届高三数学大一轮复习不等式选讲学案理新人教A版.docx
- 文档编号:899721
- 上传时间:2022-10-13
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:125.30KB
届高三数学大一轮复习不等式选讲学案理新人教A版.docx
《届高三数学大一轮复习不等式选讲学案理新人教A版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《届高三数学大一轮复习不等式选讲学案理新人教A版.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
届高三数学大一轮复习不等式选讲学案理新人教A版
学案76 不等式选讲
(一)绝对值不等式
导学目标:
1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:
(1)|a+b|≤|a|+|b|,
(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.
自主梳理
1.含________________的不等式叫做绝对值不等式.
2.解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号,基本方法有如下几种:
(1)分段讨论:
根据|f(x)|=去掉绝对值符号.
(2)利用等价不等式:
|f(x)|≤g(x)⇔-g(x)≤f(x)≤g(x);
|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≤-g(x)或f(x)≥g(x).
(3)两端同时平方:
即运用移项法则,使不等式两边都变为非负数,再平方,从而去掉绝对值符号.
3.形如|x-a|+|x-b|≥c(a≠b)与|x-a|+|x-b|≤c(a≠b)的绝对值不等式的解法主要有三种:
(1)运用绝对值的几何意义;
(2)____________________;
(3)构造分段函数,结合函数图象求解.
4.
(1)定理:
如果a,b,c是实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当____________时,等号成立.
(2)重要绝对值不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
使用时(特别是求最值时)要注意等号成立的条件,即
|a+b|=|a|+|b|⇔ab≥0;
|a-b|=|a|+|b|⇔ab≤0;
|a|-|b|=|a+b|⇔b(a+b)≤0;
|a|-|b|=|a-b|⇔b(a-b)≥0;
注:
|a|-|b|=|a+b|⇔|a|=|a+b|+|b|⇔|(a+b)-b|=|a+b|+|b|⇔b(a+b)≤0.
同理可得|a|-|b|=|a-b|⇔b(a-b)≥0.
自我检测
1.(2010·江西)不等式>的解集是( )
A.(0,2)B.(-∞,0)
C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(0,+∞)
2.(2011·天津)已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B={x∈R|x=4t+-6,t∈(0,+∞)},则集合A∩B=________.
3.(2011·潍坊模拟)已知不等式|x+2|+|x-3|≤a的解集不是空集,则实数a的取值范围是( )
A.a<5B.a≤5
C.a>5D.a≥5
4.若不等式|x+1|+|x-2| 5.(2009·福建)解不等式|2x-1|<|x|+1. 探究点一 解绝对值不等式 例1解下列不等式: (1)1<|x-2|≤3; (2)|2x+5|>7+x; (3)|x-1|+|2x+1|<2. 变式迁移1(2011·江苏)解不等式x+|2x-1|<3. 探究点二 绝对值不等式的恒成立问题 例2 (2011·商丘模拟)已知不等式|x+2|-|x+3|>m. (1)若不等式有解; (2)若不等式解集为R; (3)若不等式解集为∅. 分别求出实数m的取值范围. 变式迁移2 设函数f(x)=|x-1|+|x-2|,若f(x)>a对x∈R恒成立,求实数a的取值范围. 探究点三 绝对值三角不等式定理的应用 例3 “|x-A|<,且|y-A|<”是“|x-y|<ε”(x,y,A,ε∈R)的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 变式迁移3 (1)求函数y=|x+2|-|x-2|的最大值; (2)求函数y=|x-3|+|x+2|的最小值. 转化与化归思想的应用 例 (10分)设a∈R,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1), (1)若|a|≤1,求证: |f(x)|≤; (2)求a的值,使函数f(x)有最大值. 多角度审题 第 (1)问|f(x)|≤⇔-≤f(x)≤,因此证明方法有两种,一是利用放缩法直接证出|f(x)|≤;二是证明-≤f(x)≤亦可.第 (2)问实质上是已知f(x)的最大值为,求a的值.由于x∈[-1,1],f(x)是关于x的二次函数,那么就需判断对称轴对应的x值在不在区间[-1,1]上. 【答题模板】 证明 (1)方法一 ∵-1≤x≤1,∴|x|≤1.又∵|a|≤1, ∴|f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-|x|2+|x| =-2+≤.[3分] ∴若|a|≤1,则|f(x)|≤.[5分] 方法二 设g(a)=f(x)=ax2+x-a=(x2-1)a+x. ∵-1≤x≤1, ∴当x=±1, 即x2-1=0时,|f(x)|=|g(a)|=1≤;[1分] 当-1 ∵|a|≤1,∴-1≤a≤1,∴g(a)max=g(-1)=-x2+x+1=-2+;[3分] g(a)min=g (1)=x2+x-1=2-.[4分] ∴|f(x)|=|g(a)|≤.[5分] (2)当a=0时,f(x)=x,当-1≤x≤1时,f(x)的最大值为f (1)=1,不满足题设条件, ∴a≠0.[6分] 又f (1)=a+1-a=1,f(-1)=a-1-a=-1. 故f (1)和f(-1)均不是最大值,[7分] ∴f(x)的最大值应在其对称轴上的顶点位置取得, ∴命题等价于,[9分] 解得, ∴a=-2.即当a=-2时,函数f(x)有最大值.[10分] 【突破思维障碍】 由于|a|≤1,f(x)的表达式中有两项含有a,要想利用条件|a|≤1,必须合并含a的项,从而找到解题思路;另外,由于x的最高次数为2,而a的最高次数为1,把ax2+x-a看作关于a的函数更简单,这两种方法中,对a的合并都是很关键的一步. 【易错点剖析】 在第 (1)问中的方法一中,如果不合并含a的项,就无法正确应用条件|a|≤1,从而导致出错或证不出;方法二也需要先合并含a的项后,才容易把f(x)看作g(a). 解含有绝对值不等式时,去掉绝对值符号的方法主要有: 公式法、分段讨论法、平方法、几何法等.这几种方法应用时各有利弊,在解只含有一个绝对值的不等式时,用公式法较为简便;但是若不等式含有多个绝对值时,则应采用分段讨论法;应用平方法时,要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用.因此,在去绝对值符号时,用何种方法需视具体情况而定. (满分: 75分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.不等式|x2-x|<2的解集为( ) A.(-1,2)B.(-1,1) C.(-2,1)D.(-2,2) 2.(2011·郑州期末)设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是( ) A.|a+b|+|a-b|>2B.|a+b|+|a-b|<2 C.|a+b|+|a-b|=2D.不能比较大小 3.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( ) A.(-∞,-1]∪[4,+∞)B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.[1,2]D.(-∞,1]∪[2,+∞) 4.若不等式|8x+9|<7和不等式ax2+bx>2的解集相等,则实数a、b的值分别为( ) A.a=-8,b=-10B.a=-4,b=-9 C.a=-1,b=9D.a=-1,b=2 5.若关于x的不等式|x-1|+|x-3|≤a2-2a-1在R上的解集为∅,则实数a的取值范围是( ) A.a<-1或a>3B.-1
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 届高三 数学 一轮 复习 不等式 讲学 新人