数值计算方法实验jrh.docx

数值计算方法实验jrh.docx

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数值计算方法实验jrh

学院：

自动化学院

班级：

自动化085

姓名：

学号：

2011年3月

一、实验的性质、目的和任务

本实验是与本专业基础课《数值计算方法》相配套的，旨在巩固专业课内容和学生编程的能力。

通过实验加强对数值方法的理解和掌握，编制出适用的程序。

同时，在理论教学的基础上，注意方法处理的技巧及其与计算机的结合，；其次要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题。

要求学生应用高级计算机语言Matlab编程完成实验。

二、实验基本要求

要求熟悉高级计算机语言Matlab，以及相关上机操作说明；上机时要遵守实验室的规章制度，爱护实验设备；记录调试过程及结果。

三、实验原理

应用高级计算机语言实现数值计算方法课程中的各种算法。

四、设备及器材配置

主机：

微机

操作系统：

WINDOWS98以上

软件：

高级计算机语言Matlab

五、考核与报告

每个实验完成后交一份实验报告。

本实验作为平时成绩的一部分占学期期末总成绩的20%。

六、适用对象

自动化专业

七、主要参考书

1.王能超编，《数值分析简明教程》，高等教育出版社，2003年，第2版

2.封建湖编，《数值分析原理》，科学出版社，2001年，第1版

3.冯有前编，《数值分析》，清华大学出版社，2005年，第1版

4.周璐等译，JohnH.Mathews等编，《数值方法（MATLAB版）》，电子工业出版社，2007年，第二版

实验一采用拉格朗日方法计算插值

一、实验目的：

1.掌握多项式插值的概念、存在唯一性；

2.能够熟练地应用拉格朗日方法计算插值，并完成插值程序的设计和调试。

二、实验内容：

构造拉格朗日插值多项式

逼近

，要求：

（1）取节点

，

求线性插值多项式

；

（2）取节点

，

，

求抛物插值多项式

；

（3）取节点

，

，

，

求三次插值多项式

；

（4）分别求

、

、

的值，并与精确值相比较。

三、实验程序及结果：

实验程序如下：

Ex1_1.m:

l0=xianxing（1.3,-1,1）;

l1=xianxing（1.3,1,-1）;

y0=hanshu（-1）;

y1=hanshu

（1）;

y=l0*y0+l1*y1

det1=abs（y-hanshu（1.3））

Ex1_2.m:

l0=paowu（1.3,-1,0,1）;

l1=paowu（1.3,0,-1,1）;

l2=paowu（1.3,1,-1,0）;

y0=hanshu（-1）;

y1=hanshu（0）;

y2=hanshu

（1）;

y=l0*y0+l1*y1+l2*y2

det2=abs（y-hanshu（1.3））

Ex1_3.m:

l0=sanci（1.3,-1,0,1,2）;

l1=sanci（1.3,0,-1,1,2）;

l2=sanci（1.3,1,0,-1,2）;

l3=sanci（1.3,2,-1,0,1）;

y0=hanshu（-1）;

y1=hanshu（0）;

y2=hanshu

（1）;

y3=hanshu

（2）;

y=l0*y0+l1*y1+l2*y2+l3*y3

det3=abs（y-hanshu（1.3））

xianxing.m:

functionf=xianxing（x,y,z）

f=（x-z）/（y-z）;

paowu.m:

functionf=paowu（x,y,z,w）

f=（（x-z）*（x-w））/（（y-z）*（y-w））;

sanci.m:

functionf=sanci（x,y,z,w,s）

f=（（x-z）*（x-w）*（x-s））/（（y-z）*（y-w）*（y-s））;

hanshu.m:

functionf=hanshu（x）

f=x^3;

实验结果分析：

y=1.3000

det1=0.8970

y=1.3000

det2=0.8970

y=2.1970

det3=4.4409e-016

结果说明三次插值方法得到的结果最接近真实值。

实验二采用埃特金方法计算插值

一、实验目的：

1.进一步掌握多项式插值的概念；

2.能够熟练地应用埃特金方法计算插值，并完成插值程序的设计和调试。

二、实验内容：

设

取节点为

，

，

，

，

，

，

，

，

，用埃特金方法求

的近似值，并与真实结果相比较。

三、实验程序及结果：

实验程序如下：

Ex2.m:

x=[-1,-0.75,-0.5,-0.25,0,0.25,0.5,0.75,1];

fori=2:

9

forj=i:

9

y（j-1,i-1）=atj（0.793,x（i-1）,x（j））;

end

end

y（8,8）

det=abs（y（8,8）-hs（0.793））

hs.m:

functionf=hs（x）

f=2+sin（pi*x/6）;

atj.m:

functionf=atj（x,y,z）

f=（（x-z）/（y-z））*hs（y）+（（x-y）/（z-y））*hs（z）;

实验结果分析：

ans=

2.4029

det=

5.2372e-004

实验结果说明利用埃特金算法得到的结果与真实值很接近，而且利用此迭代算法可以避免拉格朗日插值公式中的重新计算。

实验三采用复化柯特斯公式计算数值积分

一、实验目的：

1.掌握牛顿－柯特斯公式的基本原理及推导，了解复化求积法的计算步骤；

2.能够熟练地应用复化梯形公式、复化新甫生求积公式和复化柯特斯求积公式计算数值积分，并完成积分程序的设计和调试。

二、实验内容：

设

取节点为

，

，

，

，

，

，

，

，

，分别用复化梯形公式、复化新甫生法和复化柯特斯方法求积分

的近似值。

三、实验程序及结果：

实验程序如下：

Ex3.m:

tnf=tx（0,1,8）

snf=xps（0,1,8）

cnf=kts（0,1,8）

hs3.m:

functionf=hs3（x）

f=2+sin（2*pi*sqrt（x）/8）;

tx.m:

functionf=tx（x,y,n）

h=（y-x）/n;

sum=0;

fori=1:

n-1

sum=sum+hs3（x+i*h）;

end

f=h/2*（hs3（x）+2*sum+hs3（y））;

xps.m:

functionf=xps（x,y,n）

h=（y-x）/n;

sum1=0;

sum2=0;

fori=0:

n-1

sum1=sum1+hs3（x+（i+1/2）*h）;

end

forj=1:

n-1

sum2=sum2+hs3（x+j*h）;

end

f=h/6*（hs3（x）+4*sum1+2*sum2+hs3（y））;

kts.m:

functionf=kts（x,y,n）

h=（y-x）/n;

sum1=0;

sum2=0;

sum3=0;

sum4=0;

fori=0:

n-1

sum1=sum1+hs3（x+（i+1/4）*h）;

sum2=sum2+hs3（x+（i+1/2）*h）;

sum3=sum3+hs3（x+（i+3/4）*h）;

end

forj=1:

n-1

sum4=sum4+hs3（x+i*h）;

end

f=h/90*（7*hs3（x）+32*sum1+12*sum2+32*sum3+14*sum4+7*hs3（y））;

实验结果分析：

tnf=

2.4852

snf=

2.4910

cnf=

2.5143

实验四采用四阶龙格－库塔方法求解常微分方程

一、实验目的：

1.掌握龙格－库塔方法的设计思想；

2.能够熟练地应用龙格－库塔方法求解常微分方程，并完成四阶龙格－库塔方法程序的设计和调试。

二、实验内容：

用四阶龙格－库塔方法计算区间

上初值问题

的解。

其中步长

。

三、实验程序及结果：

实验程序如下：

Ex4.m:

y0=0;

y

（1）=lg_kt（y0,0.1）;

fori=2:

14

y（i）=lg_kt（y（i-1）,0.1）;

end

y

lg_kt.m:

functionf=lg_kt（y,h）

k1=hs4（y）;

k2=hs4（y+h/2*k1）;

k3=hs4（y+h/2*k2）;

k4=hs4（y+h*k3）;

f=y+h/6*（k1+2*k2+2*k3+k4）;

hs4.m:

functionf=hs4（x）

f=1+x^2;

实验结果分析：

y=

Columns1through9

0.10030.20270.30930.42280.54630.68410.84231.02961.2602

Columns10through14

1.55741.96472.57213.60165.7920

实验五采用迭代法求解非线性方程

四、实验目的：

1.掌握牛顿法、弦截法、快速弦截法的算法思想；

2.能够熟练地应用牛顿法、弦截法、快速弦截法求解非线性方程，并完成程序的设计和调试。

五、实验内容：

分别用牛顿法、弦截法、快速弦截法求方程

的根，要求精度

。

六、实验程序及结果：

实验程序如下：

Ex5_1:

x

（1）=0;

x

（2）=newton（x

（1））;

i=2;

while（abs（x（i）-x（i-1））>1e-4）

x（i+1）=newton（x（i））;

i=i+1;

end

x

ex5_2:

x0=0;

x

（1）=1;

x

（2）=xjf（x0,x

（1））;

i=2;

while（abs（x（i）-x（i-1））>1e-4）

x（i+1）=xjf（x0,x（i））;

i=i+1;

end

x

ex5_3:

x0=0;

x

（1）=1;

x

（2）=k_xjf（x0,x

（1））;

i=2;

while（abs（x（i）-x（i-1））>1e-4）

x（i+1）=k_xjf（x（i-1）,x（i））;

i=i+1;

end

x

newton.h:

functionf=newton（x）

f=x-（exp（x）-4*cos（x））/（exp（x）+4*sin（x））;

xjf.h:

functionf=xjf（x,y）

f=y-（hs5（y）/（hs5（y）-hs5（x）））*（y-x）;

k_xjf.h:

functionf=k_xjf（x,y）

f=y-（hs5（y）*（y-x））/（hs5（y）-hs5（x））;

hs5.h

functionf=hs5（x）

f=exp（x）-4*cos（x）;

实验结果分析：

牛顿迭代法：

x=

Columns1through9

03.00001.83561.11340.92070.90490.90480.90480.9097

Columns10through18

0.90140.90710.90320.90590.90400.90530.90440.90510.9046

Columns19through23

0.90490.90470.90480.90470.9048

☆实验总结：

通过本次试验，受益匪浅啊！

使得对数值计算的各种方法产生了更为深刻的认知和了解，同时也巩固了过去所学的matlab知识。