中考数学专题复习八几何证明题1001015213.docx
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中考数学专题复习八几何证明题1001015213
专题八:
几何证明题
【问题解析】
几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力,几何证明题和计算题在中考中占有重要地位•根据新的课程标准,对几何证明题证明的方法技巧上要降低,繁琐性、难度方面要降低•但是注重考查学生的基础把握推理能力,所以几何证明题是目前常考的题型.
【热点探究】
类型一:
关于三角形的综合证明题
【例题11(2016•四川南充)已知△ABN和厶ACM位置如图所示,AB=ACAD=AE/仁/2.
(1)求证:
BD=CE
(2)求证:
/M=/N.
【分析】
(1)由SAS证明△ABD^AACE得出对应边相等即可
(2)证出/BAN/CAM由全等三角形的性质得出/B=/C,由AAS证明△ACIWAABN得出对应角相等即可.
【解答】
(1)证明:
在厶ABD和厶ACE中,IAD二恵
•••△ABD^AACE(SAS,
•••BD=CE
(2)证明:
T/1=/2,
•/1+/DAE/2+/DAE
即/BAN/CAM
由
(1)得:
△ABD^AACE
•/B=/C,
在厶ACM^D^ABN中,|ZC訓二上BAN,
•••△ACMmABN(ASA,
•••/M=N.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质;证明三角形全等是解决问题的关键.
【同步练】
(2016•山东省荷泽市・3分)如图,△ACB和厶DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE
(1)如图1,若/CABMCBAMCDEMCED=50
1求证:
AD=BE
2求/AEB的度数.
(2)如图2,若/ACBMDCE=120,CM^^DCE中DE边上的高,BN%AABE中AE边
类型二:
关于四边形的综合证明题
【例题2](2016•山东省滨州市•10分)如图,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平
分线分别交AB,BDBC于点E,F,G,连接EDDG
(1)请判断四边形EBGD勺形状,并说明理由;
(2)若/ABC=30,/C=45,ED=*^,点H是BD上的一个动点,求HG+HC勺最
小值.
【考点】平行四边形的判定与性质;角平分线的性质.
【分析】
(1)结论四边形EBGD是菱形.只要证明BE=ED=DG=G即可.
(2)作EMLBC于M,DN^BC于N,连接EC交BD于点H此时HG+H(最小,在RT^EMC中,求出EMMC即可解决问题.
【解答】解:
(1)四边形EBGD是菱形.
理由:
•••EG垂直平分BD
•••EB=EDGB=GD
•••/EBD=/EDB
•••/EBD=/DBC
•••/EDF玄GBF
在厶EFD和△GFB中,
fZEDF=ZGBF
Z£FI>ZGFB,
IDF=BF
•△EFD^AGFB
•ED=BG
•BE=ED=DG=GB
•四边形EBGD是菱形.
(2)作EMLBC于M,DNLBC于N,连接EC交BD于点H,此时HG+HCt小,
在RT^EBM中,I/EMB=90,/EBM=30,EB=ED=^C,
•em=7be=I:
•••DE//BC,EMLBC,DN!
BC,
•EM/DINEM=DN=,MN=DE=2|,
在RT^DNC中,DNC=90,/DCN=45,
NDC/NCD=45,
•DN=NC=',
•••MC=3|-,
在RT^EMC中,•••/EMC=90,EM=;.MC=3:
-,
•EC^^汀=」刁-7亍1=10丨一.
•/HG+HC=EH+HC=,EC
•HG+HC勺最小值为10[.
B2VC
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂
直平分线的性质、勾股定理等知识,解题的关键是利用对称找到点H的位置,属于中考常考题型.
【同步练】
(2016•山东省济宁市•3分)如图,正方形ABCD勺对角线ACBD相交于点0,延长CB至点F,使CF=CA连接AF,/ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接E0.
(1)已知BD=「-,求正方形ABCD勺边长;
(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.
类型三:
关于圆的综合证明题
【例题3】(2016•山东潍坊)正方形ABCD内接于O0,如图所示,在劣弧「上取一点E,连接DEBE,过点D作DF//BE交OO于点F,连接BF、AF,且AF与DE相交于点G求证:
(1)四边形EBFD是矩形;
(2)DG=BE
【分析】
(1)直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出
/BED=/BAD=90,/BFD2BCD=90,/EDF=90,进而得出答案;
(2)直接利用正方形的性质疋的度数是90°,进而得出BE=DF则BE=DG
【解答】证明:
(1厂••正方形ABCD内接于O0,
•••/BEDdBAD=90,/BFD2BCD=90,
又•DF//BE
•••/EDF+dBED=180,
•••/EDF=90,
•四边形EBFD是矩形;
(2))•正方形ABCD内接于O0,
•的度数是90°,
•••/AFD=45,
又GDF=90,
•••/DGFdDFC=45,
•DG=DF
又••在矩形EBFD中,BE=D
【同步练】
(枣庄市2015中考-24)如图,在△ABC中,/ABC=90,以AB的中点0为圆心、
0A为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,0E
(1)判断DE与OO的位置关系,并说明理由;
(2)求证:
BC=CD?
20;
(3)若cos/BAD=3,BE=6,求0E的长.
类型四:
关于相似三角形的证明问题
【例题4】(2016•黑龙江齐齐哈尔・8分)如图,在△ABC中,ADLBQBELAC垂
足分别为D,E,AD与BE相交于点F.
(1)求证:
△ACSABFD
(2)当tan/ABD=1AC=3时,求BF的长.
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】
(1)由/C+ZDBF=90,/C+ZDAC=90,推出/DBF2DAC由此即可证明.
(2)先证明AD=B»由厶ACDo^BFD得霍=器=1,即可解决问题.
pF,BPI
【解答】
(1)证明:
TADLBC,BELAC,
•••ZBDFZADCZBEC=90,
•••ZC+ZDBF=90,ZC+ZDAC=90,
•ZDBFZDAC
(2)vtanZABD=1ZADB=90
•AD=BD
•二=F•.丽ED
•BF=AC=3
【同步练】
(2016•湖北武汉•10分)在厶ABC中,P为边AB上一点
⑴如图1,若/ACP=ZB,求证:
AC=AP-AB
(2)若M为CP的中点,AC=2,
1
BP的长.
图3
女口图2,若/PBM=ZACPAB=3,求BP的长;
2如图3,若/ABC=45°,/A=ZBM=60°,直接写出
【达标检测】
1.(2016•黑龙江哈尔滨・8分)已知:
如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQLBE于点QDPIAQ于点P.
(1)求证:
AP=BQ
(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与
2.(2016•四川内江)(9分)如图6所示,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD连接BF.
⑴求证:
D是BC的中点;
(2)若AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
图6
3.(烟台市2015中考-23)如图,以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC,
BC的交点分别为D、E,且1='•.
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)已知半圆的半径为5,BC=12求sin/ABD的值.
A
2
直于弦
BC垂足为点B,点D在PC上.设/PCB=a,/POC=3.
求证:
tana?
tan
c
B
D
(2)若/ADB是直角,则四边形BEDF是什么四边形?
证明你的结论.
4.(2015?
内蒙古呼伦贝尔兴安盟,第22题7分)如图,在平行四边形ABCD中,E、F
分别为边ABCD的中点,BD是对角线.
(1)求证:
△ADE^ACBF
6.(2015?
梧州,第25题12分)如图,在正方形ABCD中,点P在AD上,且不与A、D
重合,BP的垂直平分线分别交CDAB于E、F两点,垂足为Q过E作EFUAB于H.
(1)求证:
HF=AR
(2)若正方形ABCD的边长为12,AP=4,求线段EQ的长.
B£
7
AFh丑
7.(2015?
北海,第25题12分)如图,ABCD为OO的直径,弦AE//CD连接BE交
CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使/PED=/C.
(1)求证:
PE是OO的切线;
(2)求证:
ED平分/BEP
(3)若OO的半径为5,CF=2EF,求PD的长.
【参考答案】
类型一:
关于三角形的综合证明题
【同步练】
(2016•山东省荷泽市・3分)如图,△ACB和厶DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE
(1)如图1,若/CAB=/CBA=/CDEMCED=50
1求证:
AD=BE
2求/AEB的度数.
(2)如图2,若/ACBMDCE=120,CM^^DCE中DE边上的高,ABE中AE边
【分析】(1[①通过角的计算找出/ACDMBCE再结合△ACB和厶DCE均为等腰三角形可得出“AC=BCDC=EC,利用全等三角形的判定(SAS即可证出厶ACD^^BCE由此即可得出结论AD=BE
②结合①中的△ACD^^BCE可得出/ADCMBEC再通过角的计算即可算出/AEB的度数;
(2)根据等腰三角形的性质结合顶角的度数,即可得出底角的度数,利用
(1)的结论,
通过解直角三角形即可求出线段ADDE的长度,二者相加即可证出结论.
【解答】
(1)①证明:
•••/CABMCBAMCDEMCED=50,
•••/ACBdDCE=180-2X50°=80°.
•••/ACBdACD#DCB/DCEMDCB#BCE
•••/ACDMBCE
•/△ACB和厶DCE均为等腰三角形,
•AC=BCDC=EC
rAC=BC
在厶人。
。
和厶bce中,有Zacd=Zbce,
DC=EC
•••△ACD^ABCE(SAS,
•••AD=BE
②解:
•••△ACD^^BCE
•••/ADCMBEC
•••点A,D,E在同一直线上,且/CDE=50,
•••/ADC=180-ZCDE=130,
•••/BEC=130.
vZBECZCEDZAEB且ZCED=50,
•ZAEBZBEC-ZCED=130-50°=80°.
(2)证明:
•••△ACB和厶DCE均为等腰三角形,且ZACBZDCE=120,
•ZCDMZCEM=-X(180°-120°)=30°.
•/CMLDE
•ZCMD=9°0,DM=EM
在Rt△CMD中,ZCMD=9°,ZCDM=3°,
•DE=2DM=2,=2-CM
tanz_CDH°
vZBECZADC=180-30°=150°,ZBECZCEMZAEB
•ZAEBZBEC-ZCEM=15°-30°=120°,
•ZBEN=180-120°=60°.
口匚—
BN
BE=
glnZBEU
在Rt△BNE中,ZBNE=90,ZBEN=60,
—^-BN.
3
vAD=BEAE=AD+DE
BN+2.「CM
•AE=BE+DE=-
3
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及
角的计算,解题的关键是:
(1)通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD^^BCE
(2)找出线段ADDE的长.本题属于中档题,难度不大,但稍显繁琐,解决该题型题目时,
最后根据全等三
利用角的计算找出相等的角,再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角,角形的判定定理证出三角形全是关键.
类型二:
关于四边形的综合证明题
【同步练】
(2016•山东省济宁市•3分)如图,正方形ABCD勺对角线ACBD相交于点0,延长CB至点F,使CF=CA连接AF,/ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接E0.
(1)已知BD=「一,求正方形ABCD勺边长;
(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.
【考点】正方形的性质.
【分析】
(1)根据正方形的性质以及勾股定理即可求得;
(2)根据等腰三角形三线合一的性质证得CE!
AF,进一步得出/BAF=/BCN然后通
过证得△ABF^ACBN得出AF=CN进而证得厶ABF^ACOM根据相似三角形的性质和正方形的性质即可证得CN=「CM
【解答】解:
(1)v四边形ABCD是正方形,
•••△ABD是等腰直角三角形,
•••2AB^bD,
BD=~,
•AB=1,
•正方形ABCD的边长为1;
(2)CN=.:
CM
证明:
•••CF=CAAF是/ACF的平分线,
•CE!
AF,
•/AEN/CBN=90,
•••/ANE/CNB
•/BAF=/BCN
在厶ABF和厶CBN中,
rZBAF=ZBCN
AB=BC
•••△ABF^ACBN(AAS,
•••AF=CN
•••/BAF=/BCN/ACN=/BCN
•••/BAF/OCM
•••四边形ABCD是正方形,
•AC丄BD,
•/ABF=/COM=90,
•△ABF^ACOM
【同步练】
(枣庄市2015中考-24)如图,在△ABC中,/ABC=90,以AB的中点O为圆心、
OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DEOE
(1)判断DE与OO的位置关系,并说明理由;
(2)求证:
BC=CD?
2O;
3
(3)若cos/BAD=—,BE=6,求OE的长.
思路分析:
本题考查了切线的判定,垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点.故对于题
(1)
可以连接ODBD,由AB为圆O的直径,得到/ADB为直角,从而得出三角形BCD为直角三
角形,E为斜边BC的中点,利用斜边上的中线等于斜边的一半,得到CE=DE利用等边对等
角得到一对角相等,再由OA=OD利用等边对等角得到一对角相等,由直角三角形ABC中两锐角互余,利用等角的余角相等得到/ADO与/CDE互余,可得出/ODE为直角,即DE垂直于半径OD可得出DE为圆0的切线;
对于题
(2)首先可证明OE:
>AABC的中位线,贝UAC=2OE然后证明厶ABSABDC根据相似三角形的对应边的比相等,即可证得;
对于题(3)在直角△ABC中,利用勾股定理求得AC的长,之后根据三角形中位线定理
OE的长即可求得.
解题过程:
(1)证明:
连接ODBD
•/AB为圆O的直径,
•••/ADB=90,
在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,
1
•CE=DE=BE=BC
2
•••/C=ZCDE
•/OA=OD
•••/A=ZADO
•••/ABC=90,即/C+ZA=90,
•••/ADOZCDE=90,即ZODE=90,
•DELOD又OD为圆的半径,
•DE为OO的切线;
(2)证明:
TE是BC的中点,O点是AB的中点,
•••。
丘是厶ABC的中位线,
•AC=2OE
•/ZC=ZC,ZABCZBDC
•△ABC^ABDC
•BCAC,即BCf=AC?
CD
CDBC
•BCf=2CD?
O;
(3)解:
Tcos/BAD=?
5
•••sin/BAC=BC二4AC5'
又•••BE=6E是BC的中点,即BC=12
•AC=15
又•••AC=2OE
115
••OE=1AC=15.
规律总结:
熟练把握切线的判定,垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点是解决本题的关
键•要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
类型四:
关于相似三角形的证明问题
【同步练】
(2016•湖北武汉•10分)在厶ABC中,P为边AB上一点.
⑴如图1,若/ACP=ZB,求证:
AC=AP-AB
(2)若M为CP的中点,AC=2,
1
BP的长.
如图2,若/PBM=ZACPAB=3,求BP的长;
【考点】相似形综合,考查相似三角形的判定和性质,平行线的性质,三角形中位线性质,勾股定理。
【答案】
(1)证厶ACP^ABC即可;(2[①BP=.5:
②.7_1
【解析】
(1)证明:
ACP=ZB,ZBAC=ZCAP/•△ACP^AABC二ACAB=AP:
2
AC•••AC=AP-AB
(2)①如图,作CQ/BM交AB延长线于Q,设BP=x,贝UPQ=2x
•••/PBM=ZACP/PAC=ZCAQAP3AACQ由AC=AP-AQ得:
22=(3-x)
(3+x),•x=5
即BP=5;
2如图:
作CQLAB于点Q作CP=CP交AB于点F0,
TAC=2,•-AQ=1,CQ=BQ=.3,
AP0旦
MP一BP
设PoQ=PQ=1—x,BP=,3—1+x,
•••/BPM=ZCPoA,/BMP=ZCAPo,APoO^AMPB•
MRPoC=1rc2=(间;(1_x)=AR?
BP=x(73—1+x),解得x^''7-<3
•BP=3—1+7-3=.7-1.
【达标检测】
1.(2016-黑龙江哈尔滨-8分)已知:
如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,
AQLBE于点QDPIAQ于点P.
(1)求证:
AP=BQ
(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与
【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】
(1)根据正方形的性质得出AD=BA/BAQMADP再根据已知条件得到
/AQBMDPA判定△AQB2ADPA并得出结论;
(2)根据AQ-AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析.
【解答】解:
(1)v正方形ABCD
•••AD=BAZBAD=90,即/BAQ#DAP=90
•••DPIAQ
•••/ADP#DAP=90
•••/BAQ#ADP
•AQLBE于点QDPIAQ于点P
•••#AQB#DPA=90
•△AQB2ADPA(AAS
•AP=BQ
(2)①AQ-AP=PQ
2AQ-BQ=PQ
3
DP-AP=PQ
(9分)如图6所示,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中
点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD连接BF.
⑴求证:
D是BC的中点;
⑵若AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
图6
[考点]三角形例行,特殊四边形的性质与判定。
⑴证明:
•••点E是AD的中点,•••AE=DE
•••AF//BC,AFE=ZDCE/FAE=ZCDE
•△EAF^AEDC
•AF=DC
•/AF=BD,
•BD=DC即D是BC的中点.
(2)四边形AFBD是矩形•证明如下:
•/AF/BD,AF=BD,
•四边形AFBD是平行四边形.
•/AB=AC,又由
(1)可知D是BC的中点,
•AD丄BC.
•口AFBD是矩形.
3.(烟台市2015中考-23)如图,以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC,
bc的交点分别为d、e,且..
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由.
思路分析:
(1)连结AE,如图,根据圆周角定理,由De|^J得/DAEdBAE由AB为直径得
/AEB=90,根据等腰三角形的判定方法即可得厶ABC为等腰三角形;
(2)由等腰三角形的性质得BE=CE=BC=6再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE=8,
2
接着由AB为直径得到/ADB=90,则可利用面积法计算出BD巫,然后在Rt△ABD中利用
国
勾股定理计算出AD—,再根据正弦的定义求解.
5
解题过程:
解:
(ABC为等腰三角形•理由如下:
连结AE如图,
•••丨uI-'.,
•••/DAEdBAE即AE平分/BAC
•/AB为直径,
•dAEB=90,
•AE!
BC,
•△ABC为等腰三角形;
(2):
公ABC为等腰三角形,AE!
BC
BE=6,
•AE=卜-=8,
•/AB为直径,
•dADB=90,
在Rt△ABD中,TAB=10
BD譜
•AD=—|--=
14
•sind
14
7|
AR10
=25
5
•余E?
B吕BD?
AC
左%12=
.48
=10=
'5
规律总结:
本题考查了圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条
弧所对的圆心角的一半•推论:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的
弦是直径•也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理.
4.(2015?
内蒙古呼伦贝尔兴安盟,第22题7分)如图,在平行四边形ABCC中,E、F
分别为边ABCD的中点,BD是对角线.
(1)求证:
△ADE^ACBF;
(2)若/ADB是直角,则四边形BEDF是什么四边形?
证明你的结论.
乞£C
考点:
平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定.
分析:
(1)由四边形ABCD是平行四边形,即可得AD=BCAB=CD/A=ZC,又由E、
F分别为边ABCD的中点,可证得
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