极坐标方程与直角坐标方程地互化.docx
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极坐标方程与直角坐标方程地互化
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化
1.(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
J2在极坐标系下,已知圆O:
cossin和直线l:
sin(-)
42
(1)求圆0和直线I的直角坐标方程;
(2)当0,时,求直线I与圆O公共点的一个极坐标.
2.(选修4—4:
坐标系与参数方程)已知曲线C的极坐标方程是
x
设直线I的参数方程是
y
3
t2
5(t为参数)。
4t
(1)将曲线c的极坐标方程转化为直角坐标方程;
(2)设直线I与x轴的交点是M,N为曲线C上一动点,求|MN|
3.(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
2sin
的最大值。
已知曲线C的极坐标方程为
36
4cos29sin2'
(1)若以极点为原点,极轴所在的直线为x轴,求曲线C的直角坐标方程;
(2)若P(x,y)是曲线C上的一个动点,求3x4y的最大值。
5.(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
已知直线I经过点P(1,1),倾斜角
6
(1)写出直线I的参数方程;
x2cos
(2)设I与圆(是参数)相交于两点A、B,求点P到A、B两点的
y2sin
距离之积。
6.(本题满分10分)
4—4(坐标系与参数方程)
的极方程
在直角坐标系xOy中,以0为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线I
rsin
(I)求圆心的极坐标;
7.(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程选讲
cos2
(1)求曲线C的普通方程;
(2)求直线l被曲线C截得的弦长.
7.
(1)由曲线C:
2cos22(cos2sin2)1,得2cos22sin2)1,化成普通方程
22
xy1①5分
(2)方法一:
把直线参数方程化为标准参数方程
ft
(t为参数)
把②代入①得:
2
整理,得t4t60设其两根为t1,t2,
则t1t24,t1t268分
从而弦长为|t1t2|..(t1t2)24址2',424(6)'40210.10分
方法二:
把直线I的参数方程化为普通方程为
y.3(x2),代入x2y21,得2x212x1306分
设I与C交于A(Xi,X2),B(X2,y2)
|AB|J_3、(XiX2)24x1X226226210.10分
x1
2t
1、(09广东理14)
(坐标系与参数方程选做题)
若直线
(t为参数)与直线
y2
3t
4xky1垂直,则常数k=.
x1
2t
37
3
【解析】将
化为普通方程为y
x,斜率k1
5
y2
3t
22
2
当k0时,直线4x
4
ky1的斜率k2-
由k1k2—
4
1得k6;
k2k
37
当k0时,直线yx与直线4x1不垂直.
22
综上可知,k6.
答案6
则I1与l2的距离为
(为参数)相交于两点A和B,则|AB|=
.14
Ci为圆心是(4,3),半径是1的圆.
C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是
C.选修4-4:
坐标系与参数方程
3(t
求曲线c的普通方程。
考查转化问题的能力。
满分10
【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识,
分。
2121y
解因为xt2,所以x2t,
tt3
故曲线C的普通方程为:
3x2y60.
10、(09辽宁理23)(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程在直角坐标系
xOy中,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos
)=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点。
3
(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程。
解(I)由cos()1得
3
13•、彳
(cossin)1
22
从而C的直角坐标方程为
13彳
xy1
22
即
x、-3y2
0时,2,所以M(2,0)
2时,晋,所以N(^^,-)
(n)M点的直角坐标为(2,0)
N点的直角坐标为(0,-3)
3
所以P点的直角坐标为(1.于),则P点的极坐标为(竽,註
所以直线OP的极坐标方程为一,(,)
1.(2008广东理)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线G,C2的极坐标方
n
程分别为cos3,4cos》0,0W-
2
贝U曲线G与C2交点的极坐标为.
答案(2气)
(1)指出C1,
(2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线C1',C2'.写出C1',C2'的参数方程.CJ与C2'公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同?
说明你的理由•
C2的普通方程为
因为圆心C1到直线Xy20的距离为1,
所以C2与G只有一个公共点.
(2)压缩后的参数方程分别为
其判别式(2-一2)242
C:
选修4-4:
坐标系与参数方程
2
X
在平面直角坐标系xOy中,设P(x,y)是椭圆y21上的一个动点,
3
求S=x+y的最大值.
2
C.解:
由椭圆Xy21的参数方程为X■■-cos,(为参数),ysin
所以当-时,S取得最大值2
极坐标方程=cosB化为直角
1、(辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考)
标方程为
(
)
1
1
12
1
A.(x+)2+y2
B.x2+(y+
2=
2
=4
2
_4
1
C.x2+(y-)2=
1
1
D.(x-)2
+y2=
1
2
4
2
4
答案D.
n
4、(2009广州一模)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线psin(0+-)=2被
4
p=4截得的弦长为
答案4-3
7、(2009广东三校一模)(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别为2cos和
sin的两个圆的圆心距为
答案11、(2009东莞一模)(参数方程与极坐标选做题)在极坐标系中,点
1,0到直线cossin2的距离为.
答案—
2
13、(2009江门一模)
(坐标系与参数方程选做题)P是曲线
xsincos
y1sin2
([0,2)是参数)上一点,P到点Q(0,2)距离的最小值
是
答案—
2
16、(2009茂名一模)
(坐标系与参数万程选做题)把极坐标万程cos(-)1化为直
角
坐标方程是
答案,3xy20
22、(2009韶关一模)在极坐标系中,圆心在(J2,)且过极点的圆的方程为_•
答案22cos
25、(2009深圳一模)(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,曲线Ci的参数方程
xcos,
[0,],以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2在极坐标系中
ysin
的方程为b•若曲线Ci与C2有两个不同的交点,则实数b的取值范围
sincos
是•
答案1b、2
41、(2009厦门一中)(极坐标与参数方程)已知直线I经过点P(1,1),倾斜角
址22,则点P到代B两点的距离之积为
数),圆C的极坐标方程:
2・、2sin,试判断直线I与圆C的位置关系.
4
解将直线l的参数方程化为普通方程为:
y2x1
22
将圆C的极坐标方程化为普通方程为:
x1y12
从圆方程中可知:
圆心C(1,1),半径r,
|21112
所以,圆心C到直线l的距离d——;2r
<22
(1)2『5
所以直线l与圆C相交.
方程.
1.
xsin,y12sin,消去参数得2xy设切线为ykx2,代入得2x2kx
令k280,得k2、2,故y2、2x
或y4x,设切点为(a,b),则斜率为
212a22..2
,解得a丐,
即得切线方程•
2009厦门十中)(极坐标与参数方程)已知圆C的参数方程为
12cos,
L为参数,若P是圆C与x轴正半轴的交点,以原点O为极点,x
.32sin
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设过点P的圆C的切线为I,求直线I的极坐标方程.
解由题设知,圆心C1,-3,P2.0
/CPO=60
,故过P点的切线飞倾斜角为30°
,是过P点的圆C的切线上的任一点,则在△
PMO中,
ZMOP=
OMP300OPM1500
由正弦定理得亠OP-
sinOPMsinOMP
cos6001或sin300
,即为所求切线的极坐标方程。
2上的点到直线
46、(2009厦门英才学校)(极坐标与参数方程)求极坐标系中,圆
cos3sin6的距离的最小值.
解由2即24则易得x2y24,由cos.、3sin6易得x,3y60圆心(0,0)到直线的距离为do0°§3
Q又圆的半径为2,圆上的点到直线的距离的最小值为dd02321.
l9
53、(2009通州第四次调研)求经过极点0(0,0),A(6,q),B(6、、2,)三点的圆的极坐
标方程•
解将点的极坐标化为直角坐标,点O,A,B的直角坐标分别为0,0,0,6,6,6,
故OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形,圆心为3,3,半径为3、、2,
圆的直角坐标方程为
x
222
3y318,即x2
y26x6y0,
将xcos,y
sin
代入上述方程,得26
cossin0,
即6;2cos
4
54、(2009盐城中学第七次月考)若两条曲线的极坐标方程分别为1与
1,
1.(2009番禺一模)在直角坐标系中圆C的参数方程为
x2cos
(为参数),若以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标y22sin
系,则圆C的极坐标方程为
答案4sin
16.(2009厦门同安一中)(极坐标与参数方程)若两条曲线的极坐标方程分别为
n
与=2cos(9+3),它们相交于A,B两点,求线段AB的长.
3
22
解由1得xy1,
又Q2cos(3)cos,3sin,2cos.3sin
x2y2x.3y0,
由Xy1得A(1,0),B(!
3),
X2y2x3y022
L厂一3.……7分
AB11033
22
为极点,x轴的正半轴为极轴.已知点
P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为(4,
—).若直线I过点P,且倾斜角为—,圆C以M为圆心、4为半径.
23
(I)求直线I的参数方程和圆C的极坐标方程;
(n)试判定直线I和圆C的位置关系
解(I)直线I的参数方程为
圆C的极坐标方程为8sin
(n)因为M4,对应的直角坐标为0,4
2
直线I化为普通方程为3xy5.30
0459Vs
圆心到直线I的距离d——j=一15,所以直线I与圆C相离.
V312
普通方程为()
x2(0y1)
A.yx2B.yx2C.yx2(2x3)【解析】转化为普通方程:
yx2,但是x[2,3],y[0,1]
2
化极坐标方程cos0为直角坐标方
答案C
4.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)
程为()
A.x2y20或y1B.x1C.x2y20或X1D.y1
【解析】(cos1)0,..x2y20,或cosx1
答案C
5.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)点M的直角坐标是(1/-3),则点M的极
坐标为(
A.(2,3)B.
【解析】(2,2k
(2,3)C.(召)
^-),(kZ)都是极坐标
3
D.(2,2k3),(k
Z)
答案C
6.(2007—2008
泰兴市蒋华中学基础训练)
极坐标方程cos
2sin2表示的曲
线为()
A.一条射线和一个圆
B.两条直线C.一条直线和一个圆
D.一个圆
【解析】cos4sincos,cos0,或4sin,即2sink2,或X2y24y
答案
11.
(2007—2008
泰兴市蒋华中学基础训练)
x
直线
y
4t
(t为参数)的斜率为
5t
y45t【解析】k
x34t
答案5
4
12.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)
x
参数方程
y
t
e
2(et(
方程为
【解析】
2ett(t为参数)的普通et)(X
2
“宀x
答案—
4
y2
161,(x2)
13.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)
已知直线11:
:
t(t为参数)与直线
l2:
2x4y5相交于点B,又点A(1,2),
则AB
13t代入2x4y5得t丄,则B(5,0),
24t22
答案
(2007
—2008泰兴市蒋华中学基础训练)直线
1t
2(t为参数)被圆
丄t
2
x2
y24截得的弦长为
【解析】直线为xy10,圆心到直线的距离d
,弦长的一半为
22(2^)2于,得弦长为'-14
答案-14
【解析】coscossinsin0,cos()0,取—
答案一
2
22.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)
22
已知点P(x,y)是圆x2y22y上的动点,
(1)求2xy的取值范围;
(2)若xya
0恒成立,求实数a的取值范围。
xcos
解
(1)设圆的参数方程为,
y1sin
2xy2cossin1.5sin()1
(2)
xyacossin
1a
0
a
(cossin)1
2sin(
卫1
a
.21
23.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)
求直线li:
X1t_(t为参数)和直线y5V3t
l2:
xy230的交点P的坐标,及点P与Q(1,5)的距离。
解将X1t代入xy2・、30得t2.3y5V3t
得P(12J3,1),而Q(1,5),得PQ7(^3)2624x/3
直线x2y120的距离的最小值。
25.(2007宁夏区银川一中)选考题(本题满分10分,只能从A、B、C三道题中选做一道)
A.
(1)已知点C的极坐标为(2,—),画图并求出以C为圆心,半径r=2的圆的极坐标
3
方程(写出解题过程);
(2)P是以原点为圆心,r=2的圆上的任意一点,Q(6,0),M是PQ中点
1画图并写出OO的参数方程;
2
A.
(1)如图,设M(,B)
当点P在圆上运动时,求点M的轨迹的参数方程。
则/MQC=0——或一一B
33
由余弦定理得4+2—4cos(0——)=4
3
•QC的极坐标方程为=4cos
(2)如图①OO的参数方程x
y
2cos
2sin
②设M(x,y),
P(2cos0,2sin0),
62cos
•••M的参数方程为
2
2sin
2
即x3cos
ysin
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