专题02 方程组与不等式组的运算原卷版.docx

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专题02方程组与不等式组的运算原卷版

专题02方程（组）与不等式（组）的运算

一、一次方程（组）

1.方程

定义:

含有未知数的等式叫做方程.

方程的解:

使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解,一元方程的解也叫做它的根.

解方程:

求方程解的过程叫做解方程.

2.一元一次方程

只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.

一元一次方程的标准形式为ax+b=0（a≠0）,其解为x=−

.

解一元一次方程的一般步骤:

（1）去分母;

（2）去括号;（3）移项;（4）合并同类项;（5）未知数的系数化为1.

3.二元一次方程

定义:

含有两个未知数,并且未知数的次数都是1,这样的方程叫做二元一次方程.

一般形式:

ax+by+c=0（a≠0,b≠0）.

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.

解的特点:

一般地,二元一次方程有无数个解.

4.二元一次方程组

定义:

方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.

二元一次方程组的解：

一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.

5.三元一次方程组

方程组含有三个不同的未知数,每个方程中含有未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.

6.一次方程组的解法

解二元一次方程组的基本思想是消元,即化二元一次方程组为一元一次方程,主要方法有代入消元法和加减消元法.

（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤:

①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形,用含有x（或y）的代数式表示出y（或x）,即变成y=ax+b（或x=ay+b）的形式;②将y=ax+b（或x=ay+b）代入另一个方程,消去y（或x）,得到关于x（或y）的一元一次方程;③解这个一元一次方程,求出x（或y）的值;④把x（或y）的值代入y=ax+b（或x=ay+b）中,求y（或x）的值.

（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤:

①在二元一次方程组中,若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数）,则可以直接相减（或相加）,消去一个未知数;②在二元一次方程组中,若不存在①中的情况,则可选一个适当的数去乘方程的两边,使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数）,再把方程两边分别相减（或相加）,消去一个未知数;③解这个一元一次方程;④将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程,求出另一个未知数.

解三元一次方程组的基本思路是:

通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程.

二、二次方程

1.一元二次方程

定义:

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程.

一元二次方程必备的三个条件：

（1）必须是整式方程；

（2）必须只含有一个未知数；

（3）所含未知数的最高次数是2．

一般形式:

ax2+bx+c=0（a≠0）.

2.一元二次方程根的判别式

关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式为b2−4ac,记为Δ.

（1）b2−4ac>0⇔关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根.

（2）b2−4ac=0⇔关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根.

（3）b2−4ac<0⇔关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.

3.一元二次方程的四种解法

直接开平方法

（1）观察方程是否符合x2＝m（m≥0）或（x±m）2＝n（n≥0）的形式；

（2）直接开平方，得两个一元一次方程；

（3）解这两个一元一次方程，得原方程的两个根.

配方法

（1）将二次项系数化成1；

（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；

（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方；

（4）原方程变为（x±m）2＝n（n≥0）；

（5）直接开平方，得两个一元一次方程；

（6）解这两个一元一次方程，得原方程的两个根.

公式法

（1）把方程化为一般形式；

（2）确定a，b，c的值；

（3）求出b2－4ac的值；

（4）将a，b，c的值代入x＝

.

因式分解法

一般步骤:

（1）将方程的右边各项移到左边,使右边为0;

（2）将方程左边分解为两个一次因式乘积的形式;

（3）令每个因式为0,得到两个一元一次方程;

（4）解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.

4.一元二次方程根与系数的关系

如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.

如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1,x2，那么x1+x2=-

x1·x2=

.

三、分式方程

定义:

分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

使分式方程分母为零的未知数的值即为增根;分式方程的增根有两个特征:

（1）增根使最简公分母为零;

（2）增根是分式方程化成的整式方程的根.

解分式方程的一般步骤:

（1）去分母,把分式方程转化为整式方程;

（2）解这个整式方程,求得方程的根;

（3）检验,把解得整式方程的根代入最简公分母,若最简公分母为零,则它不是原方程的根,而是方程的增根,必须舍去;若最简公分母不为零,则它是原分式方程的根.

四、不等式

定义：

用不等号（＞、≥、＜、≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式．

不等式的基本性质

性质1:

不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变

若a＞b，则a±c>b±c

性质2:

不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变

若a＞b，c＞0，则ac>bc（或

）

性质3:

不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变

若a＞b，c＜0，则ac

）

不等式的解：

使不等式成立的未知数的值．

不等式的解集：

一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．

五、一元一次不等式及其解法

定义：

只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式．

解一元一次不等式的一般步骤：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.（注意不等号方向是否改变）

一元一次不等式的解集表示

x＜a

x＞a

x≥a

x≤a

六、一元一次不等式组及其解法

定义：

由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．

解一元一次不等式组的一般步骤：

先分别求出每个一元一次不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，即为一元一次不等式组的解集．

一元一次不等式组的解集表示：

核心考点1一元一次方程

一元一次方程是广东省中考的热点,尤其是简单的方程，通常考查一元一次方程的解法,.解决这类问题的关键就是熟练掌握解一元一次方程的步骤.

【经典示例】解方程：

.

答题模板

在解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，根据方程的特点灵活应用.

第一步，先判定题目中是否含有分母，如果有，先去分母，如果无，看是否有括号，如果有，先去括号；

第二步，若第一步中有分母，则第二步去括号，若第一步中无分母，则第二步移项；

第三步，若第二步去括号，则第三步移项，若第二步是移项，则第三步合并同类项；

第四步，若第三步移项，则第四步合并同类项，若第三步合并同类项，则第四步化系数为1；

第五步，若第四步合并同类项，则第五步化系数为1.

【满分答案】

，

去分母，得

，

去括号，得

，

移项，得

，

合并同类项，得

系数化为1，得

．

【解题技巧】一元一次方程的求解步骤：

变形名称

具体做法

去分母

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数

去括号

先去小括号，再去中括号，最后去大括号

移项

把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边

合并同类项

把方程化成

的形式

系数化成1

在方程两边都除以未知数的系数

，得到方程的解为

注意：

解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．

模拟训练

1．解方程：

.

核心考点2二元一次方程组

二元一次方程是中考的热点，常以解答题的题型进行考查，主要考查解二元一次方程的解法.在考查时经常运用解二元一次方程的消元思想，解题时要充分运用消元思想进行求解．

【经典示例】解方程组：

．

答题模板

1.如果用的是代入消元法，步骤如下：

第一步：

从方程组中任选一个方程，将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；

第二步：

将这个代数式代入另一个方程，消去未知数，得到含有另一个未知数的一元一次方程；

第三步：

解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

第四步：

将所求得的这个未知数的值代入原方程组任一方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.

2.如果用的是加减法，步骤如下：

第一步：

方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使他们中同一个未知数的系数相等或互为相反数；

第二步：

把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

第三步：

解这个一元一次方程；

第四步：

将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.

【满分答案】方程①×2+②得：

5x=15，

方程两边同时除以5得：

x=3，

将x=3代入①中得：

6﹣y=5，移项得：

y=1，

∴方程组的解为

．

模拟训练

2．解方程组：

.

核心考点3一元一次不等式（组）

一元一次不等式（组）是广东省中考的热点,尤其是简单的不等式，通常考查利用不等式的性质解一元一次不等式（组）,解决这类问题的关键就是熟练掌握解不等式的性质及解一元一次不等式（组）的步骤.

【经典示例】求不等式组

的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来．

答题模板

第一步：

先求出这个不等式组中各个一元一次不等式的解集.

第二步：

再（利用数轴）确定各个解集的公共部分，即求出了这个一元一次不等式组的解集.

【满分答案】

，

解不等式①得：

，

；

解不等式②得：

，

．

则不等式组的解集是：

．

在数轴上表示如下：

【解题技巧】解一元一次不等式（组）的有关要点：

（1）在不等式的两边都乘（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯，就是先确定该数的数性（正数，零，负数），再确定不等号的方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错.

（2）用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意点是实心还是空心，若边界点包含于解集为实心点，不含于解集则为空心点；二是定方向，定方向的原则是：

“小于向左，大于向右”.

模拟训练

3．解不等式

，并把解集在如图所示的数轴上表示出来.

核心考点4一元二次方程

一元二次方程是广东省中考的热点,尤其是简单的方程，通常考查一元二次方程的解法，解决这类问题的关键就是熟练掌握解一元二次方程的几种解法.

【经典示例】解方程：

.

答题模板

解一元二次方程有多种方法，在此仅介绍用公式法（所有一元二次方程的通用方法）的解题模板：

第一步，先整理方程，将方程化成一般形式，即

；

第二步，写出a，b，c的值；

第三步，利用

判断一元二次方程根的情况；

第四步，代入公式求解即可.

【满分答案】由

，可得

，

，

所以

，所以方程

的解为

．

【解题技巧】一元二次方程的解法：

（1）直接开平方法，没有一次项的方程适用；

（2）配方法，所有方程适用；（3）公式法，所有方程适用；（4）因式分解法，可因式分解的方程适用．

模拟训练

4．

．

核心考点5分式方程

分式方程是广东省中考的热点,尤其简单，通常考查分式方程的解法,.解决这类问题的关键就是熟练掌握解分式方程的步骤.

【经典示例】解分式方程：

.

答题模板

第一步：

先把分式方程化为整式方程；

第二步：

解整式方程；

第三步：

检验整式方程的根是否为分式方程的解；

第四步：

给出答案

【满分答案】去分母，得

，

去括号，得

，

移项，合并同类项，得

，

化

的系数为1，得

，

经检验，

是原方程的解，

∴原方程的解为

.

【解题技巧】分式方程的一般解法是：

（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母；

（2）解所得的整式方程；

（3）验根：

将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根（增根的判别方法：

i）这个数是化成的整式方程的根；ii）使最简公分母为零），应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．

注意事项：

解分式方程首先是将方程转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．

模拟训练

5．解方程：

．

1．（2018•广州）解不等式组：

．

2．（2018•上海）解不等式组：

，并把解集在数轴上表示出来．

3．（2018•广州）解不等式组：

．

4．（2018•台州）解不等式组：

．

5．（2017•淄博）解不等式：

．

6．（2018•湘西州）解方程组：

．

7．（2018•福建）解方程组：

．

8．（2018•宿迁）解方程组：

．

9．（2018•武汉）解方程组：

．

10．（2017•桂林）解二元一次方程组：

．

11．（2018•济南）解不等式组：

．

12．（2018•大连）解不等式组：

．

13．（2018•乐山）解不等式组：

．

14．（2018•宁夏）解不等式组：

．

15．（2018•无锡）解方程（组）：

（1）

3；

（2）

．