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导数几何意义解答题含分析
导数的几何意义---解答题
一、解答题
1、函数f(x)=--x+1的图象上有两点A(0,1)和B(1,0)
(1)在区间(0,1)内,求实数a使得函数f(x)的图象在x=a处的切线平行于直线AB;
(2)设m>0,记M(m,f(m)),求证在区间(0,m)内至少有一实数b,使得函数
图象在x=b处的切线平行于直线AM.
2、已知函数f(x)=lnx+x2.
(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)-ax在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若a>1,h(x)=e3x-3aexx∈[0,ln2],求h(x)的极小值;
(Ⅲ)设F(x)=2f(x)-3x2-kx(k∈R),若函数F(x)存在两个零点m,n(0<m<n),且2x0=m+n.问:
函数F(x)在点(x0,F(x0))处的切线能否平行于x轴?
若能,求出该切线方程;若不能,请说明理由.
3、设函数,曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)证明:
曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
4、已知f(x)是定义在R上的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2,当x>1时,f(x+1)=f(x)+f
(1),且若直线y=kx与函数y=f(x)的图象恰有5个不同的公共点,则实数k的值为__________.
5、若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,求实数a的值.
6、已知函数f(x)=,的图象过点(-1,2),且在点(-1,f(-1))处的切线与直线x-5y+1=0垂直.
(1)求实数b,c的值;
(2)若P,Q是曲线y=f(x)上的两点,且△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,此三角形斜边的中点在y轴上,则对任意给定的正实数a,满足上述要求的三角形有几个?
7、已知函数,其中a是实数,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的点,且x1<x2.
(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2-x1的最小值;
(Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.
8、已知函数f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围;
(2)若曲线C上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围;
(3)试问:
是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点?
如果存在,求出符合条件的所有直线方程;若不存在,说明理由.
9、已知函数f(x)=blnx,g(x)=ax2-x(a∈R).
(1)若曲线f(x)与g(x)在公共点A(1,0)处有相同的切线,求实数a、b的值;
(2)当b=1时,若曲线f(x)与g(x)在公共点P处有相同的切线,求证:
点P唯一;
(3)若a>0,b=1,且曲线f(x)与g(x)总存在公切线,求正实数a的最小值.
10、已知函数f(x)=mx3+(ax-1)(x-2)(x∈R)的图象在x=1处的切线与直线x+y=0平行.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)当a≥0时,解关于x的不等式f(x)<0.
11、求曲线y=在点(1,1)处的切线方程是__________.
12、求曲线在点处的切线方程.
13、已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).
(1)若函数y=f(x)的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1,求证:
.
(2)若x∈[0,1],则函数y=f(x)的图象上的任意一点的切线的斜率为k,求证:
成立的充要条件.
导数的几何意义---解答题的答案和解析
一、解答题
1、答案:
(1)a=
(2)证明过程见解析
试题分析:
(1)求出导数,求出切线的斜率f′(a),求得直线AB的斜率,令f′(a)=-1(0<a<1)解方程即可得到a;
(2)求出直线AM斜率,求出直线在x=b处的切线斜率为f′(b),由切线平行于AM,可令f′(b)=-m-1,
考察3-2b-+m=0在区间(0,m)内的根的情况,令g(b)=3-2b-+m,求得g(0),
g(m),g(,对m讨论:
当0<m<时,当≤m<1时,当m≥1时,由零点存在定理,即可得证。
解:
(1)解:
直线AB斜率kAB=-2x-1,
f(x)的图象在x=a处的切线平行于直线AB,
令f′(a)=-1(0<a<1)即3-2a-1=-1,
解得a=;
(2)证明:
f(m)=--m+1,
则直线AM斜率kAM==-m-1,
直线在x=b处的切线斜率为f′(b)=3-2b-1,
由切线平行于AM,可令f′(b)=-m-1
即3-2b-+m=0在区间(0,m)内的根的情况,
令g(b)=3-2b-+m,则此二次函数图象的对称轴为b=,
而g()=-+m-=--<0,
g(0)=-+m=m(1-m),
g(m)=2-m=m(2m-1),
则
(1)当0<m<时,g(0)>0,g(m)<0,方程g(b)=0在区间(0,m)内有一实根;
(2)当≤m<1时,g(0)>0,g()<0,方程g(b)=0在区间(0,)内有一实根;
(3)当m≥1时,g()<0,g(m)>0,方程g(b)=0在区间(,m)内有一实根,
综上,方程g(b)=0在区间(0,m)内至少有一实根,
故在区间(0,m)内至少有一实数b,使得函数图象在x=b处的切线平行于直线AM.
2、答案:
(Ⅰ)g(x)=f(x)-ax=lnx+x2-ax,
由题意知,g′(x)≥0,对任意的x∈(0,+∞)恒成立,即
又∵x>0,,当且仅当时等号成立
∴,可得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,令t=ex,则t∈[1,2],则
h(t)=t3-3at,
由h′(t)=0,得或(舍去),
∵,∴
若,则h′(t)<0,h(t)单调递减;若,则h′(t)>0,h(t)单调递增
∴当时,h(t)取得极小值,极小值为
(Ⅲ)设F(x)在(x0,F(x0))的切线平行于x轴,其中F(x)=2lnx-x2-kx
结合题意,有
①-②得
所以,由④得
所以
设,⑤式变为
设,
所以函数在(0,1)上单调递增,
因此,y<y|u=1=0,即,也就是此式与⑤矛盾
所以F(x)在(x0,F(x0))的切线不能平行于x轴
3、答案:
试题分析:
(1)已知曲线上的点,并且知道过此点的切线方程,容易求出斜率,又知点(2,f
(2))在曲线上,利用方程联立解出a,b
(2)可以设P(x0,y0)为曲线上任一点,得到切线方程,再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立,得到交点坐标,接着利用三角形面积公式即可.
试题解析:
解析:
(1)方程7x-4y-12=0可化为,当x=2时,,
又,于是,解得,故.
(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为,即
令x=0,得,从而得切线与直线x=0的交点坐标为;
令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0);
所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为.
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.
4、答案:
试题分析:
求出函数在x∈[1,2]的函数的解析式,通过函数的奇偶性,求出函数在x∈[1,2]相切,求出切线的斜率即可求出实数k的值.
试题解析:
当0≤x≤1时,f(x)=x2,当x>1时,f(x+1)=f(x)+f
(1),
当1≤x≤2时,f(x)=f(x-1)+f
(1)=(x-1)2+1,
∵f(x)是定义在R上的奇函数,直线y=kx与函数y=f(x)的图象恰有5个不同的公共点,
∴x>0时,两个函数的图象,只有2个交点,如图:
设切点为(a,f(a)).
f′(x)=2x-2.
则:
,解得a=.
∴k=2.
此时有两个交点,x<0时,也有两个交点,x=0也是交点,
∴k=2时有5个交点.
故答案为:
2-2
5、答案:
试题分析:
设出所求切线方程的切点坐标和斜率,把切点坐标代入曲线方程得到一个等式,根据切点坐标和斜率写出切线的方程,把切点坐标代入又得到一个等式,联立方程组即可求出切点的横坐标,进而得到切线的斜率,根据已知点的坐标和求出的斜率写出切线方程,再根据与y=ax2+x-9都相切,联立方程组,△=0可求出所求.
试题解析:
设直线与曲线y=x3的切点坐标为(x0,y0),
则,则切线的斜率k=3x02=0或k=,
若k=0,此时切线的方程为y=0,
由,
消去y,可得ax2+x-9=0,
其中△=0,即()2+36a=0,
解可得a=-;
若k=,其切线方程为y=(x-1),
由,
消去y可得ax2-3x-=0,
又由△=0,即9+9a=0,
解可得a=-1.
故a=-或-1.
6、答案:
(1)由题意可得,当x<1时,f′(x)=-3x2+2x+b,f′(-1)=-3-2+b=b-5.
由(b-5)()=-1,可得b=0,故f(x)=-x3+x2+c.
把点(-1,2)代入求得c=0.
综上可得b=0,c=0.
(2)设点P的横坐标为m(不妨设m>0),则由题意可得点Q的横坐标为-m,且-m<0.
当0<m<1时,点P(m,-m3+m2),点 Q(-m,m3+m2),
由K0P•KOQ=-1,可得(-m2+m)(-m2-m)=-1,m无解.
当m≥1时,点P(m,alnm),点 Q(-m,m3+m2),
由K0P•KOQ=-1,可得•(-m2-m)=-1,即alnm=.
由于a为正实数,故存在大于1的实数m,满足方程alnm=.
故曲线y=f(x)上存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上.
7、答案:
试题分析:
(I)利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出;
(II)利用导数的几何意义即可得到切线的斜率,因为切线互相垂直,可得,即(2x1+2)(2x2+2)=-1.可得,再利用基本不等式的性质即可得出;
(III)当x1<x2<0或0<x1<x2时,∵,故不成立,∴x1<0<x2.分别写出切线的方程,根据两条直线重合的充要条件即可得出,再利用导数即可得出..
试题解析:
(I)当x<0时,f(x)=(x+1)2+a,
∴f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在[-1,0)上单调递增;
当x>0时,f(x)=lnx,在(0,+∞)单调递增.
(II)∵x1<x2<0,∴f(x)=x2+2x+a,∴f′(x)=2x+2,
∴函数f(x)在点A,B处的切线的斜率分别为f′(x1),f′(x2),
∵函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,
∴,
∴(2x1+2)(2x2+2)=-1.
∴2x1+2<0,2x2+2>0,
∴=1,当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,即,时等号成立.
∴函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2-x1的最小值为1.
(III)当x1<x2<0或0<x1<x2时,∵,故不成立,∴x1<0<x2.
当x1<0时,函数f(x)在点A(x1,f(x1)),处的切线方程为
,即.
当x2>0时,函数f(x)在点B(x2,f(x2))处的切线方程为,即.
函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合的充要条件是,
由①及x1<0<x2可得-1<x1<0,
由①②得=.
∵函数,y=-ln(2x1+2)在区间(-1,0)上单调递减,
∴a(x1)=在(-1,0)上单调递减,且x1→-1时,ln(2x1+2)→-∞,即-
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- 导数 几何 意义 解答 分析