在STATA中开展主成分分析.docx
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在STATA中开展主成分分析
主成分分分析也称作主分量分析,是霍特林(Hotelling)在1933年首先提出。
主成分分析是利用降维的思想,在损失较少信息的前提下把多个指标转化为较少的综合指标。
转化生成的综合指标即称为主成分,其中每个主成分都是原始变量的线性组合,且各个主成分互不相关。
Stata对主成分分析的主要内容包括:
主成分估计、主成分分析的恰当性(包括负偏协方差矩阵和负偏相关系数矩阵、KMO(Kaiser—Meyer—Olkin)抽样充分性、复相关系数、共同度等指标测度)、主成分的旋转、预测、各种检验、碎石图、得分图、载荷图等。
主成分的模型表达式为:
其中,a称为得分,b称为载荷。
主成分分析主要的分析方法是对相关系数矩阵(或协方差矩阵)进行特征值分析。
Stata中可以通过负偏相关系数矩阵、负相关系数平方和KMO值对主成分分析的恰当性进行分析。
负偏相关系数矩阵即变量之间两两偏相关系数的负数。
非对角线元素则为负的偏相关系数.如果变量之间存在较强的共性,则偏相关系数比较低。
因此,如果矩阵中偏相关系数较高的个数比较多,说明某一些变量与另外一些变量的相关性比较低,主成分模型可能不适用。
这时,主成分分析不能得到很好的数据约化效果。
Kaiser-Meyer-Olkin抽样充分性测度也是用于测量变量之间相关关系的强弱的重要指标,是通过比较两个变量的相关系数与偏相关系数得到的。
KMO介于0于1之间.KMO越高,表明变量的共性越强。
如果偏相关系数相对于相关系数比较高,则KMO比较低,主成分分析不能起到很好的数据约化效果.根据Kaiser(1974),一般的判断标准如下:
0。
00-0.49,不能接受(unacceptable);0.50—0.59,非常差(miserable);0。
60-0。
69,勉强接受(mediocre);0.70-0。
79,可以接受(middling);0。
80-0.89,比较好(meritorious);0.90-1.00,非常好(marvelous)。
SMC即一个变量与其他所有变量的复相关系数的平方,也就是复回归方程的可决系数。
SMC比较高表明变量的线性关系越强,共性越强,主成分分析就越合适。
成分载荷、KMO、SMC等指标都可以通过extat命令进行分析。
多元方差分析是方差分析在多元中的扩展,即模型含有多个响应变量.本章介绍多元(协)方差分析以及霍特林(Hotelling)均值向量T检验。
12。
1主成分估计
Stata可以通过变量进行主成分分析,也可以直接通过相关系数矩阵或协方差矩阵进行。
(1)sysuseauto,clear
pcatrunkweightlengthheadroom
pcatrunkweightlengthheadroom,comp
(2)covariance
(2)webusebg2,clear
pcabg2cost*,vce(normal)
12。
2Estat
estat给出了几个非常有用的工具,包括KMO、SMC等指标。
webusebg2,clear
pcabg2cost*,vce(normal)
estatanti
estatkmo
estatloadings
estatresiduals
estatsmc
estatsummarize
12.3预测
Stata可以通过predict预测变量得分、拟合值和残差等。
webusebg2,clear
pcabg2cost*,vce(normal)
predictscorefitresidualq(备注:
q代表残差的平方和)
12。
4碎石图
碎石图是判断保留多少个主成分的重要方法。
命令为screeplot。
webusebg2,clear
pcabg2cost*,vce(normal)
screeplot
12.5得分图、载荷图
得分图即不同主成分得分的散点图.命令为scoreplot.
webusebg2,clear
pcabg2cost*,vce(normal)
scoreplot
载荷图即不同主成分载荷的散点图.命令为loadingplot.
webusebg2,clear
pcabg2cost*,vce(normal)
loadingplot
12。
6旋转
对载荷进行旋转的命令格式为rotate。
webusebg2,clear
pcabg2cost*,vce(normal)
rotate
例:
对中国30个省市自治区经济发展基本情况的八项指标主成分分析,原始数据如下表:
省份
GDP(亿元)
居民消费水平(元)
固定资产投资(亿元)
职工平均工资(元)
货物周转量(亿吨公里)
居民消费价格指数(上年100)
商品零售价格指数(上年100)
工业总产值(亿元)
area
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
北京
10488。
03
20346
3814。
7
56328
758。
9
105.1
104.4
10413
天津
6354。
38
14000
3389。
8
41748
2703.4
105。
4
105.1
12503
河北
16188。
61
6570
8866。
6
24756
5925。
5
106.2
106.7
23031
山西
6938.73
6187
3531。
2
25828
2562.2
107。
2
107.2
10024
内蒙古
7761。
8
8108
5475.4
26114
3658。
7
105。
7
104。
7
8740。
2
辽宁
13461.57
9625
10019.1
27729
7033。
9
104.6
105.3
24769
吉林
6424.06
7591
5038。
9
23486
1157。
8
105.1
106.2
8406。
9
黑龙江
8310
7039
3656
23046
1690。
9
105.6
105.8
7624.5
上海
13698.15
27343
4823。
1
56565
16029.8
105.8
105。
3
25121
江苏
30312。
61
11013
15300。
6
31667
4300。
9
105.4
104。
9
67799
浙江
21486.92
13893
9323
34146
4974。
9
105
106。
3
40832
安徽
8874.17
6377
6747
26363
5843.2
106。
2
106.3
11162
福建
10823。
11
10361
5207.7
25702
2396.2
104。
6
105.7
15213
江西
6480。
33
5753
4745。
4
21000
2285。
5
106
106。
1
8499。
6
山东
31072.06
9573
15435。
9
26404
10107.8
105。
3
104。
9
62959
河南
18407.78
5877
10490。
6
24816
5165。
1
107
107。
5
26028
湖北
11330.38
7406
5647
22739
2526。
4
106。
3
106.3
13455
湖南
11156。
64
7145
5534
24870
2349。
8
106
105.6
11553
广东
35696。
46
14390
10868.7
33110
4428。
4
105.6
106
65425
广西
7171.58
6103
3756。
4
25660
2079
107.8
107.6
6072
海南
1459。
23
6550
705。
4
21864
597.7
106。
9
106.7
1103.1
重庆
5096。
66
9835
3979。
6
26985
1490。
3
105.6
105
5755.9
四川
12506。
25
6072
7127。
8
25038
1578。
7
105.1
105。
3
14762
贵州
3333。
4
4426
1864.5
24602
805。
3
107。
6
107.2
3111。
1
云南
5700。
1
4553
3435。
9
24030
821.3
105。
7
106.1
5144.6
西藏
395.91
3504
309.9
47280
35.5
105。
7
103.9
48。
19
陕西
6851.32
6290
4614。
4
25942
2027
106.4
106。
9
7480.8
甘肃
3176.11
4869
1712。
8
24017
1594。
9
108。
2
107。
9
3667.5
青海
961.53
5830
583。
2
30983
335。
7
110。
1
110。
6
1103.1
宁夏
1098.51
7193
828。
9
30719
703。
6
108。
5
108。
5
1366。
5
新疆
4203。
41
5542
2260
24687
1273
108.1
108。
5
4276。
1
数据:
来源于2009年《中国统计年鉴》
程序:
clear
*定义变量的标签
labelvararea省份
labelvarx1”GDP(亿元)”
labelvarx2"居民消费水平(元)"
labelvarx3”固定资产投资(亿元)"
labelvarx4”职工平均工资(元)"
labelvarx5"货物周转量(亿吨公里)"
labelvarx6”居民消费价格指数(上年100)"
labelvarx7”商品零售价格指数(上年100)"
labelvarx8"工业总产值(亿元)”
describe
pcax1—x8/*主成分估计*/
estatkmo/*KMO检验,越高越好*/
estatsmc/*SMC检验,值越高越好*/
screeplot/*碎石图(特征值等于1处的水平线标示保留主成分的分界点)*/
predictscorefitresidualq/*预测变量得分、拟合值和残差以及残差的平方和*/
predictf1f2f3
predictq1q2q3
scoreplot,mlabel(area)yline(0)xline(0)/*得分图1*/
scoreplot,xtitle(”经济社会总量")ytitle(”人民生活水平”)///
mlabel(area)yline(0)xline(0)/*得分图*/
scatterf2f3,xtitle("人民生活水平")ytitle(”物价水平")///
mlabel(area)yline(0)xline(0)/*得分图*/
scoreplot,factors(3)mlabel(area)/*得分图*/
scoreplot,combinedfactors(3)mlabel(area)yline(0)xline(0)/*得分图*/
loadingplot,yline(0)xline(0)/*载荷图*/
loadingplot,combinedfactors(3)yline(0)xline(0)/*载荷图*/
rotate/*旋转*/
分析:
先对数据进行标准化处理后,接着进行主成分分析,可以得到:
表:
R的特征值和特征向量
主成分
特征值
方差贡献率
累计贡献率
1
4.25488
2.50258
0.5319
2
1。
75229
.537538
0.7509
3
1。
21475
。
760916
0。
9027
4
.453839
.260701
0。
9595
5
。
193137
.124141
0.9836
6
。
0689962
.0273464
0.9922
7
.0416498
.0211945
0.9974
8
.0204553
.
1。
0000
从表中看到,前3个特征值累计贡献率已达90.27%,说明前3个主成分基本包含了全部指标具有的信息,我们取前3个特征值。
通过对载荷矩阵进行旋转,可得到,相应的特征向量,见下表:
第一、第二、第三特征值向量
第一特征向量
第二特征向量
第三特征向量
x1_s
0.4249
0。
3064
0。
1079
x2_s
0.3217
-0。
4467
0。
3101
x3_s
0.4057
0.3855
-0.0181
x4_s
0.1856
—0.6100
0。
2536
x5_s
0.3520
—0.0510
0。
3714
x6_s
—0.3444
0.1427
0.5784
x7_s
-0.3118
0.2767
0。
5769
x8_s
0。
4209
0。
2938
0。
1495
因而前三个主成分为:
第一主成分:
F1=0。
4249x1+0。
3217x2_s+0。
4057x3_s+0。
1856x4_s
+0.3520x5_s—0.3444x6_s-0.3118x7_s+0。
4209x8_s
第二主成分:
F2=0.3064x1—0。
4467x2_s+0.3855x3_s—0.6100x4_s
-0.0510x5_s+0.1427x6_s+0。
2767x7_s+0.2938x8_s
第三主成分:
F3=0.1079x1+0。
3101x2_s—0。
0181x3_s+0.2536x4_s
+0。
3714x5_s—0.5784x6_s+0.5769x7_s+0。
1495x8_s
在第一主成分的表达式中第一、第三、第八项指标的系数较大,这三项指标起主要作用,我们可以把第一主成分看成是由国内生产总值、固定资产投资、工业总产值所刻划的反映经济社会总量的综合指标;
在第二主成分中,第二、第三、第四项指标的影响大,且第二、第四项的影响较大,因此可以把第二主成分看成是由居民消费水平、职工平均工资表示的反映人民生活水平的综合指标;
在第三主成分中,第六、第七项指标大于其余的指标,可看成是受居民消费价格指数、商品零售价格指数的影响,反映物价水平的综合指标。
在这次的主成分分析里面,我们可以进行些检验以验证我们分析的效果,通过KMO检验和SMC检验,得到了下面的检验值:
变量的KMO、SMC值表
变量
KMO值
SMC值
x1_s
0.7423
0。
9656
x2_s
0.5361
0.8366
x3_s
0.7706
0.9276
x4_s
0.4737
0。
7647
x5_s
0.6794
0.6515
x6_s
0。
5467
0。
8837
x7_s
0.5482
0。
8627
x8_s
0。
7692
0。
9591
合计
0。
6447
---
Kaiser—Meyer-Olkin抽样充分性测度也是用于测量变量之间相关关系的强弱的重要指标,是通过比较两个变量的相关系数与偏相关系数得到的。
KMO介于0于1之间。
KMO越高,表明变量的共性越强.如果偏相关系数相对于相关系数比较高,则KMO比较低,主成分分析不能起到很好的数据约化效果。
根据Kaiser(1974),一般的判断标准如下:
0.00-0.49,不能接受(unacceptable);0。
50-0。
59,非常差(miserable);0.60—0.69,勉强接受(mediocre);0.70—0。
79,可以接受(middling);0.80-0.89,比较好(meritorious);0.90-1。
00,非常好(marvelous)。
SMC即一个变量与其他所有变量的复相关系数的平方,也就是复回归方程的可决系数。
SMC比较高表明变量的线性关系越强,共性越强,主成分分析就越合适.
根据KMO越高,表明变量的共性越强和SMC比较高表明变量的线性关系越强,共性越强,主成分分析就越合适.从上表可以看出,在该例中,各变量基本符合要求。
通过碎石图,我们可以很直观的看出各个特征值的大小。
在该图中,特征值等于1处的水平线标示了保留主成分分析的分界点,同时再次强调了本例中的成分4到8并不重要。
碎石图
通过predict我们可以得出各个观察变量的所对应的各个主成分的线性组合(即得分).
在得分图里,我们可以看到不同地区在第一、第二主成分里各自的得分情况。
得分图
通过载荷图,我们可以直观看出各个变量对主成分影响的大小。
载荷图
运行rotate进行旋转后,我们将旋转后的结果和旋转前的结果进行比较,可以发现每一个观察变量独自构成一个主成分,方差贡献相等,都为12%。
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- STATA 开展 成分 分析