第六章 解直角三角形.docx
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第六章 解直角三角形.docx
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第六章解直角三角形
第六章解直角三角形
第1课正弦和余弦
(一)
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实.
(二)能力训练点
逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
(三)德育渗透点
引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
二、教学重点、难点
1.重点:
使学生知道当锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实.
2.难点:
学生很难想到对任意锐角,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实,关键在于教师引导学生比较、分析,得出结论.
三、教学过程
(一)明确目标
1.如图6-1,长5米的梯子架在高为3米的墙上,则A、B间距离为多少米?
2.长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上,则A、B间的距离为多少?
3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上,则A、B间距离为多少?
4.若长5米的梯子靠在墙上,使A、B间距为2米,则倾斜角∠CAB为多少度?
前两个问题学生很容易回答.这两个问题的设计主要是引起学生的回忆,并使学生意识到,本章要用到这些知识.但后两个问题的设计却使学生感到疑惑,这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说,起到激起学生的学习兴趣的作用.同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解,有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的,解决这类问题,关键在于找到一种新方法,求出一条边或一个未知锐角,只要做到这一点,有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来.
通过四个例子引出课题.
(二)整体感知
1.请每一位同学拿出自己的三角板,分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值.
学生很快便会回答结果:
无论三角尺大小如何,其比值是一个固定的值.程度较好的学生还会想到,以后在这些特殊直角三角形中,只要知道其中一边长,就可求出其他未知边的长.
2.请同学画一个含40°角的直角三角形,并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值,学生又高兴地发现,不论三角形大小如何,所求的比值是固定的.大部分学生可能会想到,当锐角取其他固定值时,其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗?
这样做,在培养学生动手能力的同时,也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知,唤起学生的求知欲,大胆地探索新知.
(三)重点、难点的学习与目标完成过程
1.通过动手实验,学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值,它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这个命题呢?
学生这时的思维很活跃.对于这个问题,部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论,独立完成.
2.学生经过研究,也许能解决这个问题.若不能解决,教师可适当引导:
若一组直角三角形有一个锐角相等,可以把其
顶点A1,A2,A3重合在一起,记作A,并使直角边AC1,AC2,AC3……落在同一条直线上,则斜边AB1,AB2,AB3……落在另一条直线上.这样同学们能解决这个问题吗?
引导学生独立证明:
易知,B1C1∥B2C2∥B3C3……,∴△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽……,∴
形中,∠A的对边、邻边与斜边的比值,是一个固定值.
通过引导,使学生自己独立掌握了重点,达到知识教学目标,同时培养学生能力,进行了德育渗透.
而前面导课中动手实验的设计,实际上为突破难点而设计.这一设计同时起到培养学生思维能力的作用.
练习题为
作了孕伏同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来.
(四)总结与扩展
1.引导学生作知识总结:
本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上,通过动手实验、证明,我们发现,只要直角三角形的锐角固定,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的.
教师可适当补充:
本节课经过同学们自己动手实验,大胆猜测和积极思考,我们发现了一个新的结论,相信大家的逻辑思维能力又有所提高,希望大家发扬这种创新精神,变被动学知识为主动发现问题,培养自己的创新意识.
2.扩展:
当锐角为30°时,它的对边与斜边比值我们知道.今天我们又发现,锐角任意时,它的对边与斜边的比值也是固定的.如果知道这个比值,已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了.看来这个比值很重要,下节课我们就着重研究这个“比值”,有兴趣的同学可以提前预习一下.通过这种扩展,不仅对正、余弦概念有了初步印象,同时又激发了学生的兴趣.
四、布置作业
本节课内容较少,而且是为正、余弦概念打基础的,因此课后应要求学生预习正余弦概念.
第2课正弦和余弦
(二)
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生初步了解正弦、余弦概念;能够较正确地用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比;熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.
(二)能力训练点
逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
(三)德育渗透点
渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.
二、教学重点、难点
1.教学重点:
使学生了解正弦、余弦概念.
2.教学难点:
用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦;正弦、余弦概念.
三、教学过程
(一)明确目标
1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时,它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”
2.明确目标:
这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值——正弦和余弦.
(二)整体感知
只要知道三角形任一边长,其他两边就可知.
而上节课我们发现:
只要直角三角形的锐角固定,它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定.这样只要能求出这个比值,那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.
通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比,学生自然产生想学习的欲望,产生浓厚的学习兴趣,同时对以下要研究的内容有了大体印象.
(三)重点、难点的学习与目标完成过程
正弦、余弦的概念是全章知识的基础,对学生今后的学习与工作都十分重要,因此确定它为本课重点,同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想,又用含几个字母的符号组来表示,因此概念也是难点.
在上节课研究的基础上,引入正、余弦,“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图6-3:
请学生结合图形叙述正弦、余弦定义,以培养学生概括能力及语言表达能力.教师板书:
在△ABC中,∠C为直角,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA.
若把∠A的对边BC记作a,邻边AC记作b,斜边AB记作c,则
引导学生思考:
当∠A为锐角时,sinA、cosA的值会在什么范围内?
得结论0<sinA<1,0<cosA<1(∠A为锐角).这个问题对于较差学生来说有些难度,应给学生充分思考时间,同时这个问题也使学生将数与形结合起来.
教材例1的设置是为了巩固正弦概念,通过教师示范,使学生会求正弦,这里不妨增问“cosA、cosB”,经过反复强化,使全体学生都达到目标,更加突出重点.
例1 求出图6-4所示的Rt△ABC中的sinA、sinB和cosA、cosB的值.
讲解例1
学生练习1中1、2、3.
让每个学生画含30°、45°的直角三角形,分别求sin30°、sin45°、sin60°和cos30°、cos45°、cos60°.这一练习既用到以前的知识,又巩固正弦、余弦的概念,经过学习亲自动笔计算后,对特殊角三角函数值印象很深刻.
例2 求下列各式的值:
讲解例2
(四)总结、扩展
首先请学生作小结,教师适当补充,“主要研究了锐角的正弦、余弦概念,已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值.知道任意锐角A的正、余弦值都在0~1之间,即0<sinA<1,0<cosA<1(∠A为锐角).还发现Rt△ABC的两锐角∠A、∠B,sinA=cosB,cosA=sinB.正弦值随角度增大而增大,余弦值随角度增大而减小.”
四、布置作业
教材习题6.1中A组2.3.
第3课正弦和余弦(三)
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系.
(二)能力训练点
逐步培养学生观察、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力.
(三)德育渗透点
培养学生独立思考、勇于创新的精神.
二、教学重点、难点
1.重点:
使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系并会应用.
2.难点:
一个锐角的正弦(余弦)与它的余角的余弦(正弦)之间的关系的应用.
三、教学过程
(一)明确目标
1.复习提问
(1)、什么是∠A的正弦、什么是∠A的余弦,结合图形请学生回答.因为正弦、余弦的概念是研究本课内容的知识基础,请中下学生回答,从中可以了解教学班还有多少人不清楚的,可以采取适当的补救措施.
(2)请同学们回忆30°、45°、60°角的正、余弦值(教师板书).
(3)请同学们观察,从中发现什么特征?
学生一定会回答“sin30°=cos60°,sin45°=cos45°,sin60°=cos30°,这三个角的正弦值等于它们余角的余弦值”.
2.导入新课
根据这一特征,学生们可能会猜想“一个锐角的正弦(余弦)值等于它的余角的余弦(正弦)值.”这是否是真命题呢?
引出课题.
(二)、整体感知
关于锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系,是通过30°、45°、60°角的正弦、余弦值之间的关系引入的,然后加以证明.引入这两个关系式是为了便于查“正弦和余弦表”,关系式虽然用黑体字并加以文字语言的证明,但不标明是定理,其证明也不要求学生理解,更不应要求学生利用这两个关系式去推证其他三角恒等式.在本章,这两个关系式的用处仅仅限于查表和计算,而不是证明.
(三)重点、难点的学习和目标完成过程
1.通过复习特殊角的三角函数值,引导学生观察,并猜想“任一锐角的正弦(余弦)值等于它的余角的余弦(正弦)值吗?
”提出问题,激发学生的学习热情,使学生的思维积极活跃.
2.这时少数反应快的学生可能头脑中已经“画”出了图形,并有了思路,但对部分学生来说仍思路凌乱.因此教师应进一步引导:
sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A)(A是锐角)成立吗?
这时,学生结合正、余弦的概念,完全可以自己解决,教师要给学生足够的研究解决问题的时间,以培养学生逻辑思维能力及独立思考、勇于创新的精神.
3.教师板书:
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A).
4.在学习了正、余弦概念的基础上,学生了解以上内容并不困难,但是,由于学生初次接触三角函数,还不熟练,而定理又涉及余角、余函数,使学生极易混淆.因此,定理的应用对学生来说是难点、在给出定理后,需加以巩固.
已知∠A和∠B都是锐角,
(1)把cos(90°-A)写成∠A的正弦.
(2)把sin(90°-A)写成∠A的余弦.
这一练习只能起到巩固定理的作用.为了运用定理,教材安排了例3.
(2)已知sin35°=0.5736,求cos55°;
(3)已知cos47°6′=0.6807,求sin42°54′.
(1)问比较简单,对照定理,学生立即可以回答.
(2)、(3)比
(1)则更深一步,因为
(1)明确指出∠B与∠A互余,
(2)、(3)让学生自己发现35°与55°的角,47°6′分42°54′的角互余,从而根据定理得出答案,因此
(2)、(3)问在课堂上应该请基础好一些的同学讲清思维过程,便于全体学生掌握,在三个问题处理完之后,最好将题目变形:
(2)已知sin35°=0.5736,则cos______=0.5736.
(3)cos47°6′=0.6807,则sin______=0.6807,以培养学生思维能力.
为了配合例3的教学,教材中配备了练习题2.
(2)已知sin67°18′=0.9225,求cos22°42′;
(3)已知cos4°24′=0.9971,求sin85°36′.
学生独立完成练习2,就说明定理的教学较成功,学生基本会运用.
教材中3的设置,实际上是对前二节课内容的综合运用,既考察学生正、余弦概念的掌握程度,同时又对本课知识加以巩固练习,因此例3的安排恰到好处.同时,做例3也为下一节查正余弦表做了准备.
(四)小结与扩展
1.请学生做知识小结,使学生对所学内容进行归纳总结,将所学内容变成自己知识的组成部分.
2.本节课我们由特殊角的正弦(余弦)和它的余角的余弦(正弦)值间关系,以及正弦、余弦的概念得出的结论:
任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
四、布置作业
教材习题6.1A组4、5.
第4课正切和余切
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生了解正切、余切的概念,能够正确地用tanA、cotA表示直角三角形(其中一个锐角为∠A)中两边的比,了解tanA与cotA成倒数关系,熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值,会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子,会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数,了解一个锐角的正切(余切)值与它的余角的余切(正切)值之间的关系.
(二)能力训练点
逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力.
(三)德育渗透点
培养学生独立思考、勇于创新的精神.
二、教学重点、难点
1.重点:
了解正切、余切的概念,熟记特殊角的正切值和余切值.
2.难点:
了解正切和余切的概念.
三、教学过程
(一)明确目标
1.什么是锐角∠A的正弦、余弦?
(结合图6-8回答).
2.填表
3.互为余角的正弦值、余弦值有何关系?
4.当角度在0°~90°变化时,锐角的正弦值、余弦值有何变化规律?
5.我们已经掌握一个锐角的正弦(余弦)是指直角三角形中该锐角的对边(邻边)与斜边的比值.那么直角三角形中,两直角边的比值与锐角的关系如何呢?
在锐角三角函数中,除正、余弦外,还有其它一些三角函数,本节课我们学习正切和余切.
(二)整体感知.
正切、余切的概念,也是本章的重点和关键,是全章知识的基础,对学生今后的学习或工作都十分重要.教材在继第一节正弦和余弦后,又以同样的顺序安排第二节正切余切.像这样,把概念、计算和应用分成两块,每块自成一个整体小循环,第二循环又包含了第一循环的内容,可以有效地克服难点,同时也使学生通过对比,便于掌握锐角三角函数的有关知识.
(三)重点、难点的学习与目标完成
1.引入正切、余切概念
①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系,因此同学们首先应思考:
当锐角固定时,两直角边的比值是否也固定?
因为学生在研究过正弦、余弦概念之后,已经接触过这类问题,所以大部分学生能口述证明,并进一步猜测“两直角边的比值一定是正切和余切.”
②给出正切、余切概念如图6-10,在Rt△ABC中,把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA.
即tanA=
并把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA,
即cotA=
2.tanA与cotA的关系
请学生观察tanA与cotA的表达式,得结论
(或
)
这个关系式既重要又易于掌握,必须让学生深刻理解,并与tanA=cot(90°-A)区别开.
3.锐角三角函数
由上图,
把锐角A的正
弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.
锐角三角函数概念的给出,使学生茅塞顿开,初步理解本节题目.
问:
锐角三角函数能否为负数?
学生回答这个问题很容易.
4.特殊角的三角函数.
三角函数/0°/30°/45°/60°/90°
请同学推算30°、45°、60°角的正切、余切值.(如图6-11)
5.根据互为余角的正弦值与余弦值的关系,结合图形,引导学生发现互为余角的正切值与余切值的关系.
结论:
任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值.
即tanA=cot(90°-A),cotA=tan(90°-A).
练习:
1)请学生回答tan45°与cot45°的值各是多少?
tan60°与cot30°?
tan30°与cot60°呢?
学生口答之后,还可以为程度较高的学生设置问题:
tan60°与cot60°有何关系?
为什么?
tan30°与cot30°呢?
2)把下列正切或余切改写成余角的余切或正切:
(1)tan52°;
(2)tan36°20′;(3)tan75°17′;
(4)cot19°;(5)cot24°48′;(6)cot15°23′.
6.例题
例1求下列各式的值:
(1)2sin30°+3tan30°+cot45°;2)cos245°+tan60°·cos30°.
讲解例1
练习:
求下列各式的值:
(1)sin30°-3tan30°+2cos30°+cot90°;
(2)2cos30°+tan60°-6cot60°;
(3)5cot30°-2cos60°+2sin60°+tan0°;
(4)
(5)
学生的计算能力可能不很强,尤其是分式,二次根式的运算,因此这里应查缺补漏,以培养学生运算能力.
(四)总结扩展
请学生小结:
本节课了解了正切、余切的概念及tanA与cotA关系.知道特殊角的正切余切值及互为余角的正切值与余切值的关系.本课用到了数形结合的数学思想.
结合
四、布置作业
1.看教材,培养学生看书习惯.
2.教材习题6.2A组2、3、5、6.
第5课用计算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角
一教学目标
(一)知识教学点
1.会用计算器求出一个数的平方、平方根、立方、立方根。
2.会用计算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角。
(二)能力训学点:
培养学生熟练地使用现代化辅助计算手段的能力
(三)德育渗透点;激发学生学习兴趣与求知欲。
二教学重点:
会用计算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角
三教学过程
问题1你能用计算器求出
(1)45、
(2)
、(3)
、(4)
的值吗?
试一试。
说明和建议
(1)组织学生人人用计算器来计算上述运算,分别求出它们的结果,使学生回忆出以前学过的用计算器进行数的乘方、开方的计算方法。
(2)在计算上述4个问题时,采取兵教兵的方法,教师只需作个别辅导。
计算结束后,可叫学生逐一说出使用计算器的顺序和方法,以纠正学生中存在的错误。
在使用CZ1206型计算器时,要求乘方的底数大于或等于0,当算式中乘方的底数小于0,且指数是奇数时,应将计算器中得到的结果加上负号,再进行加、减、乘、除运算时,只要按四则运算算式顺序输入数据与运算符号即可完成运算,具有括号的算式,可按照算式中的括号出现的顺序按[] 键即可,如计算:
200—{2
3—〔8
4+2
(3—4
2)—(5+6)〕}
可按以下顺序按键
2、0、0、-、〔、2、×、3、-、[、8、
、4、
+、2、×、[、3、-、4、×、2、]、-、[、5
+、6、]、]、]、=,显示176
(4)教师还可以出一组加减乘除和乘方、开方的简单的计算题,让学生练习,以复习和巩固以前学过的计算器的有关内容和方法。
问题2(阅读课本第105页的有关内容并使用计算器进行计算,逐一回答问题。
)
(1)用计算器求锐角的三角函数值时应首先按哪一个键?
(2) 怎样用计算器求锐角的三角函数值?
要注意什么问题?
说明和建议:
(1)对求非整数度数的锐角三角函数值时,要先把它化为以度为单位的角后再求它的三角函数值。
在用计算器计算时注意度与分、秒之间均要用+键,分化度时用÷、6、0键,秒化度时用÷、3、6、0、0、键。
(2)按键时要正确,顺序不能搞错。
(3)教师可根据学生边读阅、边动手计算的情况,再提供已知锐角求它的正弦、余弦、正切、余切的题目让学生求出各锐角的三角函数值
问题3(阅读课本,按课本内容用计算器计算,并回答问题)
(1)怎样使用计算器由锐角三角函数值求锐角?
要注意什么问题?
(2)怎样求锐角的余切值和由锐角的余切值求锐角?
说明和建议:
(1)在学生边阅读、边计算时,教师要提醒学生以下几点:
在按sin或cos或tan键前必须按第二功能选择键;按sin键后显示得到的是这个锐角的度数,必须按课本上的方法逐一把度数的小数部分化为分,再把分的小数部分化为秒,最后得到精确到
的锐角的近似值。
(2)求锐角的余切值时应转换成求这个锐角的余角的正切值。
即利用关系式cotA=tan(
–A)来解决。
再由锐角的余切值求锐角时,应利用关系式cotA=
来解决。
(3)教师应配置相应的课堂练习题让学生巩固这类问题的解决方法。
[课堂练习]
课本习题6.3第1
(2)、2
(2)题。
[作业]课本习题6.3第1
(2)、(3)、(4)题、第2
(2)题。
第6课解直角三角形
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
(二)能力训练点
通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
(三)德育渗透点
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
二、教学重点、难点和疑点
1.重点:
直角三角形的解法.
2.难点:
三角函数在解直角三角形中的灵活运用.
3.疑点:
学生可能不理解在已知的两个元素中,为什么至少有一个是边.
三、教学过程
(一)明确目标
1.在三角形中共有几个元素?
2.直角三角形ABC中,∠C=90°,a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢?
(1)边角之间关系
如果用
表示直角三角形的一个锐角,那上述式子就可以写成.
(2)三边之间关系
a2+b2=c2(勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°.
以上三点正是解直角三角形的依据,通过复习,使学生便于应用.
(二)整体感知
教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形,目的是运用锐角三角函数知识,对其加以复习巩固.同时,本课又为以后的应用举例打下基础,因此在把实际问题转化为数学问题之后,就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的.综上所述,解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课.
(三)重点、难点的学习与目标完成过程
1.我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系,利用这些关系,在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后,就可求出其余的元素.这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念,同时又陷入思考,为什么两个已知元素中必有一条边呢?
激发了学生的学习热情.
2.教师在学生思考后,继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边?
”让全体学生的思维目标一致,在作出准确回答后,教师请学生概括什么是解直角三角形?
(由直角三角形中除直角外的两个已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形).
3.例题
例
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