材料力学答案单辉祖版全部答案Word最新版.docx
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材料力学答案单辉祖版全部答案
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其次章轴向拉压应力与材料的力学性能
2-1试画图示各杆的轴力图。
题2-1图解:
各杆的轴力图如图2-1所示。
图2-1
2-2试画图示各杆的轴力图,并指出轴力的最大值。
图a与b所示分布载荷均沿杆轴匀整分布,集度为q。
题2-2图(a)解:
由图2-2a
(1)可知,
轴力图如图2-2a
(2)所示,
图2-2a(b)解:
由图2-2b
(2)可知,
轴力图如图2-2b
(2)所示,
图2-2b2-3
图示轴向受拉等截面杆,横截面面积A=500mm2,载荷F=50kN。
试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力,以及杆内的最大正应力与最大切应力。
题2-3图解:
该拉杆横截面上的正应力为
斜截面m-m的方位角故有
杆内的最大正应力与最大切应力分别为
2-5
某材料的应力-应变曲线如图所示,图中还同时画出了低应变区的详图。
试确定材料的弹性模量E、比例极限、屈服极限、强度极限与伸长率,并推断该材料属于何种类型(塑性或脆性材料)。
题2-5解:
由题图可以近似确定所求各量。
该材料属于塑性材料。
2-7
一圆截面杆,材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。
若杆径d=10mm,杆长
l=200mm,杆端承受轴向拉力F=20kN作用,试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。
题2-6图解:
查上述曲线,知此时的轴向应变为
轴向变形为
拉力卸去后,有
,
故残留轴向变形为
2-9
图示含圆孔板件,承受轴向载荷F作用。
已知载荷F=32kN,板宽b=100mm,板厚15mm,孔径d=20mm。
试求板件横截面上的最大拉应力(考虑应力集中)。
题2-9图解:
依据
查应力集中因数曲线,得
依据
,
得
2-10
图示板件,承受轴向载荷F作用。
已知载荷F=36kN,板宽b1=90mm,b2=60mm,板厚=10mm,孔径d=10mm,圆角半径R=12mm。
试求板件横截面上的最大拉应力(考虑应力集中)。
题2-10图解:
1.在圆孔处依据
查圆孔应力集中因数曲线,得
故有
2.在圆角处依据
查圆角应力集中因数曲线,得
故有
3.结论
(在圆孔边缘处)2-14图示桁架,承受铅垂载荷F作用。
设各杆的横截面面积均为A,许用应力均为[s],试确定载荷F的许用值[F]。
题2-14图解:
先后以节点C与B为探讨对象,求得各杆的轴力分别为
依据强度条件,要求
由此得
2-15
图示桁架,承受载荷F作用,已知杆的许用应力为[]。
若在节点B和C的位置保持不变的条件下,试确定使结构重量最轻的值(即确定节点A的最佳位置)。
题2-15图解:
1.求各杆轴力设杆和的轴力分别为和,由节点B的平衡条件求得
2.求重量最轻的a值由强度条件得
结构的总体积为
由
得
由此得使结构体积最小或重量最轻的值为
2-16
图示桁架,承受载荷F作用,已知杆的许用应力为[]。
若节点A和C间的指定距离为l,为使结构重量最轻,试确定的最佳值。
题2-16图解:
1.求各杆轴力由于结构及受载左右对称,故有
2.求的最佳值由强度条件可得
结构总体积为
由
得
由此得的最佳值为
2-17图示杆件,承受轴向载荷F作用。
已知许用应力[s]=120MPa,许用切应力[t]=90MPa,许用挤压应力[sbs]=240MPa,试从强度方面考虑,建立杆径d、墩头直径D及其高度h间的合理比值。
题2-17图解:
依据杆件拉伸、挤压与剪切强度,得载荷F的许用值分别为
(a)
(b)
(c)志向的状况下,
在上述条件下,由式(a)与(c)以及式(a)与(b),分别得
于是得
由此得
2-18
图示摇臂,承受载荷F1与F2作用。
已知载荷F1=50kN,F2=35.4kN,许用切应力[]=100MPa,许用挤压应力=240MPa。
试确定轴销B的直径d。
题2-18图解:
1.求轴销处的支反力由平衡方程与,分别得
由此得轴销处的总支反力为
2.确定轴销的直径由轴销的剪切强度条件(这里是双面剪)
得
由轴销的挤压强度条件
得
结论:
取轴销直径。
2-19图示木榫接头,承受轴向载荷F=50kN作用,试求接头的剪切与挤压应力。
题2-19图
解:
剪应力与挤压应力分别为
2-20图示铆接接头,铆钉与板件的材料相同,许用应力[s]=160MPa,许用切应力[t]=120MPa,许用挤压应力[sbs]=340MPa,载荷F=230kN。
试校核接头的强度。
题2-20图解:
最大拉应力为
最大挤压与剪切应力则分别为
2-21
图示两根矩形截面木杆,用两块钢板连接在一起,承受轴向载荷F=45kN作用。
已知木杆的截面宽度b=250mm,沿木纹方向的许用拉应力[]=6MPa,许用挤压应力=10MPa,许用切应力[]=1MPa。
试确定钢板的尺寸与l以及木杆的高度h。
题2-21图解:
由拉伸强度条件
得
(a)由挤压强度条件
得
(b)由剪切强度条件
得
取代入式(a),得
结论:
取
,,。
2-22
图示接头,承受轴向载荷F作用。
已知铆钉直径d=20mm,许用应力[]=160MPa,许用切应力[]=120MPa,许用挤压应力=340MPa。
板件与铆钉的材料相同。
试计算接头的许用载荷。
题2-22图解:
1.考虑板件的拉伸强度由图2-22所示之轴力图可知,
图2-222.考虑铆钉的剪切强度
3.考虑铆钉的挤压强度
结论:
比较以上四个F值,得
2-23
图a所示钢带AB,用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接,钢带承受轴向载荷F作用。
已知载荷F=6kN,带宽b=40mm,带厚d=2mm,铆钉直径d=8mm,孔的边距a=20mm,钢带材料的许用切应力[t]=100MPa,许用挤压应力[sbs]=300MPa,许用拉应力[s]=160MPa。
试校核钢带的强度。
题2-23图解:
1.钢带受力分析分析表明,当各铆钉的材料与直径均相同,且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影,
通过该面的形心时,通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。
铆钉孔所受挤压力Fb等于铆钉剪切面上的剪力,因此,各铆钉孔边所受的挤压力Fb相同,钢带的受力如图b所示,挤压力则为
孔表面的最大挤压应力为
在挤压力作用下,钢带左段虚线所示纵截面受剪(图b),切应力为
钢带的轴力图如图c所示。
由图b与c可以看出,截面1-1减弱最严峻,而截面2-2的轴力最大,因此,应对此二截面进行拉伸强度校核。
截面1-1与2-2的正应力分别为
第三章轴向拉压变形3-2
一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆,杆长l=400mm,两端承受轴向拉力F=200kN作用。
若弹性模量E=80GPa,泊松比=0.30。
试计算该杆外径的变更量DD及体积变更量DV。
解:
1.计算DD由于
故有
2.计算DV变形后该杆的体积为
故有
3-4
图示螺栓,拧紧时产生=0.10mm的轴向变形。
已知:
d1=8.0mm,d2=6.8mm,d3=7.0mm;l1=6.0mm,l2=29mm,l3=8mm;E=210GPa,[]=500MPa。
试求预紧力F,并校核螺栓的强度。
题3-4图解:
1.求预紧力各段轴力数值上均等于,因此,
由此得
2.校核螺栓的强度
此值虽然超过,但超过的百分数仅为2.6%,在5%以内,故仍符合强度要求。
3-5
图示桁架,在节点A处承受载荷F作用。
从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为=4.0×10-4与=2.0×10-4。
已知杆1与杆2的横截面面积A1=A2=200mm2,弹性模量E1=E2=200GPa。
试确定载荷F及其方位角之值。
题3-5图解:
1.求各杆轴力
2.确定及之值由节点的平衡方程和得
化简后,成为
(a)及
(b)联立求解方程(a)与(b),得
由此得
3-6图示变宽度平板,承受轴向载荷F作用。
已知板的厚度为d,长度为l,左、右端的宽度分别为b1与b2,弹性模量为E。
试计算板的轴向变形。
题3-6图解:
对于常轴力变截面的拉压平板,其轴向变形的一般公式为
(a)由图可知,若自左向右取坐标,则该截面的宽度为
代入式(a),于是得
3-7
图示杆件,长为l,横截面面积为A,材料密度为,弹性模量为E,试求自重下杆端截面B的位移。
题3-7图解:
自截面B向上取坐标,处的轴力为
该处微段dy的轴向变形为
于是得截面B的位移为
3-8
图示为打入土中的混凝土地桩,顶端承受载荷F,并由作用于地桩的摩擦力所支持。
设沿地桩单位长度的摩擦力为f,且f=ky2,式中,k为常数。
已知地桩的横截面面积为A,弹性模量为E,埋入土中的长度为l。
试求地桩的缩短量。
题3-8图解:
1.轴力分析摩擦力的合力为
依据地桩的轴向平衡,
由此得
(a)截面处的轴力为
2.地桩缩短量计算截面y处微段dy的缩短量为
积分得
将式(a)代入上式,于是得
3-9
图示刚性横梁AB,由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。
设钢丝绳的轴向刚度(即产生单位轴向变形所需之力)为k,试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。
题3-9图解:
载荷作用后,刚性梁倾斜如图(见图3-9)。
设钢丝绳中的轴力为,其总伸长为。
图3-9以刚性梁为探讨对象,由平衡方程得
由此得
由图3-9可以看出,
可见,
(b)依据的定义,有
于是得
3-10图示各桁架,各杆各截面的拉压刚度均为EA,试计算节点A的水平与铅垂位移。
题3-10图(a)解:
利用截面法,求得各杆的轴力分别为
于是得各杆的变形分别为
如图3-10
(1)所示,依据变形Dl1与Dl4确定节点B的新位置B’,然后,过该点作长为l+Dl2的垂线,并过其下端点作水平直线,与过A点的铅垂线相交于A’,此即结构变形后节点A的新位置。
于是可以看出,节点A的水平与铅垂位移分别为
图3-10(b)解:
明显,杆1与杆2的轴力分别为
于是由图3-10
(2)可以看出,节点A的水平与铅垂位移分别为
3-11
图示桁架ABC,在节点B承受集中载荷F作用。
杆1与杆2的弹性模量均为E,横截面面积分别为A1=320mm2与A2=2580mm2。
试问在节点B和C的位置保持不变的条件下,为使节点B的铅垂位移最小,应取何值(即确定节点A的最佳位置)。
题3-11图解:
1.求各杆轴力由图3-11a得
图3-112.求变形和位移由图3-11b得
及
3.求的最佳值由,得
由此得
将的已知数据代入并化简,得
解此三次方程,舍去增根,得
由此得的最佳值为
3-12图示桁架,承受载荷F作用。
设各杆的长度为l,横截面面积均为A,材料的应力应变关系为sn=Be,其中n与B为由试验测定的已知常数。
试求节点C的铅垂位移。
题3-12图解:
两杆的轴力均为
轴向变形则均为
于是得节点C的铅垂位移为
3-13
图示结构,梁BD为刚体,杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。
在梁的中点C承受集中载荷F作用。
已知载荷F=20kN,各杆的横截面面积均为A=100mm2,弹性模量E=200GPa,梁长l=1000mm。
试计算该点的水平与铅垂位移。
题3-13图解:
1.求各杆轴力由,得
由,得
2.求各杆变形
3.求中点的位移由图3-13易知,
图3-13
3-14
图a所示桁架,承受载荷F作用。
设各杆各截面的拉压刚度均为EA,试求节点B与C间的相对位移DB/C。
题3-14图解:
1.内力与变形分析利用截面法,求得各杆的轴力分别为
于是得各杆得变形分别为
2.位移分析如图b所示,过d与g分别作杆2与杆3的平行线,并分别与节点C的铅垂线相交于e与h,然后,在de与gh延长线取线段Dl3与Dl2,并在其端点m与n分别作垂线,得交点C’,即为节点C的新位置。
可以看出,
3-15
如图所示桁架,设各杆各截面的拉压刚度均为EA,试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。
题3-15图
(a)解:
各杆编号示如图3-15a,各杆轴力依次为
该桁架的应变能为
图3-15依据能量守恒定律,
最终得
(b)解:
各杆编号示如图b列表计算如下:
1
20
03
4
5
于是,
依据能量守恒定律,
可得
3-16
图示桁架,承受载荷F作用。
设各杆各截面的拉压刚度均为EA,试用能量法求节点B与C间的相对位移DB/C。
题3-16图解:
依据题意,列表计算如下:
1
2
3
4
5
由表中结果可得
依据
得
3-17
图示变宽度平板,承受轴向载荷F作用。
已知板的厚度为d,长度为l,左、右端的宽度分别为b1与b2,弹性模量为E,试用能量法计算板的轴向变形。
题3-17图解:
对于变截面拉压板件,应变能的表达式为
(a)由图可知,若自左向右取坐标,则该截面的宽度为
将上式代入式(a),并考虑到,于是得
设板的轴向变形为Dl,则依据能量守恒定律可知,
或
由此得
3-19
图示各杆,承受集中载荷F或均布载荷q作用。
各杆各截面的的拉压刚度均为EA,试求支反力与最大轴力。
题3-19图
(a)解:
杆的受力如图3-19a
(1)所示,平衡方程为
一个平衡方程,两个未知支反力,故为一度静不定。
图3-19aAC,CD与DB段的轴力分别为
由于杆的总长不变,故补充方程为
得
由此得
杆的轴力图如3-19a
(2)所示,最大轴力为
(b)解:
杆的受力如图3-19b
(1)所示,平衡方程为
一个平衡方程,两个未知支反力,故为一度静不定。
图3-19bAC与CB段的轴力分别为
由于杆的总长不变,故补充方程为
得
由此得
杆的轴力图如3-19b
(2)所示,最大轴力为
3-20图示结构,杆1与杆2的横截面面积相同,弹性模量均为E,梁BC为刚体,载荷F=20kN,许用拉应力[st]=160MPa,许用压应力[sc]=110MPa,试确定各杆的横截面面积。
题3-20图解:
简洁看出,在载荷F作用下,杆2伸长,杆1缩短,且轴向变形相同,故FN2为拉力,FN1为压力,且大小相同,即
以刚性梁BC为探讨对象,铰支点为矩心,由平衡方程
由上述二方程,解得
依据强度条件,
取
3-21
图示桁架,承受铅垂载荷F作用。
设各杆各截面的拉压刚度相同,试求各杆轴力。
题3-21图
(a)解:
此为一度静不定桁架。
设以压为正,其余各段轴力以拉力为正。
先取杆为探讨对象,由,得
(a)后取节点为探讨对象,由和依次得到
(b)及
(c)在节点处有变形协调关系(节点铅垂向下)
(d)物理关系为
(e)将式(e)代入式(d),化简后得
联解方程和,得(拉),(压),(拉)(b)解:
此为一度静不定问题。
考虑小轮的平衡,由,得
由此得
在作用下,小轮沿刚性墙面对下有一微小位移,在小变形条件下,,故有
的水平重量由刚性墙面供应的约束反力来平衡。
3-22
图示桁架,杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成,许用应力分别为[]=40MPa,[]=60MPa,[]=120MPa,弹性模量分别为E1=160GPa,E2=100GPa,E3=200GPa。
若载荷F=160kN,A1=A2=2A3,试确定各杆的横截面面积。
题3-22图解:
此为一度静不定结构。
节点处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。
图3-22由图a可得平衡方程
(a)
(b)由图b得变形协调方程为
(c)依据胡克定律,有
将式(d)代入式(c),化简后得补充方程为
联解方程(a),(b)和(c’),并代入数据,得(压),(拉),(拉)依据强度要求,计算各杆横截面面积如下:
依据题意要求,最终取
3-23图a所示支架,由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上,刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。
杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同,分别为l=100mm,A=100mm2,E=200GPa。
设由千分表测得C点的铅垂位移dy=0.075mm,试确定载荷F与各杆轴力。
题3-23图解:
1.求解静不定在载荷F作用下,刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动,刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。
明显,本问题具有一度静不定。
由平衡方程,得
(a)由变形图中可以看出,变形协调条件为
(b)依据胡克定律,
(c)将上述关系式代入式(b),得补充方程为
.6mm;(b)间隙d=0.3mm。
题3-24图
解:
当杆右端不存在约束时,在载荷F作用下,杆右端截面的轴向位移为
当间隙d=0.6mm时,由于,仅在杆C端存在支反力,其值则为
当间隙d=0.3mm时,由于,杆两端将存在支反力,杆的受力如图3-24所示。
图3-24杆的平衡方程为
补充方程为
由此得
而C端的支反力则为
3-25
图示两端固定的等截面杆AB,杆长为l。
在非匀整加热的条件下,距A端x处的温度增量为,式中的为杆件B端的温度增量。
材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与。
试求杆件横截面上的应力。
题3-25图解:
1.求温度增高引起的杆件伸长此为一度静不定问题。
假如将B端约束解除掉,则在处的杆微段就会因温升而有一个微伸长
全杆伸长为
2.求约束反力设固定端的约束反力为,杆件因作用而引起的缩短量为
由变形协调条件
可得
3.求杆件横截面上的应力
3-26
图示桁架,杆BC的实际长度比设计尺寸稍短,误差为D。
如使杆端B与节点G强制地连接在一起,试计算各杆的轴力。
设各杆各截面的拉压刚度均为EA。
题3-26图解:
此为一度静不定问题。
自左向右、自上向下将各杆编号1~5。
由强制装配简洁推断,杆1~3受拉,杆4和5受压。
装配后节点和的受力图分别示如图3-26a和b。
图3-26依据平衡条件,由图a可得
(a)由图b可得
(b)变形协调关系为(参看原题图)
(c)依据胡克定律,有
(d)将式(d)代入式(c),得补充方程
(e)联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b),最终得
即
(拉)
(压)3-27图a所示钢螺栓,其外套一长度为l的套管。
已知螺栓与套管的横截面面积分别为Ab与At,弹性模量分别为Eb与Et,螺栓的螺距为p。
现将螺母旋紧1/5圈,试求螺栓与套管所受之力。
螺帽与螺母的变形忽视不计。
题3-27图解:
首先设想套管未套上,而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈,即旋进d=p/5的距离。
然后,再将套管套上。
由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度,故套合后的螺栓将受拉,而套管则受压。
设螺栓所受拉力为FNb,伸长为Dlb,套管所受压力为FNt,缩短为Dlt,则由图b与c可知,平衡方程为
(a)而变形协调方程则为
利用胡克定律,得补充方程为
(b)最终,联立求解平衡方程(a)与补充方程(b),得螺栓与套管所受之力即预紧力为
式中,
3-28
图示组合杆,由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成,二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。
铆接后,温度上升40℃,试计算铆钉剪切面上的切应力。
钢与铜的弹性模量分别为Es=200GPa与Ec=100GPa,线膨胀系数分别为=12.5×10-6℃-1与=16×10-6℃-1。
题3-28图解:
设温度上升时钢杆和铜管自由伸长量分别为和,由于二者被铆钉连在一起,变形要一样,即变形协调条件为
或写成
这里,伸长量和缩短量均设为正值。
引入物理关系,得
将静力平衡条件代入上式,得
留意到每个铆钉有两个剪切面,故其切应力为
由此得
3-29图示结构,杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA,梁BD为刚体,试在下列两种状况下,画变形图,建立补充方程。
(1)
若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短,误差为d;
(2)
若杆1的温度上升DT,材料的热膨胀系数为al。
题3-29图
(1)解:
如图3-29
(1)a所示,当杆2未与刚性杆BD连接时,下端点位于,即。
当杆2与刚性杆BD连接后,下端点铅垂位移至,同时,杆1的下端点则铅垂位移至。
过作直线C’e垂直于杆1的轴线,明显,即代表杆1的弹性变形,同时,,即代表杆2的弹性变形。
与上述变形相应,杆1受压,杆2受拉,刚性杆BD的受力如图3-29
(1)b所示。
图3-29
(1)可以看出,
即变形协调条件为
而补充方程则为
或
(2)解:
如图3-29
(2)a所示,当杆1未与刚性杆BD连接时,由于其温度上升,下端点位于,即。
当杆1与刚性杆BD连接后,下端点C铅垂位移至,而杆2的下端点D则铅垂位移至。
过作直线C’e垂直于直线,明显,即代表杆1的弹性变形,同时,,代表杆2的弹性变形。
与上述变形相应,杆1受压,杆2受拉,刚性杆BD的受力如图3-29
(2)b所示。
图3-29
(2)可以看出,
故变形协调条件为
而补充方程则为
或
3-30
图示桁架,三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同,并分别为A,E与[],试确定该桁架的许用载荷[F]。
为了提高许用载荷之值,现将杆3的设计长度l变为。
试问当D为何值时许用载荷最大,其值[F]max为何。
题3-30图解:
此为一度静不定问题。
节点处的受力及变形示如图3-30a和b。
图3-30由图a得平衡方程为
(a)由图b得变形协调条件为
(b)依据胡克定律,有
(c)将式(c)代入式(b),化简后得补充方程为
(b’)将方程(b’)与方程(a)联解,得
由此得
为了提高值,可将杆3做长D,由图b得变形协调条件为
式中,均为受载后的伸长,依题意,有了D后,应使三根杆同时达到,即
由此得
此时,各杆的强度均充分发挥出来,故有
第四章扭转4-5
一受扭薄壁圆管,外径D=42mm,内径d=40mm,扭力偶矩M=500N•m,切变模量G=75GPa。
试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力,并计算管表面纵线的倾斜角。
解:
该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为
于是,该圆管横截面上的扭转切应力为
依据切应力互等定理,纵截面上的扭转切应力为
该圆管表面纵线的倾斜角为
4-7
试证明,在线弹性范围内,且当R0/d≥10时,薄壁圆管的扭转切应力公式的最大误差不超过4.53%。
解:
薄壁圆管的扭转切应力公式为
设,按上述公式计算的扭转切应力为
(a)依据一般空心圆轴考虑,轴的内、外直径分别为
极惯性矩为
由此得
(b)比较式(a)与式(b),得
当时,
可见,当时
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