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中考数学创新题
折叠剪切问题
折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题,学牛应充分理解操作要求方可解答出此类问题.
1.折叠后求度数
【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC、BD为折痕,则ZCBD的度数为()
A.60°B.75°C.90°D.95°
答案:
C
[2]如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D‘、Cz的位置,若ZEFB
=65°,则ZAED'等于()
A.50°B.55°C.60°D.65°
答案:
A
[3]
用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图
(1)所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图
(2)所示的正五边形ABCDE,其中ZBAC=度.
第3题图
答案:
36°
2.折叠后求面积
[4]如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠,使AD边落在AB边上,折痕为
AE,再将AAED以DE为折痕向右折叡AE与BC交于点F,则ACEF的而积为()
A.4B.6C.8D.10
答案:
c
[5]
如图,正方形硬纸片ABCD的边长是4,点E、F分别是AB、BC的中点,若沿左图中的虚线剪开,拼成如下右图的一座“小别墅”,则图中阴影部分的面积是
第5题图
答案:
B
【6】如图a,ABCD是一•矩形纸片,AB=6cm,AD=8cm,E是AD上一点,且AE=6cm。
操作:
(1)将AB向AE折过去,使AB与AE重合,得折痕AF,如图b;
(2)将Z\AFB以BF为折痕向右折过去,得图c。
则AGFC的面积是()
(2)
第6题图
A.1cm2B.2cm2C.3cm2D.4cm2
答案:
B
3.折叠后求长度
[7]
ill图,已知边长为5的等边三角形ABC纸片,点E在AC边上,点F在AB边上,沿著EF折叠,使点A落在BC边上的点D的位置,且EQ丄BC,则CE的长是()
(A)IOa/3-15
(C)5a/3-5
答案:
D
4.折叠后得图形
[8]
将一张矩形纸对折再对折(如图),然后沿着图小的虚线剪下,得到①、②两部分,将①展开后得到的平面图形是()
第•题图
A.矩形B.三角形C.梯形D.菱形
答案:
D
[9]
在下列图形中,沿着虚线将长方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形乂能拼成三角形和梯形的是(
第9题图
答案:
D
[10]小强拿了张正方形的纸如图
(1),沿虚线对折一次如图
(2),再对折一次得图(3),
然后川剪刀沿图(3)中的虚线(虚线与底边平行)剪去一个角,再打开后的形状应是
[11]
【11】如图,把矩形ABCD对折,折痕为MN(图甲),再把B点蒂在折痕MX上的3’处。
得
到RtAAB^E(图乙),再延长交AD于F,所得到的AE4F是()
图甲图乙
第11题图
A.等腰三角形
C.等腰直角三角形答案:
B
B.等边三角形
D.直角三角形
【12】将一鬪形纸片对折后再对折,得到图1,然后沿着图中的虚线剪开,得到两部分,其中一部分展开后的平面图形是()
答案:
180
【16】如图,把Z\ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,则ZA与Z1+Z2之间有一种数蜃关系始终保持不变,请试着找一找这个规律,你发现的规律是()
B.2ZA=Z1+Z2
A.ZA=Z1+Z2
C.3ZA=2Z1+Z2D.3ZA=2(Z1+Z2)
答案:
B
[17]从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1),然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2),上述操作所能验证的等式是()
A.a2-b2=(a+b)(a一b)B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.a2+ab=a(a+b)
答案:
A
[18]如图,一张矩形报纸ABCD的长AB=acm,宽BC=bcm,E、F分别是AB、CD的中点,将这张报纸沿着直线EF对折后,矩形AEFD的长与宽Z比等于矩形ABCD的长与宽之比,则a:
b等于().
A.V2:
1B.1:
V2C.V3:
1D.1:
V3
六.折叠和剪切的应用
[19]将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G(如图).
(1)如果M为CD边的中点,求证:
DE:
DM:
EM=3:
4:
5;
(2)/111果M为CD边上的任意一点,设AB=2a,f.lJACMG的周长是否与点M的位置有关?
若有关,请把ACMG的周长用含DM的长x的代数式表示;若无关,请说明理由.
315
答案:
(1)先求出DE二一AD,DM=-AD,EM=-AD后证Z.
828
(3)注意到△DEM^ACMG,求JllACMG的周长等于4a,从而它与点M在CD边上的位置无关.
[20]同学们肯定天天阅读报纸吧?
我国的报纸一般都有一个共同的特征:
每次对折后,所得的长方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是多少?
答案:
V2:
1.
[21]
用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片町以拼成一些新图形,例如图2中的RtABCE就是拼成的一个图形.
第21题图
⑴用这两部分纸片除了可以拼成图2屮的RtABCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.
(2)若利用这两部分纸片拼成的RtABCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和
BC的长分别为a厘米、b厘米,且a.b恰好是关于x的方程X2-(加-l)x+/n4-1=0
的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.
第21题答案图
(2)由题可知AB=CD=AE,乂BC=BE=AB+AE・・・BC=2AB,即b=2a由题意知a,2a是方程x2-(zn-l)x+加+1=0的两根
a+2a=m一1
ci•2ci=m+1
消去a,得2加$—13加一7=o
经检验:
由于当“冷,a+2a=-|<0,知…*不符合题意,舍去.
m=7符合题意.
•*.S矩形=ab=加+1=8
答:
原矩形纸片的而积为8cm2.
[22]电脑CPU蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成,未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片,叫“晶圆片”。
现为了生产某种CPU蕊片,需要长、宽都是lcm的正方形小硅片若干。
如果品圆片的直径为10.05cm。
问一张这种品圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?
请说明你的方法和理由。
(不计切割损耗)
第22题图
答案:
可以切割出66个小正方形。
方法一:
(1)我们把10个小正方形排成一排,看成一个长条形的矩形,这个矩形刚好能放入直径为10.05cm的圆内,如图中矩形ABCDo
VAB=1BC=10
・・・对角线AC,2=100+1=101<10-052
(2)我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正方形。
EH
AD
BC
FG
・・•新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形EFGH,矩形EFGH的长为
9,高为3,对角线EG2=92+32=81+9=90<10.052o但是新加入的这两排小正方形不能是每排10个,因为:
102+32=100+9=109>10.052
(3)同理:
82+52=64+25=89<10.052
92+52=81+25=106>10.052
・・・可以在矩形EFGH的上面和下而分别再排下8个小正方形,那么现在小正方形已有了5层。
(4)再在原来的基础上,上下再加一层,共7层,新矩形的高可以看成是7,那么新加入的这两排,每排都可以是7个但不能是8个。
v72+72=49+49=98<1O.O52
82+72=64+49=113>10.052
(5)在7层的基础上,上下再加入一层,新矩形的高可以看成是9,这两层,每排可以是4个但不能是5个。
742+92=16+81=97<10.052
52+92=25+81=106>10.052
现在总共排了9层,高度达到了9,上下各剩下约0.5cm的空间,因为矩形ABCD的位査不能调整,故再也放不下一个小正方形了。
.*.10+2X9+2X8+2X7+2X4=66(个)
方法二
学生也对能按下而的方法排列,只耍说理清楚,评分标准参考方法一。
可以按9个正方形排成一排,叠4层,先放入圆内,然后:
(1)上下再加一层,每层8个,现在共有6层。
(2)在前面的基础上,上下各加6个,现在共有8层。
(3)最后上下述可加一层,但每层只能是一个,共10层。
这样共有:
4X9+2X8+2X6+2X1=66(个)
[23]在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内,要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边
屮点的方法折出菱形EI;GII(见方案一),张丰同驴常矩形的对角线AC折出ZCAE=ZDAC,ZACI-
比较李颖同学和张丰同学的
ZACB的方法得到菱形AECF(见方案二),请你通过计算,
折法中,哪种菱形而积较人?
第23题图
答案:
(方案一)
S菱形=S矩形—4SAEH
=12x5-4x—x6x—
22
=30(cm2)
(方案一)
设BE二x,则CE二12-x
・•・AE=y]BE2+AB2=丁25+〒
由AECF是菱形,MAE2=CE2
・・・25+兀$=(12—兀尸
119
•••X=
24
=12x5-2x-x5x—
224
-35.21(m)
比较可知,方案二张丰同学所折的菱形面积较大.
【24】正方形提供剪切可以拼成三角形。
方法如下:
仿上面图示的方法,及韦达下列问题:
操作设计:
(1)如图
(2),对直角三角形,设计一种方案,将它分成若T块,再拼成一个与原三角形等面积的矩形。
第24题图
(2)第24题图(3)
(2)如图(3)对于任意三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个原三角形等面积的矩形。
答案:
(1)方法一:
方法二:
中占
I八2
第24题答案图
(1)
第24题答案图
(2)
(2)略。
【25】如图,00表示一圆形纸板,根据要求,需通过多次剪裁,把它剪成若干个扇形而,操作过程如下:
第1次剪裁,将圆形纸板等分为4个扇形;第2次剪裁,将上次得到的扇形面屮的一个再等分成4个扇形;以后按第2次剪裁的作法进行下去.
(1)请你在00中,用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹,不写作法).
(2)请你通过操作和猜想,将第3、第4和第n次裁剪后所得扇形的总个数(S)填入下
等分圆及扇形面的次数(n)
1
2
3
4
•••
n
所得扇形的总个数(S)
4
7
•••
(3)请你推断,能不能按上述操作过程,将原來的闘形纸板剪成33个扇形?
为什么?
答案:
(1)由图知六边形各内角札I等.
(2)七边形是正七边形.
(3)猜想:
当边数是奇数时(或当边数是3,5,7,9,…时),各内角
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