北师大版七年级数学下册 《第四章 三角形》复习练习.docx
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北师大版七年级数学下册《第四章三角形》复习练习
《三角形》习题
一、选择题
1.已知4条线段的长度分别为2,4,6,8,若三条线段可以组成一个三角形,则这四条线段可以组成三角形的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.若一个三角形的两边长分别为4和7,则周长可能是( )
A.11B.18C.14D.22
3.a,b,c为三角形的三边长,化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|,结果是( )
A.0B.2a+2b+2cC.4aD.2b﹣2c
4.已知等腰三角形的周长为16,且一边长为3,则腰长为( )
A.3B.10C.6.5D.3或6.5
5.如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且△ABC的面积是32,则图中阴影部分面积等于( )
A.16B.8C.4D.2
6.如图,△ABC的三边的中线AD,BE,CF的公共点为G,且AG:
GD=2:
1,若S△ABC=12,则图中阴影部分的面积是( )
A.3B.4C.5D.6
7.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,DE为△ABD中AB边上的中线,△ABC的面积为6,则△ADE的面积是( )
A.1B.
C.2D.
8.如图,在△ABC中,点D是BC边上的一点,E,F分别是AD,BE的中点,连结CE,CF,若S△CEF=5,则△ABC的面积为( )
A.15B.20C.25D.30
9.如图,在△ABC中,∠B=32°,将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置,则∠1﹣∠2的度数是( )
A.32°B.45°C.60°D.64°
10.如图,将△ABC沿MN折叠,使MN∥BC,点A的对应点为点A',若∠A'=32°,∠B=112°,则∠A'NC的度数是( )
A.114°B.112°C.110°D.108°
11.如图,△ABC中,∠A=20°,沿BE将此三角形对折,又沿BA′再一次对折,点C落在BE上的C′处,此时∠C′DB=74°,则原三角形的∠C的度数为( )
A.27°B.59°C.69°D.79°
12.如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变,请试着找一找这个规律,这个规律是( )
A.∠A=∠1+∠2B.2∠A=∠1+∠2
C.3∠A=2∠1+∠2D.3∠A=2(∠1+∠2)
13.如图,在△ABC中,AD,AE分别是△ABC的角平分线和高线,用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是( )
A.2∠DAE=∠B﹣∠CB.2∠DAE=∠B+∠C
C.∠DAE=∠B﹣∠CD.3∠DAE=∠B+∠C
14.如图,BD是∠ABC的角平分线,CD是∠ACB的角平分线,∠BDC=120°,则∠A的度数为( )
A.40°B.50°C.60°D.75°
15.如图,BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,垂足为F.若∠ABC=36°,∠C=44°,则∠EAC的度数为( )
A.18°B.28°C.36°D.38°
16.如图,∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D,设∠BDC=β,那么∠A等于( )
A.180°﹣
B.180°﹣2βC.90°﹣βD.90°﹣
17.如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍无法判定△ABE≌△ACD的是( )
A.AD=AEB.∠B=∠CC.CD=BED.∠ADC=∠AEB
18.如图,A,B,C三点在同一条直线上,∠A=∠C=90°,AB=CD,添加下列条件,不能判定△EAB≌△BCD的是( )
A.EB=BDB.∠E+∠D=90°C.AC=AE+CDD.∠EBD=60°
19.一块三角形玻璃被小红碰碎成四块,如图,小红只带其中的两块去玻璃店,买了一块和以前一样的玻璃,你认为她带哪两块去玻璃店了( )
A.带其中的任意两块B.带1,4或3,4就可以了
C.带1,4或2,4就可以了D.带1,4或2,4或3,4均可
20.下列命题:
①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等;②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等;③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等.其中正确的是( )
A.①②B.②③C.①③D.①②③
二、解答题
1.如图,已知∠1与线段a,用直尺和圆规按下列步骤作图(保留作图痕迹,不写作法):
(1)作∠A=∠1;
(2)在∠A的两边分别作AM=AN=a;
(3)连接MN.
2.如图,已知△ABC中,∠ACB>∠ABC,用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM,使∠ACM=∠ABC(不要求写作法,保留作图痕迹)
3.已知∠α和线段a,求作△ABC,使∠A=∠α,∠B=2∠α,AB=2α.(保留作图痕迹,不写作法)
4.已知平面内有∠α,如图
(1).
(1)尺规作图:
在图
(2)∠AOB的内部作∠AOD=∠α(保留作图痕迹,不需要写作法);
(2)已知
(1)中所作的∠AOD=40°,OE平分∠BOC,∠AOE=2∠BOE,求∠BOD.
5.如图,在△AOB和△DOC中,AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD,连接AC、BD,求证:
△AOC≌△BOD.
6.如图,△ABC的两条高AD、BE相交于点H,且AD=BD,试说明下列结论成立的理由.
(1)∠DBH=∠DAC;
(2)△BDH≌△ADC.
7.如图,点E在AB上,AC=AD,∠CAB=∠DAB,那么△BCE和△BDE全等吗?
请说明理由.
8.如图,点D在△ABC外部,点C在DE边上,BC与AD交于点O,若∠1=∠2=∠3,AC=AE.求证:
(1)∠B=∠D;
(2)△ABC≌△ADE.
9.如图:
小刚站在河边的A点处,在河的对面(小刚的正北方向)的B处有一电线塔,他想知道电线塔离他有多远,于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处,接着再向前走了30步到达D处,然后他左转90°直行,当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时,他共走了140步.
(1)根据题意,画出示意图;
(2)如果小刚一步大约50厘米,估计小刚在点A处时他与电线塔的距离,并说明理由.
10.如图,点C、E分别在直线AB、DF上,小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补,但是他没有带量角器,只带了一副三角板,于是他想了这样一个办法:
首先连结CF,再找出CF的中点O,然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B,经过测量,他发现EO=BO,因此他得出结论:
∠ACE和∠DEC互补,而且他还发现BC=EF.小华的想法对吗?
为什么?
11.王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合,求两堵木墙之间的距离.
12.如图1,为测量池塘宽度AB,可在池塘外的空地上取任意一点O,连接AO,BO,并分别延长至点C,D,使OC=OA,OD=OB,连接CD.
(1)求证:
AB=CD;
(2)如图2,受地形条件的影响,于是采取以下措施:
延长AO至点C,使OC=OA,过点C作AB的平行线CE,延长BO至点F,连接EF,测得∠CEF=140°,∠OFE=110°,CE=11m,EF=10m,请直接写出池塘宽度AB.
13.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动;点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动.点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动,其中一点到达终点时另一点也停止运动,在某时刻,分别过P和Q作PE⊥l于E,QF⊥l于F.则点P运动时间为多少时,△PEC与△QFC全等?
14.如图,已知△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动,同时,点Q在线段CA上由点C向A点运动.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由.
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
15.如图
(1),AB=7cm,AC⊥AB,BD⊥AB垂足分别为A、B,AC=5cm.点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,同时点Q在射线BD上运动.它们运动的时间为t(s)(当点P运动结束时,点Q运动随之结束).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由;
(2)如图
(2),若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”,点Q的运动速度为xcm/s,其它条件不变,当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等,求出相应的x的值.
16.如图1,在长方形ABCD中,AB=CD=6cm,BC=10cm,点P从点B出发,以2cm/s的速度沿BC向点C运动,设点P的运动时间为t秒,且t≤5.
(1)PC= cm(用含t的代数式表示).
(2)如图2,当点P从点B开始运动的同时,点Q从点C出发,以vcm/s的速度沿CD向点D运动,是否存在这样的v值,使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等?
若存在,请求出v的值;若不存在,请说明理由.
17.
(1)如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且点B,C在AE的同侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.求证:
BD=DE﹣CE;
(2)上题中,变成如图,B,C在AE的异侧时,BD,DE,CE关系如何?
并加以证明.
18.如图1所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为直角边,A为直角顶点,在AD左侧作等腰直角三角形ADF,连接CF.
(1)当点D在线段BC上时(不与点B重合),线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么?
请给予证明.
(2)当点D在线段BC的延长线上时,
(1)的结论是否仍然成立?
请在图2中画出相应的图形,并说明理由.
19.探究:
如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥m于点D,CE⊥m于点E,求证:
△ABD≌△CAE.
应用:
如图②,在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC,求证:
DE=BD+CE.
答案
一、选择题
1.A.2.B.3.A.4.C.5.B.6.B.7.B.8.B.9.D.10.D.
11.D.12.B.13.A.14.C.15.B.16.B.17.C.18.D.19.D.20.A.
二、解答题
1.解:
如图所示:
2.解:
如图所示,射线CM即为所求:
3.解:
如图,△ABC为所作.
4.解:
(1)如图2所示,∠AOD即为所求;
(2)∵OE平分∠BOC,
∴∠COE=∠BOE,
又∵∠AOE=2∠BOE,
∴∠AOB=∠BOE,
∴∠AOB=
∠AOC=60°,
又∵∠AOD=40°,
∴∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=60°﹣40°=20°.
5.证明:
∵∠AOB=∠COD,
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,
即∠AOC=∠BOD,
在△AOC与△BOD中,
,
∴△AOC≌△BOD(SAS).
6.证明:
(1)∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠BEC=90°,
∵∠C=∠C,
∴∠DBH=∠DAC;
(2)∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC
在△BDH与△ADC中,
∴△BDH≌△ADC.
7.解:
△BCE≌△BDE,理由如下:
在△ACB与△ADB中
,
∴△ACB≌△ADB(SAS),
∴BC=BD,∠ABC=∠ABD,
在△BCE与△BDE中
,
∴△BCE≌△BDE(SAS).
8.证明:
(1)∵∠1=∠3,
∴∠1+∠DAC=∠3+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE,
∵∠E=∠180°﹣∠3﹣∠ACE,∠ACB=180°﹣∠2﹣∠ACE,
∵∠2=∠3,∠ACE=∠ACE,
∴∠ACB=∠E,
在△ABC与△ADE中
,
∴△ABC≌△ADE(ASA),
∴∠B=∠D.
(2)由
(1)可得△ABC≌△ADE.
9.解:
(1)所画示意图如下:
(2)在△ABC和△DEC中,
,
∴△ABC≌△DEC(ASA),
∴AB=DE,
又∵小刚共走了140步,其中AD走了60步,
∴走完DE用了80步,
小刚一步大约50厘米,即DE=80×0.5米=40米.
答:
小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米.
10.解:
小华的想法对,理由是:
∵O是CF的中点,
∴CO=FO(中点的定义)
在△COB和△FOE中
,
∴△COB≌△FOE(SAS)
∴BC=EF(全等三角形对应边相等)
∠BCO=∠F(全等三角形对应角相等)
∴AB∥DF(内错角相等,两直线平行)
∴∠ACE和∠DEC互补(两直线平行,同旁内角互补),
11.解:
由题意得:
AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,
∴∠BCE=∠DAC,
在△ADC和△CEB中,
,
∴△ADC≌△CEB(AAS);
由题意得:
AD=EC=6cm,DC=BE=14cm,
∴DE=DC+CE=20(cm),
答:
两堵木墙之间的距离为20cm.
12.证明:
(1)在△ABO与△CDO中
,
∴△ABO≌△CDO(SAS),
∴AB=CD;
(2)如图所示:
延长OF、CE交于点G,
∵∠CEF=140°,∠OFE=110°,
∴∠FEG=40°,∠EFG=70°,
∴∠G=180°﹣40°﹣70°=70°,
∴EF=EG,
∵CE=11m,EF=10m,
∴CG=CE+EG=CE+EF=11+10=21m,
∵CG∥AB,
∴∠A=∠C,
在△ABO与△CGO中
,
∴△ABO≌△CGO(ASA)
∴AB=CG=21m.
13.解:
设运动时间为t秒时,△PEC≌△QFC,
∵△PEC≌△QFC,
∴斜边CP=CQ,
有2种情况:
①P在AC上,Q在BC上,
CP=6﹣t,CQ=8﹣3t,
∴6﹣t=8﹣3t,
∴t=1;
②P、Q都在AC上,此时P、Q重合,
∴CP=6﹣t=3t﹣8,
∴t=3.5;
答:
点P运动1或3.5时,△PEC与△QFC全等.
14.解:
(1)经过1秒后,PB=3cm,PC=5cm,CQ=3cm,
∵△ABC中,AB=AC,
∴在△BPD和△CQP中,
,
∴△BPD≌△CQP(SAS).
(2)设点Q的运动速度为x(x≠3)cm/s,经过ts△BPD与△CQP全等;则可知PB=3tcm,PC=8﹣3tcm,CQ=xtcm,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
根据全等三角形的判定定理SAS可知,有两种情况:
①当BD=PC,BP=CQ时,②当BD=CQ,BP=PC时,两三角形全等;
①当BD=PC且BP=CQ时,8﹣3t=5且3t=xt,解得x=3,∵x≠3,∴舍去此情况;
②BD=CQ,BP=PC时,5=xt且3t=8﹣3t,解得:
x=
;
故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为
cm/s时,能够使△BPD与△CQP全等.
15.解:
(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ.
理由如下:
∵AC⊥AB,BD⊥AB,
∴∠A=∠B=90°,
∵AP=BQ=2,
∴BP=5,
∴BP=AC,
∴△ACP≌△BPQ(SAS);
∴∠C=∠BPQ,
∵∠C+∠APC=90°,
∴∠APC+∠BPQ=90°,
∴∠CPQ=90°,
∴PC⊥PQ;
(2)①若△ACP≌△BPQ,
则AC=BP,AP=BQ,可得:
5=7﹣2t,2t=xt
解得:
x=2,t=1;
②若△ACP≌△BQP,
则AC=BQ,AP=BP,可得:
5=xt,2t=7﹣2t
解得:
x=
,t=
.
综上所述,当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或
.
16.解:
(1)BP=2t,则PC=10﹣2t;
故答案为(10﹣2t);
(2)存在.
分两种情况讨论:
①当BP=CQ,AB=PC时,△ABP≌△PCQ.
因为AB=6,所以PC=6.
所以BP﹣10﹣6=4,即2t=4.
解得t=2.
因为CQ=BP=4,v×2=4,所以v=2.
②当BA=CQ,PB=PC时,△ABP≌△QCP.
因为PB=PC,
所以BP=PC=
BC=5,即2t=5.
解得t=2.5.
因为CQ=BA=6,即v×2.5=6,解得v=2.4.
综上所述,当v=2.4或2时,△ABP与△PQC全等.
17.证明:
(1)∵∠BAC=90°,BD⊥AE,CE⊥AE,
∴∠BDA=∠AEC=90°,
∴∠ABD+∠DAB=∠DEB+∠CAE,
∴∠ABD=∠CAE,
∵AB=AC,
在△ABD和△CAE中,
∵
,
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∴AD+AE=BD+CE,
∵DE=BD+CE,
∴BD=DE﹣CE
(2)BD=DE+CE,理由如下:
∵∠BAC=90°,BD⊥AE,CE⊥AE,
∴∠BDA=∠AEC=90°,
∵∠ABD+∠BAE=90°,∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABD=∠CAE,
∵AB=AC,
在△ABD和△CAE中,
∵
,
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∵AE=AD+DE,
∴BD=DE+CE;
18.解:
(1)CF=BD,且CF⊥BD,证明如下:
∵∠FAD=∠CAB=90°,
∴∠FAC=∠DAB.
在△ACF和△ABD中,
,
∴△ACF≌△ABD
∴CF=BD,∠FCA=∠DBA,
∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=∠DBA+∠ACD=90°,
∴FC⊥CB,
故CF=BD,且CF⊥BD.
(2)
(1)的结论仍然成立,如图2,∵∠CAB=∠DAF=90°,
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD,
即∠CAF=∠BAD,
在△ACF和△ABD中,
,
∴△ACF≌△ABD(SAS),
∴CF=BD,∠ACF=∠B,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°,
∴CF⊥BD;
∴CF=BD,且CF⊥BD.
19.证明:
(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴∠BDA=∠CEA=90°,
∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD,
∵在△ADB和△CEA中
,
∴△ADB≌△CEA(AAS);
(2)设∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α,
∴∠CAE=∠ABD,
∵在△ADB和△CEA中
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
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