学年高二数学人教B版必修4学案111《角的概念的推广》.docx
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学年高二数学人教B版必修4学案111《角的概念的推广》
1.1.1 角的概念的推广
明目标、知重点 1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念,理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念,会用集合符号表示这些角.
1.角的概念
(1)角的概念:
角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)角的分类:
按旋转方向可将角分为如下三类:
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角
(3)角的运算:
各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
2.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
3.象限角
角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,这时角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
[情境导学]
过去我们学习了0°~360°范围的角,但在实际问题中还会遇到其它角.如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中,常常听到“转体1080°”、“踺子后手翻转体180°接前直空翻540°”等这样的解说.因此,仅有0°~360°范围内的角是不够的,我们必须将角的概念进行推广.
探究点一 角的概念的推广
思考1 我们在初中已经学习过角的概念,角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围,也不能表示具有相反意义的旋转量.那么,从“旋转”的角度,对角如何重新定义?
正角、负角、零角是怎样规定的?
答 一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫作角,射线OA叫角的始边,OB叫角的终边,O叫角的顶点.
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角,如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角.
思考2
如图,已知角α=120°,根据角的定义,则β、-α、-β、γ分别等于多少度?
答 -240°;-120°;240°;480°.
思考3 经过10小时,分别写出时针和分针各自旋转所形成的角.
答 经过10小时,时针旋转形成的角是-300°,分针旋转形成的角是-3600°.
探究点二 终边相同的角
思考1 在同一直角坐标系中作出390°,-330°,30°的角,并观察这三个角终边之间的关系?
角的大小关系?
答 终边相同.相差360°的整数倍.
思考2 对于任意一个角α,与它终边相同的角的集合应如何表示?
答 所有与α终边相同的角,连同α在内,可以构成一个集合:
S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
思考3 集合S={α|α=k·360°-30°,k∈Z}表示与角-30°终边相同的角,其中最小的正角是多少度?
已知集合S={α|α=45°+k·180°,k∈Z},则角α的终边落在坐标系中的什么位置?
答 330°;第一或第三象限的角平分线上.
小结
(1)终边相同的角相差360°的整数倍.因此,所有与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
(2)终边相同的角不一定相等,但是相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.
例1 写出终边在x轴上的角的集合.
解 在0°~360°范围内,终边在x轴上的角有两个,即0°和180°,与这两个角终边相同的角组成的集合依次为
S1={β|β=k·360°,k∈Z},
S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z}.
为简便起见,我们把集合S1和S2的表示方法作如下变化
S1={β|β=2k·180°,k∈Z},
S2={β|β=(2k+1)180°,k∈Z}.
因为{m|m=2k,k∈Z}∪{m|m=2k+1,k∈Z}=Z,
所以S=S1∪S2={β|β=m·180°,m∈Z},
即集合S是终边在x轴上的角的集合.
反思与感悟 利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合,如果集合能化简的还要化成最简.
跟踪训练1 写出终边在y轴上的角的集合.
解 所有与90°终边相同的角构成集合
S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z}.
所有与270°终边相同的角构成集合
S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z},
于是,终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2
={β|β=90°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=270°+k·360°,k∈Z}
={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}
={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.
探究点三 象限角与终边落在坐标轴上的角
思考1 是不是任意角都可以归结为象限角,为什么?
答 不是,一些特殊角终边可能落在坐标轴上;如果角的终边落在坐标轴上,就认为这个角不属于任一象限.
思考2 终边落在坐标轴上的角经常用到,下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角,请完成下表.
终边所在的位置
角的集合
x轴正半轴
{α|α=k·360°,k∈Z}
x轴负半轴
{α|α=k·360°+180°,k∈Z}
y轴正半轴
{α|α=k·360°+90°,k∈Z}
y轴负半轴
{α|α=k·360°+270°,k∈Z}
思考3 下表是终边落在各个象限的角的集合,请补充完整.
α终边所在的象限
角α的集合
第一象限
{α|k·360°<α 第二象限 {α|k·360°+90°<α 第三象限 {α|k·360°+180°<α 第四象限 {α|k·360°-90°<α 例2 在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角. (1)-150°; (2)650°;(3)-950°15′. 解 (1)因为-150°=-360°+210°,所以在0°~360°范围内,与-150°终边相同的角是210°角,它是第三象限角. (2)因为650°=360°+290°,所以在0°~360°范围内,与650°终边相同的角是290°角,它是第四象限角. (3)因为-950°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°~360°范围内,与-950°15′终边相同的角是129°45′角,它是第二象限角. 反思与感悟 解答本题可先利用终边相同的角的关系: β=α+k·360°,k∈Z,把所给的角化归到0°~360°范围内,然后利用0°~360°范围内的角分析该角是第几象限角. 跟踪训练2 判断下列角的终边落在第几象限内: (1)1400°; (2)-2015°. 解 (1)1400°=3×360°+320°, ∵320°是第四象限角, ∴1400°也是第四象限角. (2)-2015°=-6×360°+145°, ∴-2015°与145°终边相同. ∴-2015°是第二象限角. 例3 分别写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中满足不等式-360°≤β<720°的元素β写出来: (1)60°; (2)-21°;(3)363°14′. 解 (1)S={β|β=k·360°+60°,k∈Z}. S中满足-360°≤β<720°的元素是 (-1)×360°+60°=-300°, 0×360°+60°=60°, 1×360°+60°=420°. (2)S={β|β=k·360°-21°,k∈Z}. S中满足-360°≤β<720°的元素是 0×360°-21°=-21°, 1×360°-21°=339°, 2×360°-21°=699°. (3)S={β|β=k·360°+363°14′,k∈Z}. S中满足-360°≤β<720°的元素是 -2×360°+363°14′=-356°46′, -1×360°+363°14′=3°14′, 0×360°+363°14′=363°14′. 反思与感悟 当角的集合的表达式分两种或两种以上情形时,能合并的尽量合并,并把最后角的集合化成最简形式. 跟踪训练3 写出终边落在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 解 直线y=x与x轴的夹角是45°,在0°~360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个: 45°,225°.因此,终边在直线y=x上的角的集合: S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z} ={β|β=45°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=45°+k·180°,k∈Z}. ∴S中适合-360°≤β<720°的元素是: 45°-2×180°=-315°;45°-1×180°=-135°; 45°+0×180°=45°;45°+1×180°=225°; 45°+2×180°=405°;45°+3×180°=585°. 1.-361°的终边落在( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 答案 D 2.下列各角中与330°角终边相同的角是( ) A.510°B.150°C.-150°D.-390° 答案 D 3.若角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,那么角α=________. 答案 270° 解析 由于5α与α的始边和终边相同,所以这两角的差应是360°的整数倍,即5α-α=4α=k·360°.又180°<α<360°,令k=3,得α=270°. 4.写出终边落在坐标轴上的角的集合S. 解 终边落在x轴上的角的集合: S1={β|β=k·180°,k∈Z}; 终边落在y轴上的角的集合: S2={β|β=k·180°+90°,k∈Z}; ∴终边落在坐标轴上的角的集合: S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}∪{β|β=k·180°+90°,k∈Z}={β|β=2k·90°,k∈Z}∪{β|β=(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=n·90°,n∈Z}. [呈重点、现规律] 1.对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转量”决定角的“绝对值大小”. 2.关于终边相同的角的认识 一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. 注意: (1)α为任意角; (2)k·360°与α之间是“+”号,k·360°-α可理解为k·360°+(-α); (3)相等的角终边一定相同;终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍; (4)k∈Z这一条件不能少. 一、基础过关 1.设A={小于90°的角},B={锐角},C={第一象限角},D={小于90°而不小于0°的角},那么有( ) A.BCAB.BAC C.D(A∩C)D.C∩D=B 答案 D 解析 锐角、0°~90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围,如下表所示. 角 集合表示 锐角 B={α|0°<α<90°} 0°~90°的角 D={α|0°≤α<90°} 小于90°的角 A={α|α<90°} 第一象限角 C={α|k·360°<α 2.与405°角终边相同的角是( ) A.k·360°-45°,k∈ZB.k·180°-45°,k∈Z C.k·360°+45°,k∈ZD.k·180°+45°,k∈Z 答案 C 3. 如图,终边落在直线y=±x上的角α的集合是( ) A.{α|α=k·360°+45°,k∈Z} B.{α|α=k·180°+45°,k∈Z} C.{α|α=k·180°-45°,k∈Z} D.{α|α=k·90°+45°,k∈Z} 答案 D 4.若α是第四象限角,则180°-α是( ) A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 答案 C 解析 可以给α赋一特殊值-60°, 则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角. 5.与2015°角的终边相同的最小正角是________,绝对值最小的角是________. 答案 215° -145° 解析 与2015°终边相同的角为2015°+k·360°(k∈Z).当k=-5时,215°为最小正角;当k=-6时,-145°为绝对值最小的角. 6.下列说法中,正确的是________.(填序号) ①终边落在第一象限的角为锐角; ②锐角是第一象限的角; ③第二象限的角为钝角; ④小于90°的角一定为锐角; ⑤角α与-α的终边关于x轴对称. 答案 ②⑤ 解析 终边落在第一象限的角不一定是锐角,如400°的角是第一象限的角,但不是锐角,故①的说法是错误的;同理第二象限的角也不一定是钝角,故③的说法也是错误的;小于90°的角不一定为锐角,比如负角,故④的说法是错误的. 7.在与角-2013°终边相同的角中,求满足下列条件的角. (1)最小的正角; (2)最大的负角; (3)-720°~720°内的角. 解 (1)∵-2013°=-6×360°+147°, ∴与角-2013°终边相同的最小正角是147°. (2)∵-2013°=-5×360°+(-213°), ∴与角-2013°终边相同的最大负角是-213°. (3)∵-2013°=-6×360°+147°, ∴与-2013°终边相同也就是与147°终边相同. 由-720° k=-2,-1,0,1.代入k·360°+147°依次得: -573°,-213°,147°,507°. 二、能力提升 8.集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}中,角所表示的范围(阴影部分)正确的是( ) 答案 C 9.在-180°~360°范围内,与2000°角终边相同的角为______. 答案 -160°,200° 解析 ∵2000°=200°+5×360°, 2000°=-160°+6×360°, ∴在-180°~360°范围内与2000°角终边相同的角有-160°,200°两个. 10.角α,β的终边关于y轴对称,若α=30°,则β=________. 答案 150°+k·360°,k∈Z 解析 ∵30°与150°的终边关于y轴对称, ∴β的终边与150°角的终边相同. ∴β=150°+k·360°,k∈Z. 11.已知集合A={α|k·180°+30°<α 求: (1)A∩B; (2)A∪B. 解 在直角坐标系中,分别画出集合A,B所包含的区域,结合图形可知, A∩B={θ|30°+k·360°<θ<45°+k·360°,k∈Z}, A∪B={γ|k·360°-45°<γ 12.已知角β的终边在直线 x-y=0上. (1)写出角β的集合S; (2)写出S中适合不等式-360°<β<720°的元素. 解 (1)如图 ,直线 x-y=0过原点,倾斜角为60°,在0°~360°范围内,终边落在射线OA上的角是60°,终边落在射线OB上的角是240°,所以以射线OA、OB为终边的角的集合为 S1={β|β=60°+k·360°,k∈Z}, S2={β|β=240°+k·360°,k∈Z}, 所以,角β的集合S=S1∪S2 ={β|β=60°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=60°+180°+k·360°,k∈Z} ={β|β=60°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=60°+(2k+1)·180°,k∈Z} ={β|β=60°+n·180°,n∈Z}. (2)由于-360°<β<720°, 即-360°<60°+n·180°<720°,n∈Z. 解得- ,n∈Z, 所以n=-2,-1,0,1,2,3. 所以S中适合不等式-360°<β<720°的元素为 60°-2×180°=-300°; 60°-1×180°=-120°; 60°+0×180°=60°; 60°+1×180°=240°; 60°+2×180°=420°; 60°+3×180°=600°. 三、探究与拓展 13.若α是第一象限角,问-α,2α, 是第几象限角? 解 ∵α是第一象限角, ∴k·360°<α (1)-k·360°-90°<-α<-k·360°(k∈Z), ∴-α所在区域与(-90°,0°)范围相同,故-α是第四象限角. (2)2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z), ∴2α所在区域与(0°,180°)范围相同, 故2α是第一、二象限角或终边在y轴的非负半轴上. (3)k·120°< 方法一 (分类讨论)当k=3n(n∈Z)时, n·360°< ∴ 是第一象限角; 当k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+120°< 是第二象限角; 当k=3n+2(n∈Z)时,n·360°+240°< 是第三象限角. 综上可知: 是第一、二或第三象限角. 方法二 (几何法)如图,先将各象限分成3等份,再从x轴的非负半轴的上方起,依次将各区域标上1,2,3,4,则标有1的区域即为 终边所落在的区域,故 为第一、二或第三象限角.
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