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小学数学数与代数知识点整理
小学数学数与代数知识点整理
第一章数和数的运算
一、概念
(一)整数
1整数的意义:
自然数和0都是整数。
2自然数:
我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3⋯⋯叫做自然数。
一个物体也没有,用0表示。
0也是自然数。
3计数单位:
一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿⋯⋯都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
4数位:
计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。
5数的整除:
整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b
能整除a;如果数a能被数b(b≠0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数(或a
的因数)。
倍数和因数是相互依存的。
如:
因为35能被7整除,所以35是7的倍数,7是35的因数。
(1)一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
例如:
10的因数有1、2、5、10,其中最小的因数是1,最大的因数是10。
(2)一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有:
3、6、9、12⋯⋯
其中最小的倍数是3,没有最大的倍数。
(3)常用规律:
1个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除,例如:
202、480、304,都能被2整除。
。
2个位上是0或5的数,都能被5整除,例如:
5、30、405都能被5整除。
。
3一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除,例如:
12、108、204都能被
3整除。
4一个数各位数上的和能被9整除,这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除,但是能被9整除的数一定能被3整除。
5一个数的末两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。
例如:
16、404、
1256都能被4整除,50、325、500、1675都能被25整除。
6能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。
自然数按能否被2
整除的特征可分为奇数和偶数。
⑦质数和合数的概念:
一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(或素数),100以内的质数有:
2、
3、5、7、11、13、17、⋯79、83、89、97。
一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数,例如4、6、8、9、12都是
合数。
1不是质数也不是合数,自然数除了1外,不是质数就是合数。
如果把自然数按其因数的个
数的不同分类,可分为质数、合数和1。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合
数的质因数,例如15=3×5,3和5叫做15的质因数。
(把一个合数用质因数相乘的形式表
示出来,叫做分解质因数。
(4)公因数和公倍数的概念:
①几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因
因数,例如12的因数有1、2、3、4、6、12;18的因数有1、2、3、6、9、18。
其中,1、2、
3、6是12和18的公因数,6是它们的最大公因数。
②几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍
数,如2的倍数有2、4、6、8⋯⋯;3的倍数有3、6、9、12⋯⋯其中6、12、18⋯⋯是2、
3的公倍数,6是它们的最小公倍数。
。
③公因数只有1的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况:
1和任何自然数互质;相邻的两个自然数互质;两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。
(二)小数
1小数的意义:
把整数1平均分成10份、100份、1000份⋯⋯得到的十分之几、百分之几、
千分之几⋯⋯可以用小数表示;一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数
表示千分之几⋯⋯一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。
数中的圆点叫做小
数点,小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的数叫做小数部分。
在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
2小数的分类
纯小数:
整数部分是零的小数,叫做纯小数。
例如:
0.25、0.368都是纯小数。
带小数:
整数部分不是零的小数,叫做带小数。
例如:
3.25、5.26都是带小数。
有限小数:
小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。
例如:
41.7、25.3、0.23都
是有限小数。
无限小数:
小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数。
例如:
4.33⋯⋯3.1415926⋯⋯
无限不循环小数:
一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不
循环小数。
例如:
∏
循环小数:
一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫做循
环小数。
例如:
3.555⋯⋯0.0333⋯⋯12.109109⋯⋯
(三)分数
1分数的意义把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里,中间的横线叫做分数线;分数线下面的数,叫做分母,表示把单位“1”平均分成
多少份;分数线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份。
把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。
2分数的分类
真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
假分数:
分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。
假分数大于或等于1。
带分数:
假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。
3约分:
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数,叫做约分。
注:
分子分母是互质数的分数,叫做最简分数。
4、通分:
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
(四)百分数:
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百
精选
分比。
百分数通常用"%"来表示。
百分号是表示百分数的符号。
二方法
(一)数的读法和写法
1.整数的读法:
从高位到低位,一级一级地读。
读亿级、万级时,先按照个级的读法去读,
再在后面加一个“亿”或“万”字。
每一级末尾的0都不读出来,其它数位连续有几个0都
只读一个零。
2.整数的写法:
从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数
位上写0。
3.小数的读法:
读小数的时候,整数部分按照整数的读法读,小数点读作“点”,小数部分
从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
4.小数的写法:
写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小
数部分顺次写出每一个数位上的数字。
5.分数的读法:
读分数时,先读分母再读“分之”然后读分子,分子和分母按照整数的读法
来读。
6.分数的写法:
先写分数线,再写分母,最后写分子,按照整数的写法来写。
7.百分数的读法:
读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时按照整数的读法
来读。
8.百分数的写法:
通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
(二)数的改写:
一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。
有时还
可以根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。
1.准确数:
在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的
数。
改写后的数是原数的准确数。
例如把1254300000改写成以万做单位的数是125430万;
改写成以亿做单位的数12.543亿。
2.近似数:
根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近
似数来表示。
例如:
1302490015省略亿后面的尾数是13亿。
3.四舍五入法:
要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小,就把尾数去掉;如果尾数的
最高位上的数是5或者比5大,就把尾数舍去,并向它的前一位进1。
例如:
省略345900万
后面的尾数约是35万。
省略4725097420亿后面的尾数约是47亿。
4.大小比较
(1)比较整数大小:
比较整数的大小,位数多的那个数就大,如果位数相同,就看最高位,
最高位上的数大,那个数就大;最高位上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大那个数就
大。
(2)比较小数的大小:
先看它们的整数部分,,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,
十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大⋯⋯
5.比较分数的大小:
分母相同的分数,分子大的分数比较大;分子相同的数,分母小的分数
大。
分数的分母和分子都不相同的,先通分,再比较两个数的大小。
(三)数的互化
1.小数化成分数:
原来有几位小数,就在1的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小数
点作分子,能约分的要约分。
2.分数化成小数:
用分母去除分子。
能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,不能化成有
限小数的,一般保留三位小数。
3.一个最简分数,如果分母中除了2和5以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有
限小数;如果分母中含有2和5以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。
4.小数化成百分数:
只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
5.百分数化成小数:
把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
6.分数化成百分数:
通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成
百分数。
7.百分数化成小数:
先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
(四)数的整除
1.把一个合数分解质因数,通常用短除法。
先用能整除这个合数的质数去除,一直除到商是
质数为止,再把除数和商写成连乘的形式。
2.求几个数的最大公因数的方法是:
先用这几个数的公因数连续去除,一直除到所得的商只
有公因数1为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公因数。
3.求几个数的最小公倍数的方法是:
先用这几个数(或其中的部分数)的公因数去除,一直
除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数和商连乘求积,这个积就是这几个数的最
小公倍数。
4.成为互质关系的两个数:
1和任何自然数互质;相邻的两个自然数互质;当合数不是
质数的倍数时,这个合数和这个质数互质;两个合数的公因数只有1时,这两个合数互质。
(五)约分和通分
约分的方法:
用分子和分母的公因数(1除外)去除分子、分母;通常要除到得出最简分数
为止。
通分的方法:
先求出原来的几个分数分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍
数作分母的分数。
三性质和规律
(一)商不变的规律:
在除法里,被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍,商不变。
(二)小数的性质:
小数的性质:
在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
(三)小数点位置的移动引起小数大小的变化:
1.小数点向右移动一位,原来的数就扩大10倍;向右移动两位,原来的数就扩大100倍;⋯⋯
2.小数点向左移动一位,原来的数就缩小10倍;向左移动两位,原来的数就缩小100倍;⋯⋯
3.小数点向左移或者向右移位数不够时,要用“0"补足位。
(四)分数的基本性质:
分子和分母都乘以或者除以相同的数(零除外),分数的大小不变。
(五)分数与除法的关系:
1.被除数÷除数=被除数/除数2.因为零不能作除数,所以分数的分母不能为零。
3.被除数相当于分子,除数相当于分母。
四运算的意义
(一)整数四则运算
1整数加法:
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和。
加数是部分数,和是总数。
加数+加数=和一个加数=和-另一个加数
2整数减法:
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里,已知的和叫做被减数,已知的加数叫做减数,未知的加数叫做差。
被减数是总数,
减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算。
3整数乘法:
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。
相同加数的和叫做积。
在乘法里,0和任何数相乘都得0.1和任何数相乘都的任何数。
一个因数×一个因数=积一个因数=积÷另一个因数
4整数除法:
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商。
乘法和除法互为逆运算。
在除法里,0不能做除数。
因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不到一
个确定的商。
被除数÷除数=商除数=被除数÷商被除数=商×除数
(二)小数四则运算
1.小数加法:
小数加法的意义与整数加法的意义相同。
是把两个数合并成一个数的运算。
2.小数减法:
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算.
3.小数乘法:
求几个相同加数和的简便运算;一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、
百分之几、千分之几⋯⋯是多少。
4.小数除法:
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
5.乘方:
求几个相同因数的积的运算叫做乘方。
例如3×3=32
(三)分数四则运算
1.分数加法:
分数加法的意义与整数加法的意义相同。
是把两个数合并成一个数的运算。
2.分数减法:
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。
3.分数乘法:
就是求几个相同加数和的简便运算。
4.乘积是1的两个数叫做互为倒数。
5.分数除法:
就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
(四)运算定律
1.加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a。
2.加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,
再和第一个数相加它们的和不变,即(a+b)+c=a+(b+c)。
3.乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a×b=b×a。
4.乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘,
再和第一个数相乘,它们的积不变,即(a×b)×c=a×(b×c)。
5.乘法分配律:
两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相
加,即(a+b)×c=a×c+b×c。
6.减法的性质:
从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的和,差不变,
即a-b-c=a-(b+c)。
(五)运算法则
1.整数加法计算法则:
相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数相加满十,就向前一位进
2.整数减法计算法则:
相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数不够减,就从它的前一位
退一作十,和本位上的数合并在一起,再减。
3.整数乘法计算法则:
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数,用
因数哪一位上的数去乘,乘得的数的末尾就对齐哪一位,然后把各次乘得的数加起来。
4.整数除法计算法则:
先从被除数的高位除起,除数是几位数,就看被除数的前几位;如
果不够除,就多看一位,除到被除数的哪一位,商就写在哪一位的上面。
如果哪一位上不够
商1,要补“0”占位。
每次除得的余数要小于除数。
5.小数乘法法则:
先按照整数乘法的计算法则算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的
右边起数出几位,点上小数点;如果位数不够,就用“0”补足。
6.除数是整数的小数除法计算法则:
先按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的
小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添“0”,再继续除。
7.除数是小数的除法计算法则:
先移动除数的小数点,使它变成整数,除数的小数点也向右
移动几位(位数不够的补“0”),然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
8.同分母分数加减法计算方法:
同分母分数相加减,只把分子相加减,分母不变。
9.异分母分数加减法计算方法:
先通分,然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
10.带分数加减法的计算方法:
整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的数合并起来。
11.分数乘法的计算法则:
分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变;分
数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
12.分数除法的计算法则:
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
(六)运算顺序:
1.小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
2.分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3.没有括号的混合运算:
同级运算从左往右依次运算;两级运算先算乘、除法,后算加减法。
4.有括号的混合运算:
先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
5.第一级运算:
加法和减法叫做第一级运算。
6.第二级运算:
乘法和除法叫做第二级运算。
第三章代数初步知识
一、用字母表示数:
1用字母表示数的意义和作用
*用字母表示数,可以把数量关系简明的表达出来,同时也可以表示运算的结果。
2用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式(示例如下):
(1)常见的数量关系
(2)运算定律和性质
(3)用字母表示几何形体的公式
路程用s表示,速度v用
加法交换律:
a+b=b+a
(1)长方形的长用a表示,宽用b表
表示,时间用t表示,三
加法结合律
:
示,周长用c表示,面积用s表示。
者之间的关系:
(a+b)+c=a+(b+c)
c=2(a+b);s=ab
3用字母表示数的写法
(1)数字和字母、字母和字母相乘时,乘号可以记作“?
”,或者省略不写,数字要写在字
母的前面。
(2)当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写。
(3)在一个问题中,同一个字母表示同一个量,不同的量用不同的字母表示。
(4)用含有字母的式子表示问题的答案时,除数一般写成分母,如果式子中有加号或者减号,
要先用括号把含字母的式子括起来,再在括号后面写上单位的名称。
4将数值代入式子求值
(1)把具体的数代入式子求值时,要注意书写格式:
先写出字母等于几,然后写出原式,再
把数代入式子求值。
字母表示的是数,后面不写单位名称。
(2)同一个式子,式子中所含字母取不同的数值,那么所求出的式子的值也不相同。
二、简易方程:
(一)方程和方程的解
1方程:
含有未知数的等式叫做方程。
注意方程是等式,又含有未知数,两者缺一不可。
方程和算术式不同。
算术式是一个式子,它由运算符号和已知数组成,它表示未知数。
方程
是一个等式,在方程里的未知数可以参加运算,并且只有当未知数为特定的数值时,方程才
成立。
2方程的解:
使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
三、解方程:
解方程,求方程的解的过程叫做解方程。
四、比和比例
1比的意义和性质:
(1)比的意义:
两个数相除又叫做两个数的比。
“:
”是比号,读作“比”。
比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。
比的
前项除以后项所得的商,叫做比值。
同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。
比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数,注比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。
(2)比的性质
比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。
(3)求比值和化简比:
求比值的方法:
用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整
数,也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。
它的结果必须是一个最简比,即前、后项
是互质的数。
(4)比例尺
图上距离:
实际距离=比例尺
要求会求比例尺;已知图上距离和比例尺求实际距离;已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺:
在图上附有一条注有数目的线段,用来表示和地面上相对应的实际距离。
(5)按比例分配
在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种分配的方法
通常叫做按比例分配。
方法:
首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。
2比例的意义和性质
(1)比例的意义:
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
(2)比例的性质:
两个外项的积等于两个两个内向的积。
这叫做比例的基本性质。
(3)解比例:
根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例
中的另外一个未知项。
求比例中的未知项,叫做解比例。
3正比例和反比例
(1)成正比例的量:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量
中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫
做正比例关系。
如果用字母x和y表示两种相关联的量,用字母k表示它们的比值,正比例
关可以表示成yk(一定),或写成ykx。
x
(2)成反比例的量:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中
相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。
如
果用字母x和y表示两种相关联的量,用字母k表示它们的积,反比例关可以表示成x?
yk
(一定),或写成y。
x
(3)正比例和反比例的区别和联系:
正比例
反比例
相同点
都是描述两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化的关系
不同点
两种相关联的量的变化方向
变化方向相同:
一种量增大,另一种量也随着增大;同样,
一种量减少,另一种量也随着减少。
变化方向相反:
一种量增大,另一种量反而减少;同样,一种量减少,另一种量反而增大。
定值意义
两种相关联的量的比值(商)一定
两种相关联的量的乘积一定
对应式子
yk(一定)x
x?
yk(一定)
具体实例
在圆柱的侧面积、底面周长、这三种量中:
当圆柱的高一定时,圆柱的侧面积与底面
周长成正比例;
在圆柱的侧面积、底面周长、这三种量中当圆柱的侧面积一定时,圆柱的高与底面周长成反比例;
图象
正比例的图像是一条直线。
反比例的图像是一条曲线。
4、比例尺:
实际距离
1)概
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