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固体理论习题
固体理论习题2014
固体理论习题
一、简答题
1、什么是原胞?
Wigner-Seitz原胞的特点。
a)在完整晶体中,晶格在空间的三个方向上都具有一定的周期对称性,这样可以取一个以结点为顶点,边长等于这三个方向上的周期的平行六面体作为最小的重复单元,来概括晶格的特征,这样的重复单元称为初基原胞或简称原胞。
b)W-S原胞,是晶格中比较对称的一种原胞。
其构成方法是以某个格点为中心,作其与近邻格点连线的垂直平分面,由这些平分面构成的单元即为W-S原胞。
2、讨论晶体电子结构,为什么要引入倒空间?
3、周期性边界条件的物理意义。
4、如何理解晶格振动的简谐近似,如何理解声子?
5、什么是Fermi能级?
绝对零度和有限温时候Fermi能级有什么区别?
对于金属,绝对零度下,电子占据的最高能级就是费米能级。
费米能级的物理意义是,该能级上的一个状态被电子占据的几率是1/2。
有限温度的费米分布会引入费米能级附近的展宽,这个温度可以通过展宽来得到。
这个时候可以认为展宽与实际电子温度有关。
6、什么是Landau能级?
朗道能级是磁场中电子作回旋运动的量子化能级。
考虑电子在均匀磁场B中运动。
电子沿磁场方向的运动不受影响,但在垂直于磁场的平面内作回旋运动。
7、如何利用能带理论来解释导体、半导体、绝缘体?
8、如何用Hubbard模型来描述Mott绝缘体。
5、在格点间距为a格点总数为N的一维单原子链中,证明
6、利用紧束缚近似方法,考虑最近邻近似,论述一维单原子链体系的能谱有如下形式:
,
为原子能级,t为两原子之间的耦合能量;讨论该体系中能带的宽度,电子的有效质量。
7、试用Anderson模型:
证明d电子的态密度公式为:
二、计算题
1、一维周期势场中电子的波函数应当满足布洛赫定理。
如果晶格常数为a,电子的波函数为
(i)
(ii)
(iii)
试求电子在这些状态的波矢量。
2、一维双原子链原子间距为a,相邻原子质量分别为m和M。
原子限制在沿链的方向运动,讨论描述原子振动的色散关系,并指出m=M时的极限情况。
3、限制在边长为L的正方形中的N个自由电子,电子的能量
(i)求能量E到E+dE之间的状态数(态密度);
(ii)求此二维系统在绝对零度的Fermi能级。
(iii)如果在z方向上加入强度为B的磁场,能谱如何变化。
4、设有一维晶体的电子能带可写成
,其中
为晶格常数,
是电子的质量。
试求:
(1)能带宽度;
(2)电子在波矢k状态的速度;
(3)带顶和带底的电子有效质量。
5、
由Hubbard近似
(i)推导如下对易关系:
;
(iii)描述在该近似下库仑相互作用对电子能级的影响。
6、一个体系的自旋角动量量子数和磁量子数分别为S,m.同时定义
则容易得出:
。
另一方面,知道玻色子湮灭和产生算符有如下关系式:
,
。
(i)
表示
;
(ii)利用
的对易关系计算
的对易关系。
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