数学运算的非线性哲学解读简论模拟代数的数系问题.docx
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数学运算的非线性哲学解读简论模拟代数的数系问题
数学运算的非线性哲学解读
说明:
这是我拟在我的第二本书《非线性哲学简介》中发表的一篇文章,供有爱好的朋友参考,欢迎大伙儿批评指正!
谢谢!
在我的《非线性哲学漫谈》一书中,有一篇《“数系”的非线性哲学解读》,本文能够看做是该文的续篇。
朋友:
咱们注意到你在《“数系”的非线性哲学解读》一文中,分析了数系中自正整数显现后显现的数,都是在逆运算中被创建的进程、缘故、和相应的哲学分析。
按咱们的明白得,那篇文章你着重分析的是各类数,这篇文章,你着重要分析是各类运算方式,是如此吗?
商:
是的。
我在那篇文章中说了,数学是个周密的形式逻辑系统,可是作为一门有效的学科,数学无法幸免面临辩证现实。
因此我以为数学进展的全然动力,确实是数学在进展中不断面临的辨证现实,与数学严格遵循的形式逻辑之间的矛盾。
因此咱们能够如此说,周密的形式逻辑是数学的生命,数学进展的进程,确实是不断用周密的形式逻辑,去向理包括辨证矛盾系统的进程,由于形式逻辑不可能解决辨证矛盾,因此数学采纳的是严格概念某公式或定理适用的区域,将系统离散化,把辨证矛盾周密隔离在“不适用、不规那么、奇点……”等区域内而排除,使数学得以在周密遵循形式逻辑的前提下进展下去。
因此,数学是典型的离散结构系统。
可是辩证特点在数系中这些数上的反映,是无法用上述方法隔离和排除的,因为它们是数学的“大体粒子”,因此,辩证矛盾就不可幸免的出此刻这些“大体粒子”中,并在它们的集合——数系中凸显了!
与数系一样,数学的运算方式也是周密遵循形式逻辑的,数学的运算方式,也是在解决数学面临的辩证现实和数学周密遵循的形式逻辑之间的矛盾中,慢慢进展的。
如前面所说,数系中的数,是数学的大体粒子,而数学的运算方式,是用周密的形式逻辑将这些大体粒子精准的组合成系统,并研究这些系统之间的彼此关系或转换规律,以达到运用数学方式解决实际问题的目的。
数与运算方式是同卵孪生兄弟,相互依存,精准对应,一起进展。
从哲学角度来分析一下数学中运算方式的进展进程,有助于咱们从更高的层面、更内在的本质、更完整的视角,来了解和把握数学那个思维工具,关于咱们更好的明白得和把握其他自然科学,有极为重要的意义。
在我眼里,数学从某种程度上讲,确实是其他学科(专门是自然科学)的哲学,关键在于咱们如何去明白得和学习数学。
目前中国教育领域占统治地位的应试教育模式,最全然的问题,确实是犯了方向性的错误——学生学习的目的,应该是正确明白得和把握各类思维工具的内在本质和彼此关系,而不是死记硬背各类定律公式或具体习题的标准答案,下面我会用对数学运算方式的哲学分析,来具体说明那个问题。
朋友:
目前中国社会的各个层次都已经意识到中国教育的应试模式带来的严峻问题,从上到下都在呼吁改变那个现状,可是,由于中国教育的体量太大,应试教育模式延续和进展的时刻太长,不管从空间规模仍是从时刻规模来看,应试教育的问题能够用一个成语来描述——积重难返。
商:
你说得不错。
目前我国从教材、教育模式和考核模式、教师队伍、学校体制、家长意识、学生学习适应……都已经适应了长期占统治地位的应试教育模式,要改变这种现状,确实不是一天两天就能够解决问题的。
从哲学角度看,内因是决定因素,扭转大伙儿的观念、意识、思维模式,是最重要和最有效的切入点。
《非线性哲学漫谈》一书出版后,教育界的朋友们反应超级大,我与他们讨论后,大伙儿一致以为,目前去触动整个教育体系,难度太大,因为这会使咱们马上面临牵涉整个教育系统的复杂问题。
因此当务之急,是先编著一套面向教师和教育系统治理者的辅导教材,让他们先改变观念和思维模式,而不是先去编著一套全新的教材。
朋友:
咱们也感觉那个思路是对的,事实上只要教育工作治理者和教师的观念和思维模式回归到正确的道路上来,即便还在沿用原先的教材,教育的方式和成效也能取得专门大的改变。
商:
是的。
下面我就开始对数学的运算方式进行分析。
人类在创建数的大体概念后,事实上运算方式就同步产生了,有两个事实能证明我的那个观点。
第一个事实确实是咱们用于计数的“进制”。
尽管人类在最初创建数的时候,数的“进制”并非统一,不同的国家或同一个国家在不同的历史时期,乃至同一个国家在同一个历史时期,采纳的数的进制并非一样,可是有一点是一起的,那确实是用有限的数字,来表达无穷的数,因此数字系统都有“进制”的规定。
以中国为例,在很长的历史时期,十进制和十六进制的数系,都流行过,而且这两种进制是并行流行的,只是在不同的有效领域所别离采纳罢了。
事实上“进制”本身确实是一种运算方式,用数学的观点来看,“进制”确实是一种指数运算的特例,譬如十进制的逢十进一名,确实是将处于低位的1乘以10以后,进入高位,一样是1那个数字,随着它出此刻不同的位置,它的位置数,确实是乘以10的个数。
用非线性哲学的观点来看数的进制,它确实是分形系统,我来具体说明一下:
咱们用0到9的十个数字,来表达一切数。
同一个数字处在一个数的不同的位置,表示不同的数值,可是那个数字本身并非因为代表的数值不同而有所改变,也不因所在位置的不同而有所改变,因此数字具有自相似性和标度不变性的。
譬如111那个数,每一名的数字是一样的,可是它们表征的数值是不一样的;在123123那个数中,前三位的数字和排序和后面三位的数字和排序是一样的,可是它们的数值相差了1000倍,也确实是10的三次方(因为它们相差了三位),若是咱们在那个地址借用“维度”的概念,咱们能够说它们相差了3维,因为在数学运算中,两数相乘具有一维扩展成两维的含义(十进制的一维确实是10),譬如,10x10能够表达边长为10的正方形的面积,是两维的;10的三次方确实是那个正方体的体积,是三维的……
只是咱们在数值的计算中,忽略了维度的空间概念,因此,咱们用一维的直线(实数轴),来“摊直”所有的维度,形成一种只有数值大小含义的“数学维度”,也确实是把所有的维度都用一根直线上有严格顺序的尺度来表达了,一个数每扩大10倍,确实是增加了一个维度,在数轴上的表示,确实是代表该数的点与原点的距离,增加了一个相应的长度。
有趣的是,数轴上表示数值的刻度是均匀的,线性散布的,可是表示维度的长度却是非线性的,不均匀散布的。
譬如,10是数学维1维,100是数学维2维,1000是数学维3维。
若是咱们在数轴上用距离原点1cm的点表示10,那么,表示2维100的点,与原点的距离不是2cm,而是10cm;而表示3维1000的点,与原点的距离不是3cm,而是100cm……显然,在数轴上每扩展一维,随之而扩展的长度不是线性增加的,而是不均匀的,非线性的。
从那个角度看,实数轴上有无数的数学维度,同一个数字在不同的数学维度中,代表的数值是不同的,因此咱们完全能够用数字的组合加上该数的数学维度表达式,来表示一切数,“科学计数法”确实是如此的一种数值表达方式,也确实是任何数都用不大于10的小数再乘以10的指数的形式来表达,这种表达方式之因此被称为“科学计数法“,因为在科学研究中,常常可能显现位数很多的数,用科学计数法来书写这些数,咱们很容易一眼就看出两个数的大小,和它们相差多少数量级,而无需去数它们的位数。
因此,在科学计数法中,小数后面所乘的那个10的指数,确实是那个数在十进制计数法中的数学维度数。
这种计数法事实上就在告知咱们,任何数其实都只是不大于10的小数的各类分形系统,它们的不同只是在于它们的“数学维度”不同(也确实是后面乘以10的几回方)罢了。
事实上咱们还能够用0—1之间的小数乘以10的指数来表达一切数,因此从那个角度讲,数学运算所涉及的全数数,其实确实是0—1之间的小数在不同数学维度中的各类分形系统。
此刻咱们再来看看大伙儿所熟悉的无穷循环小数,这更是个极好的分形的例子,其中循环小数的循环节,显现了分形的自相似性和标度不变性。
也确实是不管你把那个循环小数写到多少位,那个循环节的数字和这些数字的排序都是不变的;不管那个循环节处在该数的什么位置,表征的数值是多小,循环节的精细结构不变,只是处在不同位置的循环节代表了不同的数值、显现了不同的“数学维度”。
因此,咱们计数用的进制,事实上确实是一种数学的指数运算方式。
第二个事实,确实是数字被创建的同时,人类就学会了数数,1-9的数字,其实确实是咱们给1的不同连加次数的和所取的“名字”,2确实是1+1的和;3确实是3个1连加的和;9确实是9个1连加的和。
因此数数确实是最原始的加法运算,1-9的数字,实际上是9个不同的和的名称,也确实是1做不同次数连加后,取得的不同的和的名称。
只有二进制,才是真正的只用到0和1两个数字的。
朋友:
被你这么一说,认真想一想,还真的确实是这么回事啊!
很奇怪,咱们怎么就没有想到这一点呢?
商:
哈哈哈哈,这确实是思维模式的不同啊!
由于真实世界是辨证的,因此随着加法运算的显现,加法运算的逆运算——减法专门快应运而生了。
若是减法只是严格对应加法的逆运算,是可不能显现负数的。
可是形式逻辑系统是线性系统,线性系统是按直线式进展的,一旦一种运算方式产生,这种运算方式的应用,就不局限在产生这种运算方式的原始状况(后面讲到的除法也是如此),因此随着减法那个运算方式的显现,当被减数小于减数时,显现负数是必然的。
从数学的角度看,显现负数与减法那个运算方式所遵循的形式逻辑不矛盾,只是这种减法运算的结果超过了正数的范围,于是数系就扩大了范围,承认了负数存在的合理性和必要性,数轴就随着负数的显现,显现了0左侧的一端。
那个例子进一步说明了数系与数学运算方式是同步进展的。
朋友:
你在上一本书中说过,减法和负数的显现,使得数系中的数开始显现辩证特点,因为加上一个负数,等于减去一个正数,而减去一个负数,等于加上一个正数,也确实是负负得正(否定之否定)。
商:
是的,你说的不错,减法尽管是作为加法的逆运算而显现的,可是减法那个运算方式被确认以后,没有规定减法只能用在加法的逆运算上,因此,当人们用一个小的数去减掉一个大的数的时候,就发觉只有在数系中增加负数,减法运算才能在任何情形下都能够利用。
从哲学角度看,这是因为加法和减法的关系是互为逆运算的关系,正与逆是辨证的统一,具有辩证逻辑的特点,因此减法产生负数和显现辩证特点是很正常的。
咱们再来看看乘法运算显现的意义。
乘法是作为加法中的一种特殊情形的简便算法而显现的,也确实是当几个加数都相同的情形下,能够用乘法运算代替加法运算。
朋友:
你说的不错,只是事实上这种简便运算只是形式上的简便,九九乘法表是要靠每一个人去硬背的,若是背不出来,就只能一个一个的去加。
商:
你说的不错,可是咱们只要把乘法表背熟以后,再利用乘法的运算法那么,在做多位数相乘时,就简便了许多。
不然要你做一道123X123的题目,不把你累死?
朋友:
哈哈哈,你说的也是啊!
商:
事实上乘法运算被发明的意义还不仅在于此,我在上一本书中已经提到:
乘法运算本身就带有了辨证的特点,其一是“负负得正”——“否定之否定”规律;其二是两个数字量(标量)相乘时,能够被别离概念为两个正交坐标轴上的矢量(长与宽),这就使得乘法运算在进行数值计算的同时,增加了维度,也包括了辨证矛盾;其三是“0的双重身份”,0在与其他数字一路显现时,是个数值等于0的数;可是0在单独显现时,逻辑含义确实是绝对的“无”,任何数乘以0都等于0,这种至高无上的绝对性,使得0的乘法的逆运算结果失去了唯一性和精准性,变得没成心义(0除任何数都为0,任何数都不能除0)。
除此之外,乘法运算在逻辑上还有“与”的意思……
朋友:
且慢!
咱们不太了解与逻辑运算有关的知识,你能不能先介绍一下?
商:
好的。
逻辑运算又被称为布尔运算,是用英国数学家布尔的名字命名的一门学科。
布尔是世界上第一个用数学方式研究逻辑问题的数学家,并成功地将那个方法进展成一门全新的数学学科。
布尔用符号表示逻辑关系,就像用数字表示数值一样;用等式表示判定,把逻辑推理和判定的结果,变成符号的运算进程或等式的变换。
这种判定(运算)和变换的有效性不依托人们对符号的说明,只依托于符号的组合规律和运算法那么,并形成了与其他数学相容的体系,那个体系就被称为布尔代数。
20世纪30年代,逻辑代数第一在电路系统的设计上发挥了专门大的作用,极大的简化和减轻了电路设计者的工作,提高了准确性,随着电子技术与运算机技术的告知进展,尽管电路的设计慢慢进展成各类极为复杂的大系统,可是这些电路中对逻辑的判定和推理,却始终遵守布尔所揭露的规律。
1935年,.斯通第一发觉布尔代数与集合中的环之间有明确的联系,任意一个布尔代数必然同构于某个集上的一个集域;任意一个布尔代数也必然同构于某个拓扑空间的闭开代数等,这使得布尔代数在理论上和应用上都有了专门大的进展,使得布尔代数在代数学(代数结构)、逻辑演算、、拓扑空间理论、测度论、、泛函分析等数学分支中均开始有了应用。
与数学一样,布尔代数也是严格遵循形式逻辑的系统,也是离散结构系统。
布尔代数研究的不是数值的运算,而是逻辑的运算。
在布尔代数中,只有两个数字——0与1,它们不代表数值,而是代表逻辑的值,逻辑只能取两个值,取0代表假,取1代表真。
布尔代数中的大体逻辑关系只有三个——或、与、非。
“非”的逻辑含义比较容易明白得,确实是“反相”、倒过来的意思,譬如,A=1,非A就等于0,一样,A=0,那么非A等于1。
“或”用数学符号“+”来表示;“与”用数学符号“x”来表示。
“或”和“与”的逻辑含义我用下面的图来讲明:
上图中,A、B、C是三个开关,D是一个灯泡,咱们把开关接通设定为1,开关不通设定为0;把电路接通灯泡点亮的结果,设定为D等于1;把电路不通灯泡不亮,设定为D等于0。
于是,依照上面那个图所示的电路,咱们列出以下的等式:
D=A+B+C
也确实是说,ABC中只要有一个开关接通(等于1),灯泡就被点亮(D=1);只有当ABC三个开关都没有被接通(都等于0),灯泡才不能被点亮(D=0)。
对上式进行布尔代数运算,也清楚的表达了那个判定,也确实是ABC中只要有任何一个为1,那么三者相加的结果必然是1;只有ABC三者都为0,三者相加的结果才会等于0。
朋友:
等一下!
若是ABC都为1,三者相加不是等于3么?
商:
啊,抱歉,我忘了说明一下,在布尔代数中,
1+1=1,
1+0=1,
0+0=0;
1x1=1,
1x0=0,
0x0=0
因为布尔代数研究的不是数值,而是逻辑关系。
朋友:
很奇怪啊,有点不适应!
商:
不要着急,咱们慢慢来。
下面再看电路的另一种连接方式:
依照上图所示的电路,咱们列出以劣等式:
D=AxBxC
也确实是说,只有当ABC三个开关都被接通,也确实是ABC三者都为1的情形下,灯泡才会被点亮,D=1;只要有一个开关没有接通,ABC中就有一个等于0,三个量相乘的结果就等于0,也确实是D等于0,灯泡就可不能被点亮。
只有ABC三者都为1,三者相乘的结果才会等于1。
此刻咱们来小结一下:
“或”的含义确实是“或”的意思,几个相互处于“或”的逻辑关系的项中,只要有一个为“真”,结果就为“真”。
“与”的含义确实是“必需”的意思,几个相互处于“与”的逻辑关系的项中,必需全数为“真”,结果才会为“真”。
朋友:
第一次接触布尔代数,感觉有点别扭,可是已经大体明白得了你说的意思。
只是咱们不太明白布尔代数有什么用呢?
商:
不要着急。
咱们先来看看这两种不同连接方式的电路各自适用在什么场合。
你能说说吗?
朋友:
能够啊,前面的那个电路咱们叫做并联电路,此刻家里的家用电器用的都是这种连接方式;在一些公共通道,为了省电,此刻都会用一种声控开关,在有人通过时再接通照明灯,若是那个公共通道有几个出入口,安装在这几个出入口的声控开关确实是并联的,任何一个出入口有人走动,灯就会被点亮。
后面那个电路咱们叫做串联电路,这种电路一样用在操纵系统中,譬如,需要几个独立的具有操纵权的人同时做出确认的决定,电路才有效启动的系统。
比较容易明白得的例子确实是“火箭”的发射,因为火箭可否正常发射取决于很多预备工作可否正常完成,这些预备工作本身极可能都是独立的,别离由不同的部门负责操作和监视,只有当这些部门都对自己的预备工作确认(按下接通的开关),发射总负责的按钮按下去才有效,只要有一个部门感觉自己负责的部份有点问题,不敢确认,整个启动电路是无法接通的。
因此并联电路具有“一票确信就有效、所有的票否定才可否定”的意思;而串联电路具有“一票就可否决、所有的票都确信才能确信”的意思。
商:
你说的专门好啊!
咱们不妨再进一步分析一下,在并联电路中,就电路的接通来讲,这些开关之间相对都是独立的,不管其他开关处在什么状态,任何一个开关的接通都能保证电路的接通。
可是就电路的关断来讲,这些开关之间又是相互紧密联系的,只有所有开关都不通,才能保证电路不通。
而串联电路恰恰相反,就电路的接通来讲,这些开关之间是紧密联系的,必需大伙儿都接通,电路才能接通,有一个人否定,电路就不通。
就电路的不通来讲,这些开关之间都是相互独立的,不管别的开关处在什么状态,任何一个开关不通,电路就不通了。
因此在布尔代数中,彼此之间处于“或”的逻辑关系的项,在确信系统为“真(相当于电路接通、系统的逻辑值等于1)”的时候,这些项彼此之间是独立的关系,任何一个项都有独立的、不受干扰的有效确信权;在确信系统为“假(相当于电路不通、系统的逻辑值等于0)的时候,这些项彼此之间有紧密的联系,必需所有的项都取0,系统才会为“假”。
与此相反,在布尔代数中,彼此之间处于“与”的逻辑关系的项,在确信系统为“真(相当于电路接通、系统的逻辑值等于1)”的时候,这些项彼此之间是紧密联系的关系,只有所有的项都取1,系统才为“真”;而在确信系统为“假(相当于电路不通、系统的逻辑值等于0)的时候,这些项彼此之间是独立的,任何一个项取0,系统必为“假”。
朋友:
你说的这些内容还真有点“弄脑筋”啊!
可是,确实让咱们看到了这两种逻辑关系之间的区别和联系,“或”和“与”的含义,在确信与否定的判定上,是一种相反的对称的关系。
对确信而言,“或”有一票决定权;对否定而言,“与”有一票否定权。
商:
你说得不错。
此刻我问你一个有趣的问题,咱们今天在那个地址讨论的话题是数学的算法问题,既然“或”用的是“+”号,“与”用的是“x”号,那么这种逻辑关系在加法和乘法上是不是也有所表现呢?
朋友:
哈哈哈哈,那个问题咱们从来没有想过,可是确实很有趣啊!
让我考虑一下……
看来,加法也确实有“或”的意思!
譬如,在一个连加的式子中,只要有一个项不为0,和就不为0……
商:
……打断了他……老兄那个说法有漏洞啊!
因为数学是研究数量转变的学科,数学运算不是逻辑运算,因此在加法中若是有两个项,它们都不为0,可是二者的绝对值相等,一正一负,二者的和就为0啊!
朋友:
啊、啊……你说的对!
我修正一下自己的说法,在加法运算中,只要有一个项不为0,那个项就能够有效的参与运算。
如此修正以后就没有问题了吧?
商:
哈哈哈哈,看来修正主义并非应该被绝对否定啊!
修正错误确实是不是定之否定……
朋友:
老兄真是对辩证唯物主义情有独钟啊!
一有机遇就用辩证唯物主义观点来讲明问题!
商:
我早说了,辨证唯物主义有局限性,不等于它不行用,就像欧氏几何一样,尽管有局限性,可是在日常生活和工作中,咱们用得最多的仍是它啊!
朋友:
明白了。
咱们仍是继续讨论数学运算中的加法和乘法的逻辑含义。
用如此的观点来看乘法,咱们就能够够说,在几个用乘法连接的项中,任何一个项对那个乘法的结果都有“一票否定权”——只要该项为0,其他项不管是个多大的数,结果也必然是0。
因此,用乘法连接的项要能有效的参与运算,前提确实是所有这些项都不为0!
商:
是的,你的那个说法很对。
明白那个道理,关于小孩用数学作为工具去明白得和证明其他学科的理论,是超级成心义的。
朋友:
是啊!
你今天这么一分析,解决了我的一个疑问!
上次我在陪孙子温习迎考的时候,他突然问了我一个问题:
咱们在数学上用乘法计算4x3的时候,乘法的意义是求4连加3次的和;在几何上求一个长为4宽为3的矩形面积时,也要计算4x3,由于那个矩形中的一个单位面积确实是1x1的小正方形,因此计算矩形的面积确实是计算每排4个单位小正方形,共计三排如此的小正方形的总的个数,也是4连加3次的和;在物理学上明白速度和时刻,求以4米/秒的速度做匀速直线运动的物体在3秒钟内移动的距离,也要计算4x3,也确实是每秒钟物体的位移是4米,求3个4米连加的和是多少。
问题是:
在物理学上求物体的势能时,在E(势能)=mgh的公式中,m、g、h之间没有什么关系,乘法在那个地址的意义是什么呢?
这三个量之间什么缘故是相乘的关系呢?
还有,点电荷在电场中受到的力f=eq。
那个地址的乘法又是什么意思呢?
总不见得说成f是q个e的连加吧?
我那时也感觉很难向他说明那个问题,此刻我感觉第一个问题好说明了,乘法在逻辑上有“与”的意义,也确实是势能E的概念,是mgh三个因素整合而产生的,三者缺一不可。
可是第二个问题如何说明呢?
商:
不要急,第二个问题等咱们说到除法运算的意义时再说明。
仍是先讲乘法的逻辑意义。
你对第一个问题的明白得很对,物理概念的创建,源于咱们认知世界的需要,那个概念是人造的;而数学,是物理学最重要的工具,可是很多人只看到数学在“数值计算”上的功能,没有看到数学在逻辑运用上的功能。
你说的那个例子确实是一个典型的例子,当咱们在物理学上设定了势能那个概念后,依照咱们对势能的概念,这三个相关的量之间是“与”的逻辑关系,因此不能用加号把它们连接起来,要用乘号把它们连接起来——势能公式确实是如此产生的。
我后面会用更多的例子来讲明那个道理。
此刻咱们来分析除法运算。
除法是乘法的逆运算,除法被创建的时候,确实是用来对乘法产生的积进行逆运算,以求出因数的。
与减法一样,除法运算一旦确立,这种运算方式的应用,就不局限在产生这种运算方式的原始状况,因此,不是只有乘法产生的积才能够去除因数,也能够用一个因数除另外一个因数,于是,除法运算就产生了另外一个极为重要的功能——求比例……
朋友:
我明白了。
譬如,矩形的长乘以宽等于面积,面积除以长等于宽,面积除以宽等于长;而长除以宽确实是求长与宽的比例……
商:
是的,比例那个参数是超级有效的,若是两个矩形的长与宽的比例相同,那么它们确实是相似形;一样道理,若是两个三角形三条边对边的比例相同,它们确实是相似三角形……
朋友:
是啊,在物理学上,压强确实是压力与面积的比例、加速度确实是力与质量的比例、而前面提到的电场强度,确实是电场力与电荷的比例,因此
,因此
事实上确实是除法运算的逆运算,也是明白两个因素的比例和其中一个因素,求另一个因素的通用方法。
商:
是的,若是教师在教学生学习物理知识时,告知他们所用公式的内在含义,关于他们明白得物理概念的内涵和不同物理概念之间的内在关系,是超级有效的。
下面咱们继续讨论除法运算的求二者之间比例关系的概念……
比例那个概念显现后,还进展出很多相关的其他概念和应用。
譬如,对静态比例的描述,就进展出了比例中项、倒数;而动态的比例概念的进展,就产生了各类各样的转变率……
朋友:
我明白了,数学的进展来源于实际的需求,数学进展的结果又推动了其他学科的进展。
商:
是的。
数学本身是高度抽象的,可是数学原理和数学功效,与现实生活却有密不可分的联系,这就像哲学一样。
朋友:
你能用咱们正在讨论的“比例”来举个例子具体说明你的观点吗?
商:
好的。
就以适才说到的比例中项为例,你明白什么是比例中项吗?
朋友:
明白啊。
若是a:
b=b:
c,咱们就把b称为a与c的比例中项。
商:
你能说说比例中项与现实生活的联系吗?
朋友:
我要想一下,尽管我确信它们有联系,可是仿佛这种联系不太多……
商:
哈哈哈哈,若是我问你,黄金分割与生活的联系多不多呢?
朋友:
黄金分割与生活的联系固然多了……
商:
比例中项确实是黄金分割啊!
当咱们把a看做单位长度的时候,b就等于。
黄金分割、裴波那契数列、等角螺旋(对数螺旋)、自然数e
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