中考数学三角函数专题.docx
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中考数学三角函数专题.docx
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中考数学三角函数专题
三角函数1
一.解答题(共10小题)
1.如图:
一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下,汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA=30°和∠DCB=60°,如果斑马线的宽度是AB=3米,驾驶员与车头的距离是0.8米,这时汽车车头与斑马线的距离x是多少?
2.一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示,箱体长AB=50cm,拉杆最大伸长距离BC=35cm,(点A、B、C在同一条直线上),在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A,⊙A与水平地面切于点D,AE∥DN,某一时刻,点B距离水平面38cm,点C距离水平面59cm.
(1)求圆形滚轮的半径AD的长;
(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时,人感觉较为舒服,已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时,点C距离水平地面73.5cm,求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小(精确到1°,参考数据:
sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19).
3.如图,书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣(不计宽度,记为点A)组成,其侧面示意图为△ABC,测得AC⊥BC,AB=5cm,AC=4cm,现为了书写记事方便,须调整台历的摆放,移动点C至C′,当∠C′=30°时,求移动的距离即CC′的长(或用计算器计算,结果取整数,其中=1.732,=4.583)
4.某课桌生产厂家研究发现,倾斜12°~24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势.根据这一研究,厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面.新桌面的设计图如图1,AB可绕点A旋转,在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD,AC=30cm.
(1)如图2,当∠BAC=24°时,CD⊥AB,求支撑臂CD的长;
(2)如图3,当∠BAC=12°时,求AD的长.(结果保留根号)
(参考数据:
sin24°≈0.40,cos24°≈0.91,tan24°≈0.46,sin12°≈0.20)
5.如图1,某超市从底楼到二楼有一自动扶梯,图2是侧面示意图.已知自动扶梯AB的坡度为1:
2.4,AB的长度是13米,MN是二楼楼顶,MN∥PQ,C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点,BC⊥MN,在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°,求二楼的层高BC(精确到0.1米).
(参考数据:
sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)
6.如图1是一把折叠椅子,图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图,其中AD和BC表示两根较粗的钢管,EG表示座板平面,EG和BC相交于点F,MN表示地面所在的直线,EG∥MN,EG距MN的高度为42cm,AB=43cm,CF=42cm,∠DBA=60°,∠DAB=80°.求两根较粗钢管AD和BC的长.(结果精确到0.1cm.参考数据:
sin80°≈0.98,cos80°≈0.17,tan80°≈5.67,sin60°≈0.87,cos60°≈0.5,tan60°≈1.73)
7.某住宅小区的物业管理部门为解决住户停车困难,将一条道路辟为停车场,停车位置如图所示.已知矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位,其中AB=5.4米,BC=2.2米,∠DCF=40°.请计算停车位所占道路的宽度EF(结果精确到0.1米).
参考数据:
sin40°≈0.64cos40°≈0.77tan40°≈0.84.
8.太阳能是可再生的绿色环保能源,太阳能热水器是最常见的一种太阳能应用方式,如图是某地一个屋顶太阳能热水器的安装截面图.房屋的金顶等腰△ABC中,屋面倾角∠B=21.8°,太阳能真空管MN=1.8m,可伸缩支架MA⊥BC,安装要求安装地区的正午太阳光线垂直照射真空管MN.已知该地正午时直立于水平地面的0.8m长测杆影长0.6m,求符合安装要求的支架MA的长度.(参考数据:
tan21.8°=0.4,tan53.13°=,sin53.13°=,tan36.87°=,cos36.87°=)
9.如图是一种躺椅及其简化结构示意图,扶手AB与座板CD都平行于地面,靠背DM与支架OE平行,前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D,AB与DM交于点N,量得∠EOF=90°,∠ODC=30°,ON=40cm,EG=30cm.
(1)求两支架落点E、F之间的距离;
(2)若MN=60cm,求躺椅的高度(点M到地面的距离,结果取整数).
(参考数据:
sin60°=,cos60°=,tan60°=≈1.73,可使用科学计算器)
10.图1是小明利用废弃的钢条焊接成的创意书架,现将其结构简化成图2所示的图形,制作过程为:
首先将两根钢条OA和OB焊接成∠AOB=45°,OB=70cm,BC=EF=HG=IJ=60cm,焊接点E、G、I分别为BC、EF、HG的中点,钢条KL、CD的长均为30cm,所有在点C,E,G,I,K焊接处的相邻两根钢条互相垂直.
(1)求证:
L,J所在直线与直线OA平行;
(2)求书架的高度.(结果保留一位小数,)
三角函数1
参考答案与试题解析
一.解答题(共10小题)
1.如图:
一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下,汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA=30°和∠DCB=60°,如果斑马线的宽度是AB=3米,驾驶员与车头的距离是0.8米,这时汽车车头与斑马线的距离x是多少?
【分析】根据已知角的度数,易求得∠BAC=∠BCA=30°,由此得BC=AB=3米;可在Rt△CBF中,根据BC的长和∠CBF的余弦值求出BF的长,进而由x=BF﹣EF求得汽车车头与斑马线的距离.
【解答】解:
如图:
延长AB.
∵CD∥AB,
∴∠CAB=30°,∠CBF=60°;
∴∠BCA=60°﹣30°=30°,即∠BAC=∠BCA;
∴BC=AB=3米;
Rt△BCF中,BC=3米,∠CBF=60°;
∴BF=BC=1.5米;
故x=BF﹣EF=1.5﹣0.8=0.7米.
答:
这时汽车车头与斑马线的距离x是0.7米.
【点评】本题考查俯角的定义,要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形.
2.一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示,箱体长AB=50cm,拉杆最大伸长距离BC=35cm,(点A、B、C在同一条直线上),在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A,⊙A与水平地面切于点D,AE∥DN,某一时刻,点B距离水平面38cm,点C距离水平面59cm.
(1)求圆形滚轮的半径AD的长;
(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时,人感觉较为舒服,已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时,点C距离水平地面73.5cm,求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小(精确到1°,参考数据:
sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19).
【分析】
(1)作BH⊥AF于点G,交DM于点H,则△ABG∽△ACF,设圆形滚轮的半径AD的长是xcm,根据相似三角形的对应边的比相等,即可列方程求得x的值;
(2)求得CF的长,然后在直角△ACF中,求得sin∠CAF,即可求得角的度数.
【解答】解:
(1)作BH⊥AF于点G,交DM于点H.
则BG∥CF,△ABG∽△ACF.
设圆形滚轮的半径AD的长是xcm.
则=,即=,
解得:
x=8.
则圆形滚轮的半径AD的长是8cm;
(2)CF=73.5﹣8=65.5(m).
则sin∠CAF==≈0.77,
则∠CAF=50°.
【点评】此题考查了三角函数的基本概念,主要是正弦概念及运算,关键把实际问题转化为数学问题加以计算.
3.如图,书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣(不计宽度,记为点A)组成,其侧面示意图为△ABC,测得AC⊥BC,AB=5cm,AC=4cm,现为了书写记事方便,须调整台历的摆放,移动点C至C′,当∠C′=30°时,求移动的距离即CC′的长(或用计算器计算,结果取整数,其中=1.732,=4.583)
【分析】过点A′作A′D⊥BC′,垂足为D,先在△ABC中,由勾股定理求出BC=3cm,再解Rt△A′DC′,得出A′D=2cm,C′D=2cm,在Rt△A′DB中,由勾股定理求出BD=cm,然后根据CC′=C′D+BD﹣BC,将数据代入,即可求出CC′的长.
【解答】解:
过点A′作A′D⊥BC′,垂足为D.
在△ABC中,∵AC⊥BC,AB=5cm,AC=4cm,
∴BC=3cm.
当动点C移动至C′时,A′C′=AC=4cm.
在△A′DC′中,∵∠C′=30°,∠A′DC′=90°,
∴A′D=A′C′=2cm,C′D=A′D=2cm.
在△A′DB中,∵∠A′DB=90°,A′B=5cm,A′D=2cm,
∴BD==cm,
∴CC′=C′D+BD﹣BC=2+﹣3,
∵=1.732,=4.583,
∴CC′=2×1.732+4.583﹣3≈5.
故移动的距离即CC′的长约为5cm.
【点评】此题考查了解直角三角形的应用,难度适中,关键是把实际问题转化为数学问题加以计算.
4.某课桌生产厂家研究发现,倾斜12°~24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势.根据这一研究,厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面.新桌面的设计图如图1,AB可绕点A旋转,在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD,AC=30cm.
(1)如图2,当∠BAC=24°时,CD⊥AB,求支撑臂CD的长;
(2)如图3,当∠BAC=12°时,求AD的长.(结果保留根号)
(参考数据:
sin24°≈0.40,cos24°≈0.91,tan24°≈0.46,sin12°≈0.20)
【分析】
(1)利用锐角三角函数关系得出sin24°=,进而求出即可;
(2)利用锐角三角函数关系得出sin12°=,进而求出DE,AE的长,即可得出AD的长.
【解答】解:
(1)∵∠BAC=24°,CD⊥AB,
∴sin24°=,
∴CD=ACsin24°=30×0.40=12cm;
∴支撑臂CD的长为12cm;
(2)过点C作CE⊥AB,于点E,
当∠BAC=12°时,
∴sin12°==,
∴CE=30×0.20=6cm,
∵CD=12,
∴DE=,
∴AE==12cm,
∴AD的长为(12+6)cm或(12﹣6)cm.
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,熟练利用三角函数关系是解题关键.
5.如图1,某超市从底楼到二楼有一自动扶梯,图2是侧面示意图.已知自动扶梯AB的坡度为1:
2.4,AB的长度是13米,MN是二楼楼顶,MN∥PQ,C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点,BC⊥MN,在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°,求二楼的层高BC(精确到0.1米).
(参考数据:
sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)
【分析】延长CB交PQ于点D,根据坡度的定义即可求得BD的长,然后在直角△CDA中利用三角函数即可求得CD的长,则BC即可得到.
【解答】解:
延长CB交PQ于点D.
∵MN∥PQ,BC⊥MN,
∴BC⊥PQ.
∵自动扶梯AB的坡度为1:
2.4,
∴.
设BD=5k米,AD=12k米,则AB=13k米.
∵AB=13米,
∴k=1,
∴BD=5米,AD=12米.
在Rt△CDA中,∠CDA=90゜,∠CAD=42°,
∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8米,
∴BC≈5.8米.
答:
二楼的层高BC约为5.8米.
【点评】本题考查仰角和坡度的定义,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.
6.如图1是一把折叠椅子,图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图,其中AD和BC
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