七年级数学下册13二元一次方程组的应用二元一次方程组应用题分类精析素材湘教版.docx
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七年级数学下册13二元一次方程组的应用二元一次方程组应用题分类精析素材湘教版
二元一次方程组应用题分类精析
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步,即:
(1)审:
通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数,并用字母表示其中的两个未知数;
(2)找:
找出能够表示题意两个相等关系;
(3)列:
根据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组;
(4)解:
解这个方程组,求出两个未知数的值;
(5)答:
在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上,写出答案.
一、倍分问题
例1、甲乙二人,若乙给甲10元,则甲所有的钱为乙的3倍,若甲给乙10元,则甲所有的钱为乙的2倍多10元,求甲乙各拥有多少钱?
解:
设甲原来有X元,乙原来有Y元。
X+10=3(Y-10)
X-10=2(Y+10)+10
1、一块矩形草坪的长比宽的2倍多10米,它的周长是132米,则宽和长分别是多少?
提示:
设宽为X米,长为Y米
Y-2X=10
2(X+Y)=132
2、一批书分给组学生,每人6本则少6本,每人5本则多5本,该组共有多少名学生,这批书共有多少本?
提示:
设有X名学生,Y本书,
6X=Y+6
5X+5=YX=11,Y=60
3、某班学生有x人,准备分成y个组开展活动,若每个组7人,则余3人;若每个组8人,则差5人.求全班的人数和所分组数。
提示:
设全班有x,所分组数为y组,则
;
4、三年级有学生246人,其中男生比女生人数的2倍少3人,求男、女生各有多少人?
提示:
设男生有X名,女生有Y名
X+Y=246
Y=2X-3
5、甲乙两条绳共长17米,如果甲绳子减去五分之一,乙绳增加1米,两条绳子相等,求甲、乙两条绳各长多少米?
提示:
设甲绳长X米,乙绳长Y米,则
X+Y=17
X-1/5X=Y+1
6、已知长江比黄河长836千米,黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米,求黄河、长江各长多少千米?
提示:
设黄河长度为X米,长江长度为Y米,则
X-Y=836
6Y-5X=1284
7、甲乙两个商店各进洗衣机若干台,若甲店拨给乙店12台,则两店的洗衣机一样多,若乙店拨给甲店12台,则甲店的洗衣机比乙店洗衣机数的5倍还多6台,求甲、乙两店各进洗衣机多少台?
X-2=12+12
5(Y-12)+6=X+12
8、小红和小华各自购买新书若干本,已知小红买的比小华的2倍多6本,如果小红给小华9本,则小华是小红的2倍,小红和小华各买新书多少本?
提示:
题中有两个未知数------小红买的新书、小华买的新书;
题中有两个相等关系
(1)小红买的新书—2X小华买的新书=6;
(2)2X(小红买的新书—9)=(小华买的新书+9)
解:
设小红买新书X本,小华买新书Y本,根据题意得
X—2Y=6
2X(X—9)=Y+9
解得X=16,Y=5
9、把3米长的铁丝分成两段,做成一个正方形和一个长方形框,已知长方形的长是宽的2倍,长方形的长比正方形的边长长0。
3米,求两个图形的面积。
提示:
设长方形框的宽为x,则长为2x,再设正方形的边长为y米,根据题意,得2(x+2x)+4y=3
2x-y=0.3解得x=0.3,y=0.3,长方面的面积=0.18正方形框的面积=0。
09。
10、有甲、乙两条绳子,其中甲绳长的3/8与乙绳长的1/3叠合后,全长238厘米,求甲乙两绳长各是多少厘米?
提示:
设甲绳长是x厘米,乙绳长是y厘米。
则3/8x=1/3yx+(1-1/3)y=238解得x=136y=153.
11、小明春节原有压岁钱若干元,先用去一部分,剩余的钱为用去的2倍,后来又用掉1200元,最后剩下的钱为原有的三分之一,问小明原来有压岁钱多少元?
提示:
设原有X元,先用去Y元
X-Y=2Y
X-Y-1200=1/3X。
解得X=3600元。
12、某化妆晚会上,男生脸上涂蓝色油彩,女生脸上涂红色油彩,游戏时,每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人,而每个女生都看见涂蓝色的人数是涂红色人数的3/5,则晚会上男、女生各有几人?
分析:
每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人,这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有男生的人数,而是除自己之外的男生人数,同理,女生看到的人数关系也应是除去自己以外的男、女生人数关系。
正解:
设晚会上男生有x人,女生有y人。
把①代入②,得y=3/5[2(x-1)-1-1],所以x=12
答:
晚会上男生有12人,女生有21人。
13、某班有学生49人,一天该班一男生因事请假,当天的男生人数恰好是女生人数的一半,男生有17人,女生有32人
二、年龄问题解这类问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。
年龄问题的主要特点是:
时间发生变化,年龄在增长,但是年龄差始终不变。
年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。
解题时,我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。
例1、父子的年龄差30岁,五年后父亲的年龄正好是儿子的3倍,问今年父亲和儿子各是多少岁?
解:
设今年父亲的年龄为X岁,儿子的为Y岁,
则根据
(1)父子的年龄差30岁,可列式得:
X-Y=30;
(2)五年后,父亲的年龄是X+5岁,儿子的年龄是Y+5岁;由五年后父亲的年龄正好是儿子的3倍,可列式得:
X+5=3(Y+5)(3)联立两式,得今年父亲的年龄是40岁,儿子的年龄是10岁。
X-Y=30
X+5=3(Y+5)
例2:
1998年,甲的年龄是乙的年龄的4倍。
2002年,甲的年龄是乙的年龄的3倍。
问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?
A.34岁,12岁B.32岁,8岁C.36岁,12岁D.34岁,10岁
【答案】D。
解析:
抓住年龄问题的关键即年龄差,1998年甲的年龄是乙的年龄的4倍,则甲乙的年龄差为3倍乙的年龄,2002年,甲的年龄是乙的年龄的3倍,此时甲乙的年龄差为2倍乙的年龄,根据年龄差不变可得
3×1998年乙的年龄=2×2002年乙的年龄
3×1998年乙的年龄=2×(1998年乙的年龄+4)
1998年乙的年龄=8岁
则2000年乙的年龄为10岁
1、学生问老师:
“您今年多少岁了?
”老师风趣的说:
“我像你这样大的时候,你才出生,你到我这么大时,我已经37岁了”试求老师和学生的年龄各是多少?
提示:
设老师为X岁,学生为Y岁,
(1)老师年龄增加的同时学生的年龄也在增加,“我像你我样大的时候,”可以得知老师是Y岁,老师由Y岁增加到X岁,增加了X-Y岁;学生由1岁增加到Y,增加了Y-1岁。
增加的年份是相等的量。
即:
X-Y=Y-1;
(2)老师由X岁到37岁时,增长的量是37-Y;学生由Y岁增加到X岁,增长的量是X-Y,二者相等。
X-Y=Y-1
37-X=X-Y解得X=25;Y=13。
2、甲乙两人在聊天,甲对乙说:
"当我的岁数是你现在岁数时,你才4岁。
”乙对甲说:
“当我的岁数是你现在的岁数时,你将61岁。
”你能算出他们两人各几岁吗?
提示:
设甲乙他们的岁数分别是X、Y
(1)当我的岁数是你现在的岁时,你才4岁,由这句话得知,当时甲是Y岁,乙是4岁,甲由Y岁到X岁,增加了X-Y,乙增加了Y-4,二者是相等的;
(2)乙对甲说:
“当我的岁数是你现在的岁数时,你将61岁。
”这句得知,乙的岁数由Y变为X,增加了X-Y,甲呢由X岁变为61岁,增加了61-X。
二者增加的量相等。
联立方程可得
X=42Y=23
3、现在父亲的年龄是儿子年龄的3倍,7年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍,问父亲、儿子现在的年龄分别是多少岁?
提示:
设父亲和儿子的年龄分别为X和Y,现在父亲的年龄是儿子年龄的3倍,由这句话得X=3Y,“7年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍,”由这句话得7年前父亲的年龄是X-7,儿子的年龄是Y-7,所以得到X-7=5(Y-7)解得X=42,Y=14
4、兄弟两人,弟弟五年后的年龄与哥哥五年前的年龄相等,3年后兄弟两人的年龄和是他们年龄之差的3倍,则兄弟两人今年的岁数分别是________.17岁和7岁
提示:
设哥哥的年龄为X,弟弟的年龄为Y,由弟弟五年后的年龄与哥哥五年前的年龄相等,Y+5=X-5,3年后兄弟两人的年龄和是他们年龄之差的3倍,得(X+3)+(Y+3)=3[(X+3)—(Y+3)]
5、今年父亲的年龄是儿子的5倍,15年后,父亲的年龄是儿子年龄的2倍,问:
现在父子的年龄各是多少岁?
提示:
设今年父亲和儿子的年龄分别为X和Y,由今年父亲的年龄是儿子的5倍,得X=5Y,15年后,父亲的年龄是儿子年龄的2倍,(X+15)=2(Y+15)解得X=25,Y=5。
三、数字问题
1、56十位上的数字5表示5个10,个位上的数字6表示6个1,
那么56可写成5X10+6。
2、
(1)一个三位数百位上的数字是a,十位上的数字是b,个位上的数字是c。
请你表示出这个三位数:
设百位上的数字为x,则这个百位数可表示为:
100x+10(x+3)+(x+5)
(2)已知:
一个三位数十位上的数字比百位上的数字大3,个位上的数字比十位上的数字大2。
请你表示出这个三位数:
设百位上的数字为x,则这个三位数可表示为:
100x+10(x+3)+(x+5)
(3)若各位上的数字之和不大于11,求这个三位数。
x+(x+3)+(x+5)≤11
3、326=32×10+6=3×100+26
7321=73×100+21
1234=12×100+34
abc表示一个三位数,则abc=a×100+bc=ab×10+c
若abcd表示一个四位数,则abcd=ab×100+cd
例1:
两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数。
已知前一个四位数比后一个四位数大2178,求这个两位数.
思考:
设较大的两位数为x,较小的两位数为y,
1、在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数可表示为100X+Y
2、在较大的两位数的左边写上较小的两位数,得到一个四位数可表示为100Y+X
解:
设在较大的两位数为x,较小的两位数为y,则有
x+y=68
(100x+y)—(100y+x)=2178
解得x=45y=23
答:
这两个两位数分别是45和23
例2:
一个三位数,现将最左边的数字移到最右边,则比原来的数小45;又已知百位数字的9倍比由十位和个位数字组成的两位数小3,求原来的三位数。
解:
设百位数字为x,由十位和个位数字组成的两位数为y,
则原来的三位数为100x+y,对调的三位数为10y+x,则
9x=y—3
10y+x=100x+y—45
x=4
y=39
则原来的三位数为100x+y=4×100+39=439。
另解:
设百位数字为x,十位数字y,个位数字为z,则有
9x=10y+z—3
(100x+10y+z)—(100y+10z+x)=45
得x=4
10y+z=9x+3=39
则原来的三位数是100x+10y+z=100×4+39=439
1、有一个两位数,个位上的数比十位上的数大5,如果把两个数字的位置对换,那么所得的新数与原数的和是143,求这个两位数.
分析:
本题涉及两位数的计算问题从实际问题中可的两个相等关系:
(1)个位数字—十位数字=5;
(2)新数+原数=143.根据这两个相等关系,可通过设十位数字为x,个位数字为y,列方程组求到十位数字和个位数字,然后确定两位数.
解:
设这个两位数的十位数字为x,个位数字为y.根据题意,得
解这个方程组,得
所以这个两位数是4×10+9=49.
2、有一个两位数和一个一位数,如果在这个一位数后面多写一个0,则它与这个两位数的和是146,如果用这个两位数除以这个一位数,则商6余2,求这个两位数和一位数.
分析:
一位数后面多写一个0,则这个一位数扩大了10倍,如果两位数为x,一位数为y,则根据两位数的和为146可得x+10y=146;根据被除数=除数×商数+余数可得x=6y+2,由此可得到方程组.通过解方程组确定两位数和一位数.
解:
设这个两位数为x,这个一位数为y,根据题意,得
,解得
所以这个两位数为56,一位数为9.
3、有一个两位数,其值等于十位数字与个位数字之和的4倍,其十位数字比个位数字小2,求这个两位数.
设这个两位数的十位数字为x,个位数字为y,
则可列方程组为
解这个方程组,得
所以这个两位数为24.
4、一个三位数和一个两位数的差为225,在三位数的左边写这个两位数,得到一个五位数,在三位数的右边写上这个两位数,也得到一个五位数,已知前面的五位数比后面的五位数大225,求这个三位数和两位数.
.
设三位数为x,两位数为y.
解得
这个三位数是250,两位数为25.
5、如下图,在3×3的方格内,填写了一些代数式和数.
(1)在图①中各行、各列及对角线上三个数之和都相等,请你求出x、y的值;
(2)把满足
(1)的其它6个数填入图②的方格内.
分析:
本题是一道与表格数字排列有关的信息试题,根据各行、各列及对角线上的数字和相等,可列方程组解决.所列的方程组不惟一.
解:
(1)由已知条件可得
.
解得
.
(2)将
代入表格,所得表格如图③所示.
6、甲、乙两人做加法,甲将其中一个加数后面多写了一个0,所得的和是2342,乙将同一个加数后面少写了一个0,所得的和是65,求原来的两个加数.
原来的两个加数分别是42和230.
提示:
设这两个加数分别是x、y,其中y是两人同时看错的数,根据题意,得
7、有一个三位数,各数位上的数字之和等于14,个位上的数字比十位上的数字大4,如果把百位上的数字与个位上的数字对调,所组成的新数比原数的3倍多98,求这个三位数是多少?
提示:
设百位数字是x,十位数字是y,个位数字是z,根据题意,得
这个三位数是248.
8、已知二位数,其十位数字的3倍与个位数字的和是21,它的个位与十位数字对调后,所得的新数比原数大9,请问原数是多少?
提示:
设十位数字为X,个位数字为Y,此二位数为10X+Y;
依题意得3X+Y=21
10Y+X=(10X+Y)+9
解得原数为56。
9、已知一个两位数,它的十位上的数字x比个位上的数字y大1,若颠倒个位与十位数字的位置,得到的新数比原数小9,求这两个数?
提示:
依得意得x=y+1,10x+y=10y+x+9
10、一个两数的十位数字与个位数字的和是7,如果这个两位数加上45,则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数,求这两位数。
提示:
十位数字+个位数字=7,原来的两位数+45=对调后的两位数。
X+y=7,10x+y+45=10y+x.解得这两位数为16。
11、一个两位数,十位数字是个位数字的2倍,把这个两位数的个位数字与十位数字对调后,得到的新数比原数小27,求原数。
提示:
(1)十位数字=个位数X2,
(2)新数+27=原数
设该两位数个位数字为x,十位数字为y,依题意得y=2x,10y+x=10x+y+27.解得x=3,y=6。
12、阿木和阿海做加法,阿木将加数后面多写一个0,所得的和是2342;阿海将加数后面少写一个0,所得的和是65;试求原来的被加数和加数。
提示:
在一个数后面多写一个0,变为原数的10倍;在一数后面少写一个0,变为原数的1/10倍。
解:
设被加数为x,加数为y,则x+10y=2342x+1/10y=65,解得x=42y=230。
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