完整word版西安交通大学线性代数期末考试试题含答案推荐文档.docx
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完整word版西安交通大学线性代数期末考试试题含答案推荐文档
成绩
西安交通大学考试题
课程线性代数与解析几何(A卷)
系别考试日期2007年1月18日
专业班号
姓名学号期中期末 √
说明:
指方阵的行列式,指方阵的伴随矩阵,指矩阵的秩,指矩阵的转置矩阵,为单位矩阵.指实数域上的二阶实方阵全体按通常矩阵的运算构成的线性空间.表示次数不大于2的一元多项式全体所构成的线性空间。
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
得分
一、填空题(每小题3分,共12分)
(1).若矩阵,则=.
(2).若向量组的秩为2,则=.
(3).设矩阵,已知齐次线性方程组的基础解系含有两个向量,则= .
(4).设矩阵为正定矩阵,则的取值范围是.
共6页第1页
二、单项选择题(每小题3分,共12分)
(1).设两个非零矩阵,满足,则必有
(A)的列向量组线性相关. (B)的列向量组线性无关.
(C)的列向量组线性相关.(D)的列向量组线性无关.【 】
(2).曲线绕轴旋转一周所形成旋转面的名称是
(A)单叶双曲面. (B)双叶双曲面. (C)椭圆面. (D)抛物面.【 】
(3).已知3阶矩阵的特征值为1,2,3,则必相似于对角矩阵
(A);(B);(C);(D);【】
(4).设矩阵,则=
(A). (B). (C). (D). 【】
三、(12分)设方阵满足,其中,求矩阵.
共6页第2页
四、(12分)已知直线,直线.
(1)记的方向向量为,求过且与平行的平面的方程.
(2)求与的交点.并写出与的公垂线的方程.
五、(12分)、取何值时,线性方程组
有唯一解、无解、有无穷多解?
并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.
共6页第3页
六、(12分).设二次型,
(1)写出二次型的矩阵;
(2)求一个正交矩阵,使成对角矩阵;
(3)写出在正交变换下化成的标准形.
共6页第4页
七、(12分)设矩阵的全部特征值之积为24.
(1)求的值;
(2)讨论能否对角化,若能,求一个可逆矩阵使为对角阵。
八、(10分)(注意:
学习过第8章“线性变换”者做第
(2)题,其余同学做第
(1)题)
(1)在中所有2阶实对称矩阵所组成的集合构成的一个子空间.证明元素组是的一个基.
(2)设是上的线性算子,在的基(Ⅰ):
下的矩阵为,求在的基(Ⅱ):
下的矩阵
共6页第5页
九、(6分)设为阶方阵,且.证明:
的充分必要条件是.
课程线性代数与解析几何(A卷)答案(2007.1。
18)
一、(满12分)
(1).72.
(2).-2(3).1.(4)..
二、(满12分)
(1).(A)
(2).(B)(3).(D);(4).(B)
三、(满12分)解 因,两端同乘A,,化简得
,.
四、(满12分)解
(1).(2分),
平面的法向量为,(4分),
故平面方程为.(6分)
(2)将代入得,交点.(10分)
故与的公垂线的方程.(12分)
五、(满12分)解 增广矩阵
(1)当时,,方程组有唯一解,(6分)
(2)当,且时,,方程组无解(8分)
(3)当且时,,该方程组有无穷多解,其结构式通解为,.(12分)
六、(满12分)解
(1);(2分)
(2)特征值为,(5分)当时特征向量为,当时,,取为正交矩阵,可,使;(11分),
共2页第1页
(3)在正交变换下化成的标准形。
(12分)
七、(满12分)解
(1)因得;(3分)
(2)特征值为,又当时,,即代数重数等于几何重数,故A能对角化,(8分),由其特征向量得可逆矩阵,使为对角阵(12分)
八、(满10分)
(1)为三维空间,故任意三个线性无关的元素均可作为其基,(5分)
令,得故线性无关,是的一个基.(10分)
(2)由基(Ⅰ)到的基(Ⅱ)的过渡矩阵为,(5分),
则在的基(Ⅱ):
下的矩阵为。
(10分)
九、(满6分) 必要性:
由,
又故。
(3分)
充分性:
设得方程组的基础解系含个向量,即得属于特征值零的线性无关的特征向量有个;又因方程组的基础解系含个向量,即得属于特征值1的线性无关的特征向量有个,即代数重数等于几何重数,A有个线性无关的特征向量,所以A可对角化。
即存在可逆的,使,
,(6分)
共2页第2页
共6页第6页
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