内部，求圆心C的横坐标的取值范围.

例22017年福州市中考第22题

如图1,抛物线y=!

（x—3）2—1与X轴交于

2

A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,顶点为D.

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）联结CD，过原点O作OE丄CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,联结AE、AD.求证：

/AEO=ZADC;

（3）以

（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在

对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过P作OE的切线,

切点为Q,当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标.

例32017年南京市中考第26题

已知二次函数y=a（x—m）2—a（x—m）（a、m为常数，且0）.

（1）求证：

不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；

（2）设该函数的图像的顶点为C,与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D.

1当△ABC的面积等于1时，求a的值

2当△ABC的面积与厶ABD的面积相等时，求m的值.

第三部分图形运动中的计算说理问题答案

3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题

例12017年北京市中考第29题

在平面直角坐标系中，OC的半径为r,P是与圆心C不重合的点，点P关于OC的反称点的定义如下：

若在射线CP上存在一点P'，满足CP+CP'=2r，则称点P'为点P关于OC的反称点.如图1为点P及其关于OC的反称点P'的示意图.

特别地，当点P'与圆心C重合时，规定CP'=0.

图1

（1）当OO的半径为1时，

1分别判断点M（2,1）,N（20）,T（1,J3）关于OO的反称

2，

点是否存在？

若存在，求其坐标；

2点P在直线y=-x+2上，若点P关于OO的反称点P'存在，且点P'不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；

3严

（2）OC的圆心在x轴上，半径为1，直线y3X2.3与x轴、y轴分别交于点

3

A、B，若线段AB上存在点P,使得点P关于OC的反称点P'在OC的内部，求圆心C的横坐标的取值范围.

动感体验

请打开几何画板文件名“15北京29”，拖动点圆心C在x轴上运动，可以体验到，当点P在圆内时，CP的变化范围是1

思路点拨

1.反称点P是否存在，就是看CP是否大于或等于0.

2.第

（2）题反称点P在圆内，就是0

满分解答

（1）①对于M（2,1）,OM=.5.因为OM'=2「5<0,所以点M不存在反称点（如图2）.

如图3,对于N（^,0）,ON=—.因为ON'=2~=1，所以点N的坐标为（丄,0）.

22222

如图4,对于T（1,-、3）,OT=2.因为OT'=0,所以点T关于OO的反称点T是（0,0）.

图3

②如图5，如果点P存在，那么0P'=2-OP>0.所以0P<2.

设直线y=—x+2与x轴、y轴的交点分别为A、B，那么0A=OB=2.

如果点P在线段AB上，那么OPW2.

所以满足0P<2且点P不在x轴上的点P的横坐标的取值范围是0Wxv2.

（2）由y3x2、一3，得A（6,0）,B（0,2、.3）.所以tan/A=3.

3OA3

所以/A=30°.

因为点P在OC的内部，所以0WCPV1.

解不等式组ow2—CPv1,得1vCPW2.

过点C作CP丄AB于P,那么CP=丄AC.所以2VAC<4.

2

考点伸展

第

（2）题如果把条件“反称点P'在OC的内部”改为“反称点P存在”，那么圆心C的横坐标的取值范围是什么呢？

如果点P存在，那么CP>0.

解不等式2—CP>0,得CP<2.

所以ACw4.因此圆心C的横坐标的取值范围是2wxv6.

例22017年福州市中考第22题

如图1,抛物线y=!

（x—3）2—1与X轴交于

2

A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,顶点为D.

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）联结CD，过原点O作OE丄CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,联结AE、AD.求证：

/AEO=ZADC;

（3）以

（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在

对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过P作OE的切线,

切点为Q,当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标.

动感体验

请打开几何画板文件名“14福州22”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，当PE

最小时，PQ也最小.

思路点拨

1.计算点E的坐标是关键的一步，充分利用、挖掘等角（或同角）的余角相等.

2.求PE的最小值，设点P的坐标为（x,y）,如果把PE2表示为x的四次函数，运算很麻烦.如果把PE2转化为y的二次函数就比较简便了.

满分解答

121277

（1）由y（x-3）-1x-3x，得D（3,-1），C（0,—）.

2222

由yJ（x—3）2-1」［（x—3）2-2］」（x—32）（x—3-2），

222

得A（3一.2,0），B（3.2,0）.

（2）设CD与AE交于点F，对称轴与x轴交于点M，作DN丄y轴于N.

如图2，由D（3,-1），C（0,7），得DN=3，CN=9.因此tan—DCN.

22CN3

如图3，由OE丄CD，得/EOM=/DCN.因此tan.EOM=旦也=-.

OM3

所以EM=2，E（3,2）.

由A（3—.2,0），M（3,0），得AM二2.

因此tan•AEM=型-，tan.DAM=D^=1-.

EM2AMJ22

所以/AEM=ZDAM.于是可得/AED=90°.

如图4,在Rt△EHF与Rt△DAF中，因为/EFH=ZDFA,所以/HEF=ZADF，即/AEO=ZADC.

已知

122

y=_（X-3）-1，所以（X-3）=2y2.

考点伸展

还可以如图7那样求点Q的坐标:

2

例32017年南京市中考第26题

已知二次函数y=a（x—m）2—a（x—m）（a、m为常数，且0）.

（1）求证：

不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；

（2）设该函数的图像的顶点为C,与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D.

1当△ABC的面积等于1时，求a的值

2当△ABC的面积与厶ABD的面积相等时，求m的值.

动感体验

请打开几何画板文件名“13南京26”，拖动y轴上表示实数a的点可以改变a的值，拖

动点A可以改变m的值.分别点击按钮“mJ'、“m2”、“m3”，再改变实数a,可以体验到，这3种情况下，点C、D到x轴的距离相等.

请打开超级画板文件名“13南京26”,拖动点A可以改变m的值，竖直拖动点C可以

改变a的值.分别点击按钮，可得到厶ABC的面积与厶ABD的面积相等的三种情形。

思路点拨

1.第

（1）题判断抛物线与x轴有两个交点，容易想到用判别式.事实上，抛物线与x轴的交点A、B的坐标分别为（m,0）、（m+1,0）,AB=1.

2.当△ABC的面积等于1时，点C到x轴的距离为2.

3.当△ABC的面积与厶ABD的面积相等时，C、D到x轴的距离相等.

4.本题大量的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细.

满分解答

（1）由y=a（x—m）2—a（x—m）=a（x—m）（x—m—1）,得抛物线与x轴的交点坐标为A（m,0）、B（m+1,0）.

因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点.

11

（2）①由y=a（x—m）2—a（x—m）二a（x—m）2a,

24

得抛物线的顶点坐标为C（m1-」a）.

/4

11

因为AB=1,abc=—AB汉—一a=1，所以a=±8.

24

②当△ABC的面积与厶ABD的面积相等时，点C与点D到x轴的距离相等.

1

第一种情况：

如图1,C、D重合，此时点D的坐标可以表示为（0,-丄a）,

'4

111111

将D（0,a）代入y=a（x-m）a，得a=a（m）a.

424424

解得m=-1.

2

1第二种情况：

如图2,图3,C、D在x轴两侧，此时点D的坐标可以表示为（0,—a）,

'4

11211121

将D（0,—a）代入y=a（x「m）a，得一a=a（m）a.

424424

解得

考点伸展

第

（1）题也可以这样说理:

11

由于由y=a（x5-才--a，抛物线的顶点坐标为

C（m-^-a）

24

当a>0时，抛物线的开口向上，而顶点在当av0时，抛物线的开口向下，而顶点在因此不论a与m为何值，该函数的图像与

x轴下方，所以抛物线与x轴上方，所以抛物线与x轴总有两个公共点.

x轴由两个交点;x轴由两个交点.

第

（1）题也可以用根的判别式△说理：

由y=a（x—m）2—a（x—m）=a[x2—（2m+1）x+m2+m],

得l二a[（2m1）2「4（m2m）]二a2>0.

因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点.这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细.