湖南省长郡中学届高三上学期第一次月考开学考试数学理试题 Word版含答案.docx

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湖南省长郡中学届高三上学期第一次月考开学考试数学理试题Word版含答案

长郡中学2019届高三月考试卷

（一）

数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设复数，则（）

A．B．C．D．

2.已知集合，，，则（）

A．B．

C．D．

3.若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（）

A．个B．个C．个D．个

4.计算的结果为（）

A．B．C.D．

5.已知、、是双曲线上不同的三点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（）

A．B．C.D．

6.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：

千瓦·时）与气温（单位：

℃）之间的关系，随机选取了天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：

（单位：

℃）

（单位：

千瓦·时）

由表中数据得线性回归方程：

，则由此估计：

当某天气温为℃时，当天用电量约为（）

A．千瓦·时B．千瓦·时

C.千瓦·时D．千瓦·时

7.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）

A．B．C.D．

8.知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为（）

A．B．C.D．

9.设，则“”是“”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是（）

A．B．C.D．

11.过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，与圆交于、两点，若有三条直线满足，则的取值范围为（）

A．B．C.D．

12.设函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（）

A．B．

C.D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设满足约束条件，则的最大值为．

14.《聊斋志异》中有这样一首诗：

“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。

得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟。

”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：

，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则．

15.已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为．

16.如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在中，角、、的对边分别是、、，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求面积的最大值.

18.如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.

（1）证明：

；

（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.

19.某家电公司销售部门共有名销售员，每年部门对每名销售员都有万元的年度销售任务.已知这名销售员去年完成的销售额都在区间（单位：

百万元）内，现将其分成组，第组、第组、第组、第组、第组对应的区间分别为，，，，，并绘制出如下的频率分布直方图.

（1）求的值，并计算完成年度任务的人数；

（2）用分层抽样的方法从这名销售员中抽取容量为的样本，求这组分别应抽取的人数；

（3）现从

（2）中完成年度任务的销售员中随机选取名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的名销售员在同一组的概率.

20.已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为尝

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与相交于两点，与相交于两点，且，求的取值范围.

21.已知函数，.

（1）讨论的单调区间；

（2）若恒成立，求的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为.

（1）分别写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；

（2）若直线与圆相切，求实数的值.

23.选修4-5：

不等式选讲

设函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若在上恒成立，求的取值范围.

长郡中学2019届高三月考试卷

（一）

数学（理科）参考答案

一、选择题

1-5:

DCCBC6-10:

ADDAC11、12：

BD

二、填空题

13.14.15.16.

三、解答题

17.【解析】

（1）由正弦定理可得：

.

从而可得：

，即

又为三角形内角，所以，于是，

又为三角形内角，所以.

（2）由余弦定理：

得：

，

所以如，所以，面积的最大值为.

18.【解析】依题意，以点为原点，以、、为轴建立空间直角坐标系如图，

可得，，，，

由为校的中点，得，

（1）向量，，

故

（2）.，.，

由点在棱上，设，

故，

由，得.

因此，，

即，

设为平面的法向量，

即,即

不妨令，可得为平面的一个法向量，

取平面的法向量，

则

所以二面角的余获值为

19.【解析】

（1）∵，∴

完成年度任务的人数为

（2）第组应抽取的人数为，

第组应抽取的人数为.

第组应抽取的人数为，

第组应抽取的人数为，

第组应抽取的人数为

（3）在

（2）中完成年度任务的销售员中，第组有人，记这人分别为；第组有人，记这人分别为；

从这人中随机选取名，所有的基本事件为，，，，，.，，，

A.B1，A，B2，AsB，B1B2，B1B1，B.B1，共有个基本事件。

获得此奖励的名销售员在同一组的基本事件有个，

故所求概率为

20.【解析】

（1）由题意可知：

，

又椭圆的上顶点为，

双曲线的渐近线为：

，

由点到直线的距离公式有：

.

（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，消去并整理得：

，

要与相交于两点，则应有：

设，

则有：

，.

又.

又：

，所以有：

，

，②

将，代入，消去并整理得：

，

要有两交点，则.③

由①②③有：

设、.

有：

，

.

将代入有：

.

令,

令,.

所以在内恒成立，故函数在内单调递增，

故.

21.【解析】

（1），，

当时，即时，在上恒成立，

所以的单调减区间是，无单调增区间

当时，即时，由得.由，得，

所以的单调减区间是，单调增区间是

（2）由题意，，恒成立，..，

，.

①时，.（），在上单调递增.∴，，舍去。

②时，，（），在上单调递减，∴.，成立

③时，（）：

∴时.在上单调

递增，，舍去。

综上，

22.【解析】

（1）直线的直角坐标系方程是，

圆的直角坐标方程是

（2）由

（1）知圆心为，半径，

设图心到直线的距离为，因为直线与圆相切，

所以解得

23.【解析】

（1）当时，不等式.

当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，解得，

综上所述，不等式的解集为

（2），

∴，解得或，

即的取值范围是