第17章层次分析法详解.docx

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第17章层次分析法详解

第17章层次分析法

本章主要针对一些目标（因素）结构复杂且缺乏必要的数据的决策问题，

介绍了一种比较有效的决策方法，即层次分析法。

它可以将决策者的经验判断给予量化，从而将一些定性决策问题定量化。

书中介绍了层次分析法的基本原理及具体的实现步骤，并结合实例利用MATLAB软件给予实现。

仃.1引例旅游方案的决策问题

人们在日常生活中常常会碰到许多事情需要做出决策：

例如某人计划去旅

游，可供选择的目的地有：

（1）苏州；

（2）北京；（3）桂林。

在选择旅游目的

地时，须考虑到景色、费用、居住条件、饮食条件、旅途费用等因素，在综合考虑了这些因素后，选择一种对此人最为合理的决策方案。

在上述决策问题中，可供选择的方案有三种，即：

（1）苏州；

（2）北京；

（3）桂林。

要选择一种最为合理的方案，须对这三种方案的优劣性进行综合评价，排队后，才能做出决策。

对这类复杂的决策问题，一般可按如下步骤进行处理：

（1）先对问题所涉及的因素进行分类，然后构造一个各因素之间相互联结

的层次结构模型。

因素分类包括：

（一）为目标类，即选择合适的旅游景点；

（二）

为准则类，这是衡量目标能否实现的标准，即景色、费用、居住条件、饮食条件、旅途费用等因素；（三）为措施类，是指实现目标的方案、方法、手段等，

即指苏州、北京、桂林三个旅游目的地。

（2）按目标到措施自上而下地将各类因素之间的直接影响关系排列于不同

层次，并构成一层次结构图，如图17-1所示。

图17-1选择旅游地的层次结构

目标层A

准则层C

方案层P

（3）依据上面的层次结构图，由决策者的经验给出每一层的各因素的相对重要性的权数，从而得到一些判断矩阵，然后将其不断修正，直至其通过一致性检验。

（4）进行组合权重计算，计算出措施层各方案的相对权数。

从而确定出各方案的优劣次序，以便供决策者决策。

上面便是层次分析法的一般步骤，它可以较为有效地处理一些决策问题。

仃.2层次分析法的基本原理

人们在处理上述决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但有一个共同的特点是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素，在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或优先程度往往难以量化。

人的主观选择会起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。

T.L.Saaty等人在七十年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用

方法，称为层次分析法（AnalyticHierarchyProcess，简称AHP法），这是一种定

性与定量分析相结合的多目标决策分析方法。

它可以将决策者的经验判断给予量化，能将一些半定性、半定量问题转化为定量计算问题，从而可以使人们的思维过程层次化，逐层比较多种关联因素，为分析、决策、预测或控制事物的发展提供定量的依据，这对于处理一些目标（因素）结构复杂且缺乏必要的数据的决策问题尤为实用。

下面结合一些实际问题对其基本原理给予介绍。

设有n件物体A,A2,...,An;它们的重量分别为w1,w2,...,wn。

若将它们两

两地比较重量，其比值可构成

n汉n矩阵A。

/w1

w1

W1'

w1

w2

Wn

w2

w2

W2

A=

w1

w2

Wn

Wn

Wn

Wn

\.W

W2

Wn丿

将重量向量

W=（W1,W2,...,Wn）T

右乘矩阵A，可得

（A-nl）W=0（17.1）

由矩阵理论知，W为特征向量，n为特征向量。

若W为未知时，则可根据决策者对物体之间两两相比的关系，主观做出比值的判断，使矩阵A为已知，于是

得一判断矩阵，记作A。

显然矩阵A=（aj人n有以下特点:

⑵aii~1,i-1,2,,n

这里矩阵A=（aj）nn称为正互反矩阵。

若正互反矩阵A二（aj）nn满足条件

aij-ajk二aik,i,j,k-1,2-,n

则A成为一致矩阵。

它具有下列性质：

1）A=（aij）nn的转置也是一致矩阵;

2）A=（aj）nn的每一行均为任意指定一行的正倍数，从而rank（A）=1；

3）A=（aj）nn的最大特征根’max=门，其余的特征根为零;

若给出的判断矩阵A具有上述特性，则该矩阵具有完全一致性。

然而人们

对复杂事务的各因素，采用两两比较时，不可能做到判断的完全一致性，而存

在估计误差，这必然导致特征值及特征向量也有偏差。

这时问题由AW=nW变

成AW二-maxW'，这里’max是矩阵A的最大特征值，W'便是带有偏差的相对

权重向量。

为了避免误差太大，所以须检验矩阵A的一致性。

_nn

当矩阵A完全一致时，因aij-1,a、=7ay二n，故存在唯一的非零

iz!

iz!

特征值■二"max二n。

当矩阵A不一致时，一般是韦ax一n，这时

n

'max一二冷='aij=n

i-maxi=1

于是有

'max-n='i

H.max

以其平均值作为检验判断矩阵一致性指标

CI二max—n（17.2）

n—1

当’max,CI=0,矩阵A完全一致；CI值越大，判断矩阵的完全一致性越差。

判断矩阵A的维数n越大，判断的一致性越差，为了放宽对高维判断矩阵

一致性的要求，引入修正值，即随机一致性指标RI，见表17-1，并取更为合理

的CR作为衡量判断矩阵一致性的指标

CR=°（17.3）

RI

这里CR称为随机一致性比率。

表17-1随机一致性指标RI的取值

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

RI

0

0

0.58

0.90

1.12

1.24

1.32

1.41

1.45

1.49

1.51

当CR<0.1时，认为A具有满意的一致性，否则必须重新调整判别矩阵A，

直至其具有满意的一致性。

为了使各因素之间进行两两比较得到量化的判断矩阵，弓I入1~9的标度，

根据心里学家的研究提出：

人们区分信息等级的极限能力为7_2，特制定表见

表17-2。

表17-2标度的定义表

标度a-i

定义

1

表示因素i与因素j一样重要

3

表示因素i比因素j略为重要

5

表示因素i比因素j较为重要

7

表示因素i比因素j非常重要

9

表示因素i比因素j绝对重要

2,4,6,8

为以上两判断之间的中间状态对应的标度值

倒数

若因素i与因素j比较，得到的判断值为a”=1/aji,內=1

如果需要比9大的数字，那么可以根据情况，先将因素聚类进行类比，再比较每一类中的元素，从而避免用1~9以外的数字。

仃.3层次分析法的实现

1.建立层次结构模型

对一个具体决策问题进行处理时，首先应将它所包含的因素分层，一般可以分为目标层、准则层和方案措施层•复杂的问题可分为总目标层、子目标层、准则层（或制约因素层）、方案措施层，或分为层次更多的结构。

下面举例加以说明。

例1：

国家实力分析方案的选取

一些高层研究人员要对美、俄、中、英、法、日、德等大国的国家综合实力进行分析判断•考虑的因素有国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易等，对此问题可建立如下层次结构图.

图17-2国家综合实力分析的层次结构

例2:

科研课题的选取

研究所有三个科研课题，限于人力、物力只能研究一个课题•有三个需考

虑的因素

（1）科研成果贡献大（包括实用价值和科学意义）；

（2）课题的可行性（包括

课题的难易程度，研究周期及资金）；（3）人才的培养.在这些因素的影响下，如何选择课题？

对此问题可建立如下层次结构图。

图17-3选择科研课题的层次结构

图17-4评价教师贡献的结构

A、准则层C（有K个准则因素）

例3:

教师贡献的评价方案的选取

某学校要对四位教师Pi、P2、P3、P4在教学与科研两方面的贡献进行评价.其

中Pi、P2只从事教学工作，P4只从事科研工作，P3既从事教学工作又搞科学

研究.对此问题可建立如下层次结构图

目标层A

准则层C

方案层P

2.判断矩阵的构造

按给出的层次结构模型，设为目标层

方案层P（有n个方案）。

由决策者根据经验给出各层因素之间的两两比较的判

断矩阵如下：

A-C判断矩阵

A

C1

C2…

Ck

C

an

a12

a1K

C2

a21

a

a22

a

a2K

a

Ck

aK1

aK2

…aKK

然后分别给出Ci-P的判断矩阵（i=1,2,...,K）。

Ci

P1

P2

Pn

P

bn

b12

bm

b21

a

b22

a

b2n

a

R

bn1

bn2

bnn

例如上面选择旅游地问题中，准则层对目标层的两两比较矩阵为

\.5

其中a14=5，表示景色条件p与饮食条件P4这个因素对选择旅游地这个目标

1

的重要性之比为5:

1，因此a41=1。

5

3•层次单排序及其一致性检验

层次单排序就是根据判别矩阵，计算对于上一层某因素而言，本层次与之

有联系的元素的重要性次序的权值，计算的方法有：

行和正规化法，列和正规

化法，方根法，特征向量法，梯度特征向量法等。

常用的是特征向量法。

利用MATLAB计算各判断矩阵的最大特征值’max及其相应的特征向量

B=｛灼1,国2,...帛n）T，这也是各因素的相对权重。

将入max代入（17.3）,对判断

矩阵进行一致性检验。

若判断矩阵具有满意一致性，则将'max所对应的特征向

量,进行标准化，然后作为层次单排序的权值，当各层次的诸因素的相对权重都得到后，进行措施层的组合权重计算。

4.组合权向量的计算

同一层次所有因素对总目标相对重要性的排序权值称为组合权向量。

计算组合权向量的过程也称为层次总排序。

此过程是从最高层到最低层逐层进行的。

对于最高层下面的第二层，其层次单排序即为总排序。

设有目标层A、准则层C、方案层P构成的层次模型（当层次更多时，计算过程相同），目标层A对准则层C（包含K个准则）的相对权重为：

准则层C的各准则G（i=1,2,...,K）对方案层P的n个方案的相对权重为:

叫=（叫妙2i，…®ni）T（i=1,2,...,K）

的组合得到，即:

（17.4）

=（W1⑵w22）,..wKV

这时得到的向量w

（2）的各个分量就是P层各方案的相对权重，将其排序，

即得各方案的优劣次序。

5.组合一致性检验

在层次分析的整个计算中，除了对每个成对比较判别矩阵进行一致性检验，

以判别每个权向量是否可以应用外，还要进行所谓的组合一致性检验，以确定

组合权向量是否可以作为最终的决策依据。

设方案层P的n个方案的一致性指

标分别为CI⑴=（Cl1⑴，ClJ,…，Cln⑴）,其对应的随机一致性指标分别为

RI⑴-（RpRI；1〉,,Rini））。

定义

CI

（2）=（Cli

（2）,Cl2

（2）,,Cln⑵）w⑴

Rl

（2）=（RI,2）,RI2⑵,，Rln⑵）w⑴

则方案层对目标层的组合一致性比率为

Cl

（2）

（17.5）

CR⑵=CR

（1）一面

RI⑵

其中CR

（2）为由（17.2）计算的组合一致性比率。

当CR

（2）:

:

：

0.1时，认为整个层次的比较判别具有满意的一致性。

6.不完全层次结构中组合权向量的计算方法

在前面选择旅游景点的问题中，上一层的每个因素都支配着下一层的所有

元素，或者说被下一层所有的因素影响，如图17-1这种层次结构称为完全的.但

例3中的层次结构就不同，第二层的准则并不是支配着第三层的所有元素。

第

二层的准则G支配第三层的指标P1、P2、P3,第二层的准则C2支配第三层

的指标P3'卩4。

这种层次结构称为不完全的•在不完全层次结构中，同一层指标支配的因素数目不等。

在不完全层次结构层次单排序的权向量计算中是否应考虑以及怎样考虑支

配因素数目不等的影响？

通常有以下几种处理方法。

（1）不考虑支配因素数目不等的影响，像完全层次结构计算一样。

如准则

层的两个因素对目标层的权向量w⑵=（w1⑵，w2⑵）T已经确定，方案层的P1、

P2、P3受G支配，记n1=3;P3、P4受C2支配，记n2=2。

方案层共有四

个因素，所有它们对上层指标的权向量应该是四维的列向量。

当某一因素不受

C1或C2支配时，权向量的相应分量为零。

记P1、卩2、P3、P4对指标G、

C2的权向量分别为w,⑶，w2⑶。

则w-!

（3）,w2⑶可以表示为

（2）支配因素越多相对权重越大。

有支配因素的数目对权重向量

w⑵进

行加权，修正为W⑵，再计算w⑶。

其中

〜

（2）/⑵

（2）\T/

（2）

（2）」

w（niwi,n2w2）.（niwin2w2）（i7.7）

（3）（3）〜

（2）WWW2（i7.8）

在例3中，如果教师从事教学或科研完全由上级安排，而不考虑搞教学或科研的人数，则在评价中搞教学的教师（人数较多）将吃亏。

由于教学与科研两个

1i

准则的重要性相同，故取W

（2）=（,）T，4位教师无论从事教学或科研，能力

22

相同，故取“⑶w2（3）=（0,0,丄丄）。

公正的评价应该是：

安排只

33322

搞教学或科研的Pi、P2、P4三个教师的贡献相同，而P3的贡献应为他们的

一倍•但由公式（i7.6）可得w（3）=（i6,i6,5i2,i6）T，显然不合理。

而用公式（仃.7）,W.8）可得w⑶=（i5,i5,25,i5）T，这是合理的。

⑶支配因素越多相对权重越小。

用支配因素数目的倒数对权重向量W⑵进

行修正，（i7.7）式变为

仃・4应用举例：

彩票中奖方案的合理性问题

近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列。

目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型，两种类型的总

奖金比例一般都为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别

的奖就不再兼得低级别的奖。

表17-3中是几种常见的销售规则及相应的奖金设置方案，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。

低项奖数额固定，高项奖按比例分配。

问哪一个彩票中奖方案更为合理。

表17-3彩票中奖方案

奖项

一等奖

二等奖

三等奖

四等奖

五等奖

六等奖

七等奖

方案

比例

比例

比例

金额

金额

金额

金额

1

60%

25%

15%

200

20

5

2

60%

15%

25%

500

50

20

10

3

65%

15%

20%

500

50

10

4

70%

10%

20%

600

60

6

5

75%

10%

15%

1000

100

50

5

解

（一）经过分析影响彩票中奖方案合理性的各个直接因素（七种奖项）之间的关系后，建立彩票中奖方案的递阶层次结构图如下：

目标层A

准则层B

准则层C

方案层P

图17-5彩票中奖方案的层次结构图

（二）措施层各方案的相对权重对目标层而言，我们认为高项奖

B3比低项奖B4略微重要。

按照此原则对各层建立判断矩阵并

对其进行一致性检验。

1.准则层B对目标层A判断矩阵的建立及其一致性检验

A

B1

B2

B3

B4

B1

1

3

7

8

B2

1/3

1

6

7

B3

1/7

1/6

1

2

B4

1/8

1/7

1/2

1

A-B判断矩阵:

在MATLAB命令窗中输入以下命令求出上述判断矩阵的最大特征值及其

特征向量。

>>A=[1378;1/3167;1/71/612;1/81/71/21];

>>[V,q]=eig（A）

于是得判断矩阵的最大特征值为：

max

=4.1541

其对应的特征向量

V=[0.8748,0.4658,0.1107,0.0733]T

致性检验：

…n

一致性指标：

CI二」-=0.0514

nT

ci

随机一致性比率：

CR=0.0571<0.1

RI

所以判断矩阵具有满意的一致性。

于是得准则层对目标层的相对权重为:

（1）

w=[0.8748,0.4658,0.1107,0.0733]

2.准则层C对准则层B判断矩阵的建立及其一致性检验

B2-Q（^2,3）判断矩阵:

B2

C2C3

C2

1

2

C3

1/2

1

按照前面方法利用MATLAB求出其最大特征值及其特征向量为：

■max=2V=[0.8944,0.4472]T

一致性指标：

CIn=0

n-1

ci

随机一致性比率：

CR二=0<0.1

RI

所以判断矩阵具有满意的一致性。

于是得准则层G（i=1,2）对准则层B2的相对

权重为：

2⑴=（0,0.8944,0.4472,0,0,0,0）t

B3-Ci（i=4,5,6）判断矩阵：

B3

C4

C5

C6

C4

1

3

4

C5

1/3

1

2

C6

1/4

1/2

1

按照前面方法利用MATLAB求出其最大特征值及其特征向量为：

nT

1max=3.0183V=[0.9154,0.3493,0.1999]

…n

一致性指标：

CImax—=0.0091

nT

ci

随机一致性比率：

CR=0.0158<0.1

RI

所以判断矩阵具有满意的一致性。

于是得准则层G（i=4,5.6）对准则层B3的相

对权重为：

3⑴二（0,0,0,0.9154,0.3493,0.1999,0）t

（3）计算准则层对目标层的组合权重

由公式（17.4）可计算出准则层对目标层的组合权重为:

w⑵二i⑴y31）41）w⑴

广1

0

0

0、

‘0.8748、

0

0.8944

0

0

9.8748、

0.4166

0

0

0.4472

0

0

0.9154

0

0

0.4658

0.2083

0.1013

0

0

0.3493

0

0.1107

0.0387

0

0

0.1999

0

卫.0733』

0.0221

<0

0

0

1」

10.0733』

（4）建立准则层对方案层的判断矩阵

各准则层G（i=1,2,...,7）对方案层Pj（j=1,2,...,5）的判断矩阵:

G—p判断矩阵

G

P1

P2

P3

P4

P5

P1

1

1

1/2

1/3

1/4

P2

1

1

1/2

1/3

1/4

P3

2

2

1

1/2

1/3

P4

3

3

2

1

1/2

P5

4

4

3

2

1

利用MATLAB求出其最大特征值及其特征向量为：

nT

■max=5.0364V=[0.1664,0.1664,0.2906,0.4890,0.7881]

--n

一致性指标：

CI=0.0091

nT

CI

随机一致性比率：

CR=0.0081<0.1

RI

所以判断矩阵具有满意的一致性。

于是得准则层C1对方案层P的相对权重为:

1⑵二（0.1664,0.1664,0.29060.4890,0.7881）t

C2-P判断矩阵

C2

P1

P2

P3

P4

P5

P1

1

3

3

4

4

P2

1/3

1

1

2

2

P3

1/3

1

1

2

2

P4

1/4

1/2

1/2

1

1

P5

1/4

1/2

1/2

1

1

利用MATLAB求出其最大特征值及其特征向量为：

■max=5.0264V=[0.8474,0.3300,0.3300,0.1790,0.1790]T

一致性指标：

CI二丄竺n=0.0066

n-1

ci

随机一致性比率：

CR二一=0.0059<0.1

RI

所以判断矩阵具有满意的一致性。

于是得准则层C2对方案层P的相对权重为:

2⑵二（0.8474,0.3300,0.330Q0.1790,0.1790）t

C3-P判断矩阵

C3

P1

P2

P3

P4

P5

P1

1

1/3

1/2

1/2

1

P2

3

1

2

2

3

P3

2

1/2

1

1

2

P4

2

1/2

1

1

2

P5

1

1/3

1/2

1/2

1

利用MATLAB求出其最大特征值及其特征向量为:

T

'max:

=5.0133V=[0.2207,0.7452,0.4166,0.4166,0.2207]

一致性指标：

CIn=0.0033

n—1

CI

随机一致性比率：

cr=ri“0029®

尸=（0.2207,0.7452,0.41660.4166,02207）t

C4-P判断矩阵

C4

Pl

P2

P3

P4

P5

Pl

1

1/3

1/3

1/4

1/6

P2

3

1

1

1/2

1/4

P3

3

1

1

1/2

1/4

P4

4

2

2

1

1/3

P5

6

4

4

3

1

利用MATLAB求出其最大特征值及其特征向量为:

max'

=5.0851V=[0.0953,0.2247,0.2247,0.3837,0.8618]

一致性指标：

C|='maxn—0.0213

n—1

CI

随机一致性比率：

CR=0.0190<0.1

RI

所以判断矩阵具有满意的一致性。

于是得准则层C4对方案层P的相对权重为:

4⑵二（0.0953,0.2247,0.2247,0.3837,08618）t

C5-P判断矩阵

C5

P1

P2

P3

P4

P5

P1

1

1/3

1/3

1/4

1/6

P2

3

1

1

1/2

1/4

P3

3

1

1

1/2

1/4

P4

4

2

2

1

1/3

P5

6

4

4

3

1

利用MATLAB求出其最大特征值及其特征向量为:

max=5.0851

V=[0.0953,0・2247,o.2247,0.3837,0.8618]

一致性指标：

Cln=0.0213

n-1