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多学科优化
摘要:
工程系统近年来变得相当大和复杂。
所要求的设计相当复杂并且仅仅考虑一个学科的话不容易满足设计要求。
因此,需要考虑到不同学科的设计方法。
多学科设计优化是考虑到多学科设计环境所形成的优化方法。
MDO包含七中方
法。
他们是多学科可行方法MDF单学科可行方法IDF,同时运行方法AAO并行子空间优化方法CSSO合作优化CO错落综合系统合成方法BLISS,基于子空间的多学科优化MDOIS通过几个数学例子,方法的性能可以得到评估和比较。
用于比较所定义的具体要求和新的数学问题类型是根据要求所定义的。
所有的方法被编
码并且可以在数量和质量上比较方法的性能。
1.简介
目前,工程系统都是相当大而且复杂的。
对于这类系统,设计要求是严苛的。
因此,设计工程师正在寻求新的方法,其中之一是多学科设计优化(MDO;Balling和Sobieszcznski-Sobieski在1996提出)。
MDO是一种设计优化方法。
一般来说,优化在实施时,仅仅只考虑到了一门学科。
然而,用单一的学科去解决现代工程问题是相当困难的。
因此,我们需要一种可以覆盖多学科的设计方法。
在Sobieszczanski-Sobieski于1998年提出并行子空间优化之后,其他的几种方法也被相继提出来。
多学科设计优化方法分为单级方法和多级方法。
单级方
法一般有一个单一的优化程序并且直接使用非层次结构。
以下这些方法就是属于单级方法,其中包括多学科可行法(MDF;Cramer等在1993年提出)、独立学科可行法(IDF;Cramer等在1993年提出;Lee在2004年提出)、All-at-onee
(AAO;Cramer等在1993年提出;Haftka在1985年提出)和基于独立子空间的多学科优化(MDOIS;Park在2007年提出;Park和Shin在2005年提出)。
在单级方法下,除了MDOIS以外,所有的学科都不能决定设计,并且分析只在学科之间进行。
在MDOIS情况下,各个学科都决定了设计。
另一方面,多级方法能够将非层次的机构关系转化为层次结构而且每个层次都有优化程序。
这
些多级方法包括并行子空间优化(CSSO,Park和Lee在2001年提出;Renaud和Gabriele在1994年提出;Sobieszczanski-Sobieski在1982年提出;Tappeta在1998年提出)、双极集成系统合成(BLISS;Sobieszczanski-Sobieski在1998年提出)和协同优化(CO;Braun在1996年提出,Teppeta和Renaud在1997年提出)。
由于在工业领域中MDO有很多应用,因此我们有必要对MDO方法的特点进行研究。
在工业领域中,一种改进的或者局部的优化设计可以是一种很好的设计(Hoenlinger等在1998年提出)。
工业工程师不得不在有限的时间和成本的条件下去进行设计。
由吉埃森和缪所写的一篇文章“工业的MDO应用和需要总结”很好地诠释的这些方面。
设计师对改进的设计比较感兴趣。
此外,由于整体的工业结构已经分解为多个学科,我们需要一种可以用在每个学科上面的方法。
因此,MDO方法应该融入到工业需求中去。
设计师想要在众多的MDO方法中选择一种适当的方法去解决他们的问题。
目前,一种MDO方法不能够被普遍的应用到所有问题上。
一些工作人员也从效率的角度去进行了不同MDO方法的比较。
然而,在以往的研究中,一些问题会出现,比如说选择了不够充分的例子并且,所有的方法不能进行彻底的比较。
因此,这个研究就探讨了是否现有的其中MDO方法能够满足工业上的需求。
为了实现这个目标,就通过解决几个数学实例来对几种方法的性能和调用函数的次数就行比较。
之所以用解决数学实例去代替实际的工程问题,是因为一个具体的工程问题不能够覆盖MDO的所有特点并且一个单一的工程问题不能够展现出方法的所有特点。
除了定量比较之外,在定性方面,对于每种方法的应用的困难都进行讨论。
MDO问题的一般要求的定义和数学的实例的开发都是基于这些需求的。
此外,在现有的研究中,某些满足这些要求的实例都得到了解决,并且呈现出了结果。
当一个方法被挑选出来解决一个实际的工程问题的时候,某些
问题就应该被考虑在内,这些问题也通过探索以前的比较研究来讨论。
2多学科设计优化
2.1MDO方法总论
一个MDO可题应该用MDO方法来确定。
确定问题后,这个问题应该转变成有公式形式的优化问题。
这个公式可以根据所应用的MDC方法而改变。
通常七中类
型的方法都有,他们是MDFIDF,BLISS,CSSQCO,AAO和MDOIS优化过程中基于梯度的方法经常用到。
最近一些MDO研究者采用基于非梯度的方法比如遗传算法,神经网络算法,模拟退火算法等。
MDQ方法可以分单级方法和多级方法。
每一种方法的具体内容在相关文献中得到解释,并且每种方法的解释都很精简。
MDF勺公式是基础的。
尽管在每一步中需要做出一个复杂的系统分析,但是MDF方法是比较容易应用的。
在系统分析中耦合的关系得到了解决。
IDF公式已经发展到消除系统分析的地步,可以独立的解决每一个学科的问题。
在消除系统分析中,IDF应用免费变量和耦合变量的兼
容性条件。
Y1Y2YM1YM2
对每一个学科AAQ方法既不执行系统分析也不进行单独的分析。
这个同时分析和设计方法(SAND发展成为消除比较昂贵的分析过程。
AAO概念通过应用SAND概念扩展成MDO前面提到的三种方法是单级方法,每个学科没有确定的设计。
在很多MDO问题中,学科是物理意义上分离的并且一个单独的分析仪是用于一个学科。
学科只有在分析过程中被耦合。
各学科的问题可以定义一个独立设计问题。
他们相比较一个普通的MD们题来说是相当简单的问题。
MDOISS成为有效解决这些问题的方法。
多级方法改变了非层次结构到层次结构的关系。
每一级有一个优化程序。
因此,每一个学科都有单独的分析和确定的设计。
CSSQ1个多级方法,有系统分析和分解学科。
CSSQ将一个MD加题分解成一个上层和下层的问题。
在上层中,通过优化过程确定下层的一些参数。
一个学科中这些参数能够考虑成本函数和其他学科的约束问题。
上层的优化问题被称作协调优化问题GOP对每一个学科来说
下层使用上层得到的参数进行优化。
BLISS是个多级方法,包括系统分析和分解学科。
它将一个MDO可题分解成一个上层和下层的问题。
在下层中每一个学科有局部设计的变量,而其他共同变量被当做是常数。
另一方面,上层有共同变量当做设计变量,而下层的局部变量被当做恒定的。
CC是多级方法,不能执行系统分析和分解学科。
他有两个层级,上层控制所有的过程,下层控制每一个学科的设计。
系统分析通过采用免费变量和兼容性环境被替代。
上层用来自下层的结果将目标函数最小化并且确定下层中学科的目标值。
低等级努力发现一个设计来满足来自高等级的约束和目标值。
2.2先前研究
在一个由Hulme写的一张纸上,通过CASCADE综合应用模拟来创建分析设计方程)制造了数学例子。
CASCAD是一个制造数学例子与MDO方法进行比较的算法。
Hulme的研究提供了一个良好的过程与MDO方法进行比较,但是只有三个等级的方法进行比较。
他的研究结论是MDF是最高级的。
Balling和Wilkinson通过两个数学例子比较了MDR法,包括MDFIDF,CSSOCO和AAO结果是AAOIDF,CC有良好的性能,尽管这个问题有强烈的耦合性,但是其他方法在耦合性弱的时候能找到结果。
比较函数调用的次数,单级的方法比多等级的方法更有效比如CO和CSSOAAO的调用函数次数是最少的,CO勺最多。
Chen的例子定性的比较了MDO勺方法,但只有多级的方法进行了比较。
Alxeandrov和Kodiyalam1998和Alxeandrov和Lewis2002比较了MDF,IDF和CO三种方法。
结果是MDF的结果是最好的,用很贵的分析仪的情况下应用CO比较困难。
但是他们表示CO应该被考虑,因为在没有系统分析的每个学科中CO在确定设计方面有优势。
在NASA测试中(Padulaetal.1996),执行数学例子进行MDR法的比较。
在NASA测试中的一些例子中或许不是适合进行比较的例子。
例如减速机的问题,AAO很难应用这是因为目标函数和约束函数是所有设计变量的函数。
中心偶极子问题和丙烷的燃烧问题很困难变成综合问题这是因为优化问题来自于分析问题。
特别是,一个MDO可题应该有一个系统分析过程,但是一些例子没有这个过程。
此外,一些例子没有共同设计变量。
先前的研究进行的MDOT法比较是关于一些限制方法数量。
再现性是相当低的,这是因为系统分析的结构和设计变量的划分
(共同变量和局部设计变量)不清楚。
在这个研究中,一个MDO勺普通公式是用来进行比较的,并且新型数学问题是基于公式才被定义的。
最后MDOT法是与新型数学问题进行比较。
3.在MDO方法比较中的数学实例的特性
在问题公式化的过程中,每种MDO方法都有具体的特点,并且这些特点都和成本的计算以及应用的便捷性相关。
正如前面所提到的,能够模拟实际问题的数学实例对于比较MDO方法是合适并且有效率的。
由于数学问题的公式化是简单和清晰的,所以去呈现出MDO方法的特点是很简单的。
在许多情况下,当一些方法诸如响应面分析法(RSM)在应用时,实际的工程问题往往通过有关设计变量的数学显式方程来近似。
因此,通过数学实例进行方法的比较是合理的。
在
本节中,一个一般化的MDO公式被定义,并且基于这个一般化的公式,讨论了用于比较的实例的要求。
3.1MDO的一般公式
目标函数和约束条件是设计变量和状态变量的函数。
在MDO中,带有393
中数学实例的MDO方法的目标对比、约束条件、设计变量、状态变量都能够被划分为全局和局部特性。
。
在这项研究中,假定是有两个学科。
这里的系统可以应用到含有两个学科以上的系统。
一个MDO问题可以制定如下:
目标函数:
找到b1,b2,(1.a)
「f2(b1,,z1)〜
-r
使得f2(b2,,z2)最小(1.b)
(b1,b2,,z1,z2)
「g1(b1,,z1)<0
(1.c)
g2(b2,,z2)<0
(1.d)
约束条件:
.(b1,b2,,z1,z2)<0
(1.e)
z1=h1(b1,,)
(1.f)
Z2=h1(b2,,)
(i.g)
其中上标c表示耦合,标示1和标示2代表学科的数量。
b是设计变量,并且它可以分成是局部设计变量(b1,b2)和全局设计变量()。
F是目标函数变量,它的组成包括局部目标函数(f1,f2)和全局目标函数()。
g是约束变量,它的组成包括局部约束变量(g1,g2)和全局约束变量()。
hi是第i个学科的分析函数并且zi是第i个分析函数结果的状态变量向量。
状态变量分为耦合变量和非耦合变量。
一个学科的耦合变量作为输入到达另外一个学科那里。
在上式中,和都是耦合变量。
MDO方法的基本问题是存在的分析函数。
有时候,一个学科有自己独立的分析函数。
然而,在大多数情况下,一个学科可能需要另外一个学科的分析结果,这一点应该要被考虑在内。
因此,公式(1.f)和(1.g)就体现了这种联系。
由于每个学科的设计变量可以被划分为局部和全局的设计变量,因此在公式中就含
有b1,b2和这几个变量。
目标函数和约束条件是设计变量和状态变量的函数。
在
公式中,有一个全局的目标函数()和全局的约束向量()。
在一些单级方法比如MDF、IDF和AAO这些分类是不需要的。
然而,多级方法和MDOIS需要这些分类,因为它们解决每个学科的设计问题。
在公式
(1)中,想较于只有一个学科的一般优化问题,MDO问题有两个不
同的特点。
第一:
每个学科的分析函数需要有其他学科的分析结果。
第二:
存在有全局设计变量,全局的目标函数和全局的约束条件。
值得提出的是,存在学科间共享的全局设计变量。
由于这两个特点,MDO问题变得更大和更复杂。
公式
(1)中仅仅含有两个学科,但是基于上述的概念,公式可以拓展到还有不止含有两个学科。
3.2数学实例的要求
先前的研究没有很精确的定义MDO的一般公式。
而且,局部和全局的设计变量、目标函数以及约束条件的区别不是和清晰。
另一方面,在
(1)中的MDO问题是清晰的。
此外,对于那些目标函数和约束条件仅仅由设计变量函数构成的某些情况,它是可以消除的。
这些问题或许也不能当作MDO问题来考虑。
用于比较MDO方法的数学实例满足的条件如下:
1.分析过程必须存在每个学科中,系统的分析必须存在于解决耦合变量时。
2.一般来说,状态变量的数量要多于设计变量的数据。
3.局部设计变量和全局设计变量必须存在。
然而,一些全局的目标函数和全局约束条件没有被考虑,因为一些MDO方
法不考虑这些。
4.运用现存的数学案例对不同的MDO方法进行比较
4.1现存的数学案例
在第三部分里,我们已经定义了MDO的一般表达形式,为了比较不同的MDO方法,我们还提出了这些数学案例的要求。
在先前的研究中有两个案例满足上述要求,我们选择了这两个。
第一个在ISIGHT手册中,它通过ISIGHT运用了CSSO方法。
选择它是因为它比较简单而且满足我们提出的要求。
案例1的公式表示如
下:
tominimize辺+今
subjecttogi=J3>0g2=^6>0
z1—b[+br+—4—0*2z
迂2=可+(亦—2尸
61
刃=瓦一1
Z4=价+加—2+\fz\
25=63—2+厂7
在NASA的测试台上,他们引进了一些数学案例对不同的MDO方法进行了比较。
在这些案例中,我们选择了有关能量转换器的一个问题,这就是我们的案例2。
案例2的公式化表述如下,其中由于状态变量太过复杂,忽略不计。
S)
FindbjJ=1〕■…]6
toniuninizef={0.78x10乜(6几+=?
),+6.764xIO'”#』],}
+{|25M+|5.6SlR(l/z2—1)|}
(3.b)
sukyccttogi=—2悅|加+2.5加加+4x10'"悅<0
(3Q
腕=-10-2+3.39xIOU0(l-z3)/(A^3)<0(3.d)
—0.3+馆(100+2主25x10-5(1—引)/妇)
g4=~b4+2.825x10_6(l-z4)<0(31)
4.2MDO比较结果以及数学案例的比较
通过案例1和案例2我们比较了不同的MDO方法。
某种方法的性能以其函数调用的数量为指标进行定量的比较。
各学科的函数调用数量之和就是该方法的函数调用总数。
总的函数调用包括在单个学科内分析过程中和整个系统
分析过程中的函数调用。
由于这些是数学案例,GSE(全局灵敏度方程)和OSA(最佳灵敏度分析),,因此,在GSE和OSA中的函数调用应该排除。
但是在解决实际工程问题时,如果在这个过程中运用了有限差分方法,这些函数调用是不能忽略的。
优化器是DOT5.4版本。
在本实验中,所有的计算过程都会编程。
众所周知,如果这个程序不是该
计算方法的原开发者编制的,该方法的性能会恶化。
我们试图去寻找最初的开发者从而得到他们的程序。
然而,在本实验中必须改善该程序才能解决问题,而这样又会降低程序的效率。
因此,我们运用每一种方法的原始公式编程,这样可以尽量保持实验的顺利。
然而,不同的程序员编程会得到些许不同的比较结果,但整体的趋势是类似的。
在解决实际工程问题中,近似过程和函数调用所用的时间比分析优化所用的时间多很多。
因此,我们比较了函数调用的数量,而不是CPU的运行时间。
在
AAO中,我们用估计器取代了分析器,由于函数调用时间受估计器效率的影响,所以排除掉估计器的因素。
表1表明了案例1的结果。
根据MDO方法,我们可以在问题公式化的过程中添加设计变量和约束条件。
在IDF中,设计变量和问题中的耦合变量一样多,根据相容性条件添加了几个等式约束。
前面提到过,总的函数调用包括单个学科分析过程中的函数调用和整个系统分析过程中的函数调用。
由于在系统分析过程
中,每个学科是同时计算的,所以系统分析中的函数调用数量要乘2。
例如,在
CSSO中,系统分析中的函数调用是208个,学科中的函数调用分别为44和226,所以总的函数调用数为686。
同样的方法也应用于其他案例。
在这个案例中,IDF的函数调用数量是最少的,CO是最多的。
尽管CO法有很多次的函数调用,但是它并不收敛。
AAO相比于其他的方法有更多的函数调用次数,这里所说的函数调用次数并不是分析过程中的实际数量,而是估计器的函数调用数。
众所周知,估计器相比于分析器占用CPU少。
因此,从这方面说,如果AAO根据CPU的运行时间选择一个高效的估计器,AAO会比其他方法更好。
在AAO中,我们运用之前提到的同步分析设计(SAND)概念进行优化,这样分析过程会包含在优化过程中。
这是通过将系统分析等式转换为等式条件并且将状态变量当作设计变量而
完成的
]j*IpIc]
Res-ullsofexample1
Melhod
(1}
13>
FunclionM
⑷
(7i
MDF
3
0
8.02537
231
0
fl
4«2
IDF
5
2
H.00347
0
48
4S
北
AAO
9
ft
8.00384
Q
251
23J
462
13
[>
K.19881
2U«
44
lib
686
BLISS
3
0
8.12785
178
30
27
413
cn
9
2
21.9W30
a
10137
MS22
1923?
MDtJJS
3
0
H.5B5L6
m
40
27
423
(L):
Numberofdesignvfiriabks
(2):
Numberoftrquuilityconstraints
⑶:
□bjcclivcftinctionvalue
(4):
l-unctioncallsofsyslein^nalysLs
(5):
FunctioncalkofdisciplineI
(6):
I'LuictiDncalko『discipline2
(7):
TotalluncLLunciills
表2表明了案例2的结果。
IDF的函数调用数最少,MDF最多。
BLISS在多级方法中函数调用数最少,并且目标函数变量最优。
在CO中,虽然函数调用很多,但是目标函数变量结果最差。
Ithh*2Resultsofcsjjinpk2
Method
11)
Fundjoncell
MDF
6
0
1•翻叩1
(21
0
唤
IDF
12
6
].4892.4
0
2S
56
AAO
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7
1.49291
0
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旺
92
csso
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0
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祐
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174
BUSS
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I.]
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咖
MDO1S
6
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].-16659
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292
(I*Nnniib'vrill-琴:
n\-irinbl^K
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)cmi^linn
(4VFumdiwicullsofsysleni^inalyE-is(5KFufic-tioncallsofdisfiplineI
(6)cFujictioncullsofdiscipline2
(7'KTmalfundjoncsILs
5•比较MDO方法的新范例
在第四部分,我们分析了两个现存的范例,它们都满足用于比较MDO方法的需求。
然而,现存的范例在公式化的过程中显现出一定的困难。
现存范例难以将设计变量划分成局部的全局的设计变量。
问题的求解公式可以根据所选局部和全局
设计变量的不同而改变。
因此,客观的比较每种方法可能是困难的。
基于MDO
的一般公式,我们提出了一些可以区分局部设计变量和全局设计变量的范例。
5.1提出的第一个范例---例3
在第三部分,定义了MDO的一般公式,提出了比较MDO方法的一些条件。
满足这些条件的基础上,基于公式
(1)我们做了一个最简单的数学范例。
例题如下:
Findbx,b2,bc
tominimize(彳—0,5)2+(刍—0.5),(4,b)
subjecttog]=L0-片<0.0(4,c)
lahle3
indextable
11
tor【hesecond
proposed
example
■fl
I
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J
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6
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2
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匚
1
2
1
3
Table4
Indextable2lorthesecondproposedexample
Numberofexample
a
Example4
1
0
Example
5
0
1
Example6
1
1
g2—1,0—2^<0,0
霁=(bt-2.5)+(be-2D)_0.4xW
肖=(站-2.5)+(bc-2.0)—0.5x或
笛=(b2-3.0)+{bc-2.0)-0-6
拓二(尿一3*0)+[bc一2,0)一07xZ
标注nc的地方表示非耦合。
这个范例包含了两个学科。
每个学科都带有一个局部设计变量,一个全局设计变量,一个耦合状态变量和一个非耦合状态变量。
目标函数和约束函数是状态变量的函数。
5.2提出的第二个范例
例3是一个基于MDOH般公式的简单例题。
它满足比较MDC方法的条件。
基于例3,我们提出了更复杂的实例。
下面三类问题的提出正是为了模拟仿真不同设计变量作用下的影响:
1.只存在局部设计变量----例4
2.只存在全局设计变量----例5
3.局部设计变量和全局设计变量同时存在----例6
这三个例题的公式是相同的,但是设计变量的类型是不同的。
因此,检测不同类型设计变量的作用效益就成为可能。
目标函数是局部目标函数的矢量组合。
单层方法比如MD
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