电路的基本概念及基本定律.docx

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电路的基本概念及基本定律

第一章电路的基本概念及基本定律

本章重点：

参考方向、关联参考方向，电路元件，独立电源，基尔霍夫定律

本章难点：

参考方向，受控源

§1-1电路与电路模型

实际电路是为完成某种预期目的而设计、安装、运行的，由电路元器件相互连接而成，具有传输电能、处理信号、测量、控制、计算等功能。

电路模型是由理想电路元件取代每一个实际电路器件而构成的电路。

理想电路元件是组成电路模型的最小单元，具有某种确定的电磁性质的假想元件。

注意：

本书说电路均指电路模型，并将理想电路元件简称电路元件

以下是手电筒的实际电路及电路模型：

元件分类

按不同原则可将元件分成以下几类：

1、线性元件与非线性元件

2、有源元件与无源元件

3、二端元件与多端元件

4、静态元件与动态元件

5、集中参数元件与分布参数元件 

§1-2基本物理量和参考方向

一、基本物理量

在电路分析中，常用的基本物理量（亦称基本变量）有：

电流i，电压u，电量q，磁链ψ，能量W和功率p。

通过这些物理量可以反映电路所具有的性能，揭示电路的变化规律。

二、参考方向

在电路中，电流和电压都具有方向性。

对于简单的电路来说，电流的实际流向（正电荷运动的方向）、电压的正负极性是可以判断出来的，但对于复杂电路、或方向不断变化（如日常用的50Hz交流电）的交变电路来说，事先辨别出它们的方向是相当困难的。

因此在分析电路之前就需要假设一个方向——参考方向。

1、电流参考方向

   电流在导线中或一个元件中流动的实际方向只有两种可能。

对于难以确定电流实际方向的较复杂电路，为了分析计算的方便，假设了每个支路或元件上的电流方向，这种人为假设的电流方向就是电流的参考方向。

电流参考方向：

对于一个具体的元件或支路可以任意选定某一方向为其电流参考方向。

   如果选定的参考方向与实际电流方向一致，那么电流为正值，选定的参考方向与实际电流方向相反，电流为负值。

在下图中：

（a）中选定的参考方向与实际电流方向一致，i>0

（b）中选定的参考方向与实际电流方向不一致，i<0

电流的大小为单位时间内通过导体横截面的电荷量，即

   如果电流的大小为恒值，且方向不变，此时

电流的基本单位为安培，简称安（简写为A）。

电流常用的单位还有千安（kA）、毫安（mA）、微安（A）及纳安（nA）等，且有

1kA＝103A1mA＝10-3A        1A＝10-6A1nA＝10-9A

2、电压参考方向

又称参考极性。

电路中电压的实际方向也有两中可能，要确定一个复杂电路中任意两点间电压的实际方向也很困难，因而引入电压参考方向的概念。

电压参考方向：

电路中某元件上或任意两点间人为假定的电压降方向。

   如果选定的参考方向与实际电压方向一致，那么电压为正值；反之，电压为负值。

在下图中：

（a）中选定的参考方向与实际电压方向一致，u>0；

（b）中选定的参考方向与实际电压方向不一致，u<0。

电压的大小等于电场力对单位正电荷从A点移到B点所作的功，即

式中：

WA、WB分别为电荷dq在A点、B点的电能。

A、B分别为A点、B点的电位。

所以，电压也常被称为电位差或电压降。

电压的参考方向也可以用双下标表示，如uAB：

A点为高电位，B点为低电位。

电压单位：

伏特（V）、千伏（kV）、毫伏（mV）、微伏（μV）等。

对任何电路进行分析时，应先标出各处的电压、电流的参考方向。

3、关联参考方向

对于一个元件来说，如果电流的参考方向是从电压的“＋”极性流入、从电压的“-”极性流出，则称它们的电压和电流参考方向为关联参考方向（如下图a），否则称为非关联参考方向（如下图b）。

三、功率

元件吸收的功率：

   取关联参考方向

   取非关联参考方向

   p>0时，元件实际在吸收功率

      p<0时，元件吸收的是负功率，即元件实际在释放功率。

  功率的单位：

瓦特简称瓦（W）、千瓦（kW）。

   t0到t吸收的电能：

   直流情况下

电能的单位：

焦耳（J）

1（J）=1（w）×1（s）1度=1kw·h（千瓦·小时）。

§1-3电阻、电感和电容元件

 一、电阻元件

电阻元件按其电压电流的关系曲线（又称伏安特性曲线）是否是过原点的直线而分为线性电阻元件（如上图a）和非线性电阻元件（如上图b）。

按其特性是否随时间变化又可分为时变电阻元件和非时变电阻元件。

本节重点介绍线性非时变电阻元件。

线性电阻元件是一个二端元件，其端电压u（t）和端电流i（t）取关联参考方向时，满足欧姆定律：

      u（t）=Ri（t）         i（t）=Gu（t）

   式中：

R为线性电阻元件的电阻，G为线性电阻元件的电导，二者均为常量，其数值由元件本身决定，与其端电压和端电流无关。

且

电阻的单位：

欧姆（Ω）；电导的单位：

西门子（S）。

线性电阻的电阻值R就是线性电阻伏安特性中那条过原点的直线的斜率。

当电阻值R＝0时，伏安特性曲线与i轴重合，如下图所示。

此时不论电流i为何值，端电压u总为零，称其为“短路”。

当电阻值R＝∞时，其伏安特性曲线与u轴重合如下图所示。

此时不论端电压u为何值，电流i总为零，称其为“开路”或“断路”。

电阻功率

在电阻元件取关联参考方向的情况下，电阻吸收的功率为

 如电阻元件取非关联参考方向，电阻吸收的功率为

 由以上两式知，无论电阻元件采用何种参考方向，任何时刻电阻吸收的功率都不可能为负值，也就是说电阻元件为耗能元件。

在t0到t时间范围内电阻消耗的能量如下     

二、电感元件

1、电感

电感是一种储存磁场能量的元件。

实际的电感如下图所示：

当线圈流过电流iL时，根据右手螺旋定则，在线圈中产生磁通，若线圈的匝数为N，且通过每匝的磁通量均为，则通过线圈的磁链=N。

磁通与磁链的单位均为韦伯（Wb）。

如果磁链与电流iL的特性曲线（又称韦－安特性）是过原点的一条直线（如下图a所示），则对应的电感元件称为线性电感，否则为非线性电感（如下图b所示）。

线性电感的电路符号如下图所示。

且定义

L称为线性电感的电感量或电感值，为常数。

单位：

亨利简称亨（H），常用的还有毫亨（mH）。

2、电感上电压与电流的关系

磁链的变化，在电感线圈的两端会产生感应电压。

对于线性时不变电感元件，当线圈两端的电压uL与电流iL取关联参考方向时，根据法拉第和楞次定律

即电感上的电压与电流的变化率成正比。

或者

式中：

iL（0）是电感电流的初始值。

上式说明，t时刻的电感电流iL不仅取决于0到t这个有限时间内的电感电压有关，而且还与整个过去的历史有关，所以电感元件具有记忆功能。

因此电感元件是记忆元件。

  当电流为直流时，电感两端电压为零，所以在直流电路中，电感元件相当于短路；当电流变化比较剧烈时，电感两端会出现高电压，故电感具有通直流阻交流的作用。

当电压uL与电流iL取非关联参考方向时           

3、功率和能量

关联参考方向下，电感吸收的功率             

即任何时刻电感吸收的功率不仅与该时刻的电流有关，而且还取决于该时刻电流的变化率，其数值有可能为正，也可能为负。

当p>0时，表明电感在吸收能量；而p<0时，说明电感在释放能量。

所以电感元件是一种储能元件。

电感元件在0到t时间内吸收的能量为：

电感元件在t时刻所具有的能量

三、电容元件

1、电容

电容是一种储存电场能量的元件。

其电路符号如下图所示。

当加在电容两端的电压uc增加时，电容器极板上的电荷量q也增加，若二者成正比关系（特性曲线如下图所示），即为线性电容，否则为非线性电容（特性曲线如下图所示）。

电荷q的单位为库仑，反映电容特性的曲线又被称为库－伏特性曲线。

对于线性电容器，其电容量（简称电容）C定义为：

若线性电容是非时变的，则C为常数。

电容的单位有法拉（F）、微法（μF）、纳法（nF）和皮法（pF），它们的关系为

1F=106μF=109nF=1012pF

2、电容上电压与电流的关系

 若电压uc与电流ic取关联参考方向

即流过电容的电流与电容两端的电压变化率成正比。

当电压为直流时，电容电流为零，所以在直流电路中电容相当于开路；当电压变化时，电容电流才有值。

故电容具有隔直流通交流的作用。

电容电压、电流的另一表达式：

其中uc（0）是电容电压的初始值。

上式表明，任何时刻的电容电压uc（t）与t时刻以前的整个过去有关，所以电容也是记忆元件。

当电容电压uc与电流ic取非关联参考方向时       

3、功率和能量

关联参考方向下，电容吸收的功率           

即任何时刻电容吸收的功率不仅与该时刻的电压有关，而且还取决于该时刻电压的变化率，其数值有可能为正，也可能为负。

当p>0时，电容吸收能量：

当p<0时，电容释放能量。

所以电容也是一种储能元件。

0到t时间内电容吸收的能量：

电容t时刻具有的能量：

§1-4独立电源

独立电源是二端电路元件。

它可以将非电磁能量（加热能、机械能、化学能、光能等）转化为电磁能量，并作为电路的激励信号（又称激励源）向电路提供能量。

由此产生的支路电压、电流等称为响应。

独立电源分为独立电压源和独立电流源两种类型，简称电压源和电流源。

下面分别予以介绍。

一、电压源

电压源的电路符号及伏安特性如上图所示。

电压源两端的电压，在任何时刻与其通过的电流无关；而通过电压源的电流的大小则取决于与其相连的外电路。

即

u（t）=us（t）

就是说，电压源的伏安特性是平行于电流i轴的一族直线，上图（b）表示的只是t时刻的伏安特性。

当电压源的数值恒定不变时（直流情况），还可以采用下图所示的符号：

当电压源us（t）＝0时，电压源当于“短路”。

对于一个实际电压源来说，其内部存在损耗，输出电压会随电流的大小而改变，如下图（b）所示：

端口的伏安特性不再是平行于i轴的直线，而是随着输出电流i的增大而下降。

此时实际电压源可以用一个电压源串电阻的模型来等效，如下图虚线框内电路：

图中Ri——电源的内部损耗的等效电阻。

其电路端口处电压、电流的关系为：

u=us－Rii

二、电流源

电流源也是一个二端元件，其电流与加在它两端的电压无关，电流源的特性可表述为

i（t）=is（t）

式中is（t）为电流源的电流。

而电流源两端电压的数值则取决于外接电路。

电流源的电路符号及伏安特性曲线如下图所示。

其伏安特性是一条平行于电压u轴的直线（图1－21（b）），当电流源的数值等于零时，即is（t）=0时，其伏安特性曲线与u轴重合，与电阻R=∞的伏安特性曲线相同，此时相当于“开路”。

对于一个实际电流源来说，其内部存在损耗，输出电流i不再是平行干u轴的直线，而是随着输出电压u的增大而减小，如下图所示。

此时实际电流源可以用一个电流源并电阻的模型来等效，如下图所示。

图中：

Ri——电流源内部损耗等效电阻

端口处电压、电流的数学表达式为                     

说明：

一个实际的电源既可以用一个电压源串电阻的形式来等效，也可以用一个电流源并电阻的形式来等效，采取何种方式，并无严格规定。

其实，这两种等效形式在电路分析当中是可以互相置换的，具体内容将在第二章中介绍。

§l－5受控电源

受控电源是多端元件，对外有两个端口，一个端口为控制端口，另一个端口则为输出端口。

根据受控源的控制量与被控制量的不同分为四种类型，分别是电压控制电压源（voltage-controlledvoltagesource，缩写为VCVS）、电流控制电压源（current-controlledvoltagesource，缩写为CCVS）、电压控制电流源（voltage-controlledcurrentsource，缩写为VCCS）和电流控制电流源（current－controlledcurrentsource，编写为CCCS），如下图所示。

为在表示上区别于独立电源，受控源采用菱形符号，图中的μ、r、g、α为控制系数，其中r具有电阻的量纲，g具有电导的量纲，μ和α没有量纲。

当这些系数为常数时，控制量与被控制量为线性关系，该受控源称为线性受控源，否则称为非线性受控源。

本书只讨论线性情况。

与独立电源的区别

 电压源的电压值和电流源的电流值与电路中其它支路的电压或电流无关，所以称为独立电源。

而受控源却不同，它是一种非独立电源，电源数值的大小受电路中的某一个电流或电压控制，当控制量为零时，受控源输出也为零。

需要指出的是，在实际电路中，控制量和受控源并不一定放在一起。

§1-6基尔霍夫定律  

一、名词介绍

 1、支路在电路中，一般可以把一个二端元件当成一条支路，但为了方便起见，通常把流过同一电流的分支称为一条支路。

如图的acb、adb、ab。

 2、结点一般认为支路间的联接点即为结点。

为简便起见，也可以定义三条和三条以上的支路联接点为结点。

a和b两个结点。

3、回路电路中的任何一条闭合路径称为回路。

acbda、acba和adba。

      4、网孔在回路内部如果不含任何支路时，则称该回路为网孔。

二、基尔霍夫电流定律（KCL）：

   在集中参数电路中，对于任意一个结点来说，任何时刻流出该结点的各支路电流的代数和等于零。

             即：

   假设流出该结点的电流为正，那么流入即为负，对图（a）于是有

    －i1+i2-i3+i4=0

      或        i1－i2＋i3－i4=0

               改写得i1＋i3=i2＋i4

   所以KCL也可描述为：

在集中参数电路中，对于任意一个结点来说，任何时刻流入该结点的电流之和等于流出的电流之和。

引伸到一个闭合面（又称高斯面、广义结点）上，即在任何瞬间，流入闭合面的电流等于流出闭合面的电流。

在上图中有i1+i2＋i3＝0

证：

i1＝i’1－i’3i2＝i’2－i’1i3＝i’3－i’2

三等式相加有：

i1+i2＋i3＝0证毕

例1-1电路如下图。

已知i1＝3e-t,i2=2sint求i3

解：

因为i1－i2＋i3=0所以i3=i2－i1＝2sint-3e-t

例1-2已知:

i2=2A,i4=-1A,i5=6A 求i3

解：

因为i2－i3＋i4－i5=0

所以i3=i2＋i4－i5=2－1－6＝－5A

 三、基尔霍夫电压定律（KVL）：

对于集中参数电路来说，在任何时刻，沿任一闭合回路绕行一周,各支路电压的代数和等于零。

     即

假设电压的参考方向与绕行的方向一致时取“＋”，反之取“－”。

KVL：

u1+u2－u3+u4－u5=0

u1+u2－u3=uad

（1）

uad+u4－u5=0

即uad=u5－u4

（2）

由

（1）式和

（2）式知两点间的电压时与路径无关。

注意：

（1）KCL，KVL只用在集中参数电路中（分布参数不适用）；

（2）KCL，KVL与元件的性质无关。

所以线性、非线性电路均适用。

例1-3：

支路电流如图所标，列出该回路的KVL方程。

 解：

根据KVL可列出

          R1i1+us2+R2i2-R3i3-R4i4-us4=0

  即R1i1+R2i2-R3i3-R4i4=-us2+us4

  由此可知电阻上电压的代数和等于电动势的代数和。

即∑Rkik=∑usk

例1-4已知us1=3V、us2=2V、us3=5V、R2=1、R3=4

求支路电流i1、i2、i3。

解：

根据KCL知:

i1+i2＋i3＝0

列KVL方程

回路1－us2－R2i2＋us2=0

回路2－us2+R2i2－us3－R3i3=0

代入数据，联立求解得

i1＝3A    i2＝－1A      i3＝－2A

第二章电阻电路的等效变换

本章重点：

等效电路及网络的化简。

实际电压源、电流源的等效互换

本章难点：

实际电压源、电流源的等效互换

§2-1电阻的串联和并联

电路元件中最基本的联接方式就是串联和并联。

下面分别对电阻元件的串联和并联进行讨论。

一、电阻的串联

当元件与元件首尾相联时称其为串联，如下图（a）所示。

串联电路的特点是流过各元件的电流为同一电流。

 根据KVL知，电阻串联电路的端口电压等于各电阻电压的叠加。

即

称R为n个电阻串联时的等效电阻，又被称为端口的输入电阻。

   由上式可知，串联电路中各电阻上电压的大小与其电阻值的大小成正比。

电路吸收的总功率为      

即电阻串联电路消耗的总功率等于各电阻消耗功率的总和。

二、电阻的并联

 当n个电阻并联联接时，其电路如下图（c）所示。

并联电路的特点是各元件上的电压相等，均为u。

根据KCL知：

 电导G是n个电阻并联时的等效电导，又称为端口的输入电导。

分配到第k个电阻上的电流为          

  上式说明并联电路中各电阻上分配到的电流与其电导值的大小成正比。

电路吸收的总功率为

即电阻并联电路消耗的总功率等于各电阻消耗功率的总和。

三、举例

例2－1电路如下图所示。

求：

（1）ab两端的等效电阻Rab。

（2）cd两端的等效电阻Rcd。

解：

（1）求解Rab的过程如下图所示。

所以Rab=30Ω

（2）         求Rcd时，一些电阻的联接关系发生了变化，10Ω电阻对于求Rcd不起作用。

Rcd的求解过程如下图所示。

所以Rcd=15Ω 

例2－2求下图所示惠斯通电桥的平衡条件。

解：

电桥平衡时，检流计G的读数为零。

因此所谓电桥平衡的条件就是指电阻R1，R2，R3，R4满足什么关系时，检流计的读数为零。

   检流计的读数为零，即ig=0时，检流计所在的支路相当于开路，故有

i1=i3i2=i4

   另外由于检流计的读数为零，电阻R5上的电压为零，结点b、c之间是一条短路线，因此

uab=0

所以uac=uab，ucd=ubd

即R1i1=R2i2，R3i3=R4i4

两式相比有R1/R3=R2/R4

即电桥平衡的条件是R1R4=R2R3

§2-2电阻的三角形（Δ）联接与星形（Ｙ）联接

一、电阻的三角形（Δ）与星形（Ｙ）联接

 上图所示电路的各电阻之间既非串联联接又非并联联接。

如求ab间的等效电阻，则无法再利用电阻串联、并联的计算方法得到简单求解。

 当三个电阻首尾相联，并且三个联接点又分别与电路的其它部分相联时，这三个电阻的联接关系称为三角形（Δ）联接。

上图所示电路中电阻R1R2R5，R3R4R5均为三角形（Δ）联接。

 当三个电阻的一端接在公共结点上，而另一端分别接在电路的其它三个结点上时，这三个电阻的联接关系称为星形（Ｙ）联接。

上图所示电路中电阻R1R5R3，R2R5R4的联接形式就是星形（Ｙ）联接。

二、Δ联接与Ｙ联接的等效变换

Ｙ联接与Δ联接的电阻电路如上图（a）、（b）所示。

在电路分析中，如果将Ｙ联接等效为Δ联接或者将Δ联接等效为Ｙ联接，就会使电路变得简单而易于分析。

由Ｙ联接变为Δ联接的关系式：

由Δ联接转换到Ｙ联接的关系式：

当Δ联接的三个电阻相等，都等于RΔ时，那么由上式可知，等效为Ｙ接的三个电阻也必然相等，记为RY，反之亦然。

并有  

 三、举例

例2－3求图所示电路的等值电阻Rab。

解：

将电路上面的Δ联接部分等效为Ｙ联接，如下图所示。

其中：

另解：

也可以将原电路图中1Ω、2Ω和3Ω三个Ｙ联接的电阻变换成Δ联接，如下图所示。

其中:

两种方法求出的结果完全相等。

例2－4电路如图所示，各电阻的阻值均为1Ω。

试求ab间的等效电阻。

解：

本题可利用Δ与Ｙ形之间的等效变换进行求解，但也可利用电路的对称性进行求解。

这里采用后面一种方法。

在ab间施加电压时，结点①和结点②是两个对称结点，为等电位点。

因此可将结点①与结点②短接，如图（b）所示。

图（c）所示电路为图（b）的等效电路，该电路满足电桥平衡条件，故结点②与结点③可视为短路，见图（d）。

另外电桥平衡时，图（c）中结点②与结点③间的支路电流为零，所以结点②与结点③之间也可视为开路，如图（e）所示。

由图（d）或图（e）均可求得

例2－5图示电路（a）为一个无限链形网络，每个环节由R1与R2组成，求输入电阻Rab。

解：

因为是无限链形网络，所以在输入端去掉一个或增加一个（或有限个）环节，网络的输入电阻不变，如图（b）所示,故有

§2-3电源的串联、并联

一、电压源的串联与并联

当电路中有多个电压源串联时，以图（a）所示的三个电压源串联为例，对于外电路来说可以等效成一个电压源，如图（b）所示。

即多个电压源串联时，其等效电压源的电压为各个电压源电压的代数和。

关于电压源的并联则必须满足大小相等、方向相同这一条件方可进行。

并且其等效电压源的电压就是其中任一个电压源的电压。

二、电流源的并联与串联

当电路中有多个电流源并联时，以图（c）所示的三个电流源并联为例，对于外电路来说可以等效成一个电流源，如图（d）所示。

即多个电流源并联时其等效电流源的电流为各个电流源电流的代数和。

关于电流源的串联则必须严格满足大小相等、方向相同这一条件。

并且其等效电流源的电流就是其中任一个电流源的电流。

三、多余元件

由于等效电路是针对外电路而言的，故一个电压源与一个电流源并联时，可等效为一个电压源，如图（e）所示，即此时电流源被视为多余元件；而当一个电流源与一个电压源串联时，可等效为一个电流源，如图（f）所示，即电压源被视为多余元件，可以去掉。

同理有图（g）和（h）所示的等效电路。

四、举例

例2－6电路如图（a）所示。

求电阻和电流源上的电压。

解：

设所求电压分别为u1和u2，如图（a）所标。

求u1时，由于电流源与电压源串联，故对电阻而言，只有电流源起作用，电压源可去掉，如图（b）所示。

因此

u1＝5×10＝50V

求电流源上的电压u2时，则不能将电压源去掉，应回到原电路去求解。

根据KVL知u2＝－10＋50