九年级数学上册 用一元二次方程解决问题同步练习.docx
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九年级数学上册用一元二次方程解决问题同步练习
九年级数学上册用一元二次方程解决问题同步练习
练习八用一元二次方程解决问题
一、选择
1、某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%,若每年下降的百分数相同,则这个百分数为()
A、10%B、20%C、120%D、180%
2、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元,如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为()
A、200(1+x)2=1000B、200+200×2x=1000
C、200+200×3x=1000D、200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
3、某农户种植花生,原来种植的花生亩产量为200千克,出油率为50%(即每100千克花生可加工成花生油50千克).现在种植新品种花生后,每亩收获的花生可加工成花生油132千克,其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的.则新品种花生亩产量的增长率为()
A、20%B、30%C、50%D、120%
4、若两个连续整数的积是56,则它们的和是()
A、±15B、15C、-15D、11
二、填空
5、市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,求这种药品平均每次降价的百分率是。
6、一种药品经过两次降价后,每盒的价格由原来的60元降至48.6元,那么平均每次降价的百分率是。
7、高温煅烧石灰石(CaCO3)可以制取生石灰(CaO)和二氧化碳(CO2).如果不考虑杂质及损耗,生产石灰14吨就需要煅烧石灰石25吨,那么生产石灰224万吨,需要石灰石万吨。
8、解方程+=7时,利用换元法将原方程化为6y2—7y+2=0,则应设y=_____。
9、某地区开展“科技下乡”活动三年来,接受科技培训的人员累计达95万人次,其中第一年培训了20万人次。
设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x,根据题意列出的方程是___________。
10、一条长64cm的铁丝被剪成两段,每段均折成正方形。
若两个正方形的面积和等于160cm
11.在下列方程中,一元二次方程的个数是( ).
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③(x-2)(x+5)=x2-1 ④3x2-=0
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.方程2x2=3(x-6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为().
A.2,3,-6 B.2,-3,18 C.2,-3,6 D.2,3,6
13.px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程,则( ).
A.p=1 B.p>0 C.p≠0 D.p为任意实数
14.方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________,一次项系数为_________,常数项为_________.
15.一元二次方程的一般形式是__________.
16.关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程,则a的取值范围是________.
17.a满足什么条件时,关于x的方程a(x2+x)=x-(x+1)是一元二次方程?
18.关于x的方程(2m2+m)xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗?
为什么?
19.一块矩形铁片,面积为1m2,长比宽多3m,求铁片的长,小明在做这道题时,是这样做的:
设铁片的长为x,列出的方程为x(x-3)=1,整理得:
x2-3x-1=0.小明列出方程后,想知道铁片的长到底是多少,下面是他的探索过程:
第一步:
x
1
2
3
4
x2-3x-1
-3
-3
所以,________ 第二步: x 3.1 3.2 3.3 3.4 x2-3x-1 -0.96 -0.36 所以,________ (1)请你帮小明填完空格,完成他未完成的部分; (2)通过以上探索,估计出矩形铁片的整数部分为_______,十分位为______. 20.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 分析: 要判定一个数是否是方程的根,只要把其代入等式,使等式两边相等即可. 解: 将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足方程的等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根. 21.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值 练习: 关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值 点拨: 如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解. 22.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗? (1)x2-64=0 (2)3x2-6=0 (3)x2-3x=0 分析: 要求出方程的根,就是要求出满足等式的数,可用直接观察结合平方根的意义. 解: 略 23.要剪一块面积为150cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5cm,这块铁片应该怎样剪? 设长为xcm,则宽为(x-5)cm 列方程x(x-5)=150,即x2-5x-150=0 请根据列方程回答以下问题: (1)x可能小于5吗? 可能等于10吗? 说说你的理由. (2)完成下表: x 10 11 12 13 14 15 16 17 … x2-5x-150 (3)你知道铁片的长x是多少吗? 分析: x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同,不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根,但是我们可以用一种新的方法 ──“夹逼”方法求出该方程的根. 解: (1)x不可能小于5.理由: 如果x<5,则宽(x-5)<0,不合题意. x不可能等于10.理由: 如果x=10,则面积x2-5x-150=-100,也不可能. (2) x 10 11 12 13 14 15 16 17 …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… (3)铁片长x=15cm 24.方程x(x-1)=2的两根为( ). A.x1=0,x2=1 B.x1=0,x2=-1 C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=2 25.方程ax(x-b)+(b-x)=0的根是( ). A.x1=b,x2=a B.x1=b,x2= C.x1=a,x2= D.x1=a2,x2=b2 26.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根(b≠0),则=( ). A.1 B.-1 C.0 D.2 27.如果x2-81=0,那么x2-81=0的两个根分别是x1=________,x2=__________. 28.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为________. 29.方程(x+1)2+x(x+1)=0,那么方程的根x1=______;x2=________. 30.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根,求(a-b)2+4ab的值. 31.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数,求证: -1必是该方程的一个根. 32.在一次数学课外活动中,小明给全班同学演示了一个有趣的变形,即在()2-2x+1=0,令=y,则有y2-2y+1=0,根据上述变形数学思想(换元 法),解决小明给出的问题: 在(x2-1)2+(x2-1)=0中,求出(x2-1)2+(x2-1)=0的根. 33、 (1)x2-8x+______=(x-______)2; (2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+_____=(x+______)2. 34、解方程: (1)(2x-1)2=5 (2)x2+6x+9=2 (3)x2-2x+4=-1 解: (2)由已知,得: (x+3)2=2 直接开平方,得: x+3=± 即x+3=,x+3=- 所以,方程的两根x1=-3+,x2=-3- 35.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率. 分析: 设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2 解: 设每年人均住房面积增长率为x, 则: 10(1+x)2=14.4 (1+x)2=1.44 直接开平方,得1+x=±1.2 即1+x=1.2,1+x=-1.2 所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去. 所以,每年人均住房面积增长率应为20%. 36、如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点B开始,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如 果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都从B点同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8cm2 问题2: 设x秒后△PBQ的面积等于8cm2 则PB=x,BQ=2x 依题意,得: x·2x=8 x2=8 根据平方根的意义,得x=±2 即x1=2,x2=-2 可以验证,2和-2都是方程x·2x=8的两根,但是移动时间不能是负值. 所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2. 37.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少? 分析: 设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x)2. 解: 设该公司二、三月份营业额平均增长率为x. 那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31 把(1+x)当成一个数,配方得: (1+x+)2=2.56,即(x+)2=2.56 x+=±1.6,即x+=1.6,x+=-1.6 方程的根为x1=10%,x2=-3.1 因为增长率为正数, 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%. 38.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是( ). A.p=4,q=2 B.p=4,q=-2 C.p=-4,q=2 D.p=-4,q=-2 39.方程3x2+9=0的根为( ). A.3 B.-3 C.±3 D.无实数根 40.用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是( ). A.(x-)2=,x=± B.(x-)2=-,原方程无解 C.(x-)2=,x1=+,x2= D.(x-)2=1,x1=,x2=- 41.若8x2-16=0,则x的值是_________. 42.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是________. 43.如果a、b为实数,满足+b2-12b+36=0,那么ab的值是_______. 44.解关于x的方程(x+m)2=n. 45.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m. (1)鸡场的面积能达到180m2吗? 能达到200m吗? (2)鸡场的面积能达到210m2吗? 46.在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框, 并说明你制作的理由吗? 47、解下列方程 (1)3x2-1=5 (2)4(x-1)2-9=0 (3)4x2+16x+16=9 (4)4x2+16x=-7 上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得 x=±或mx+n=±(p≥0). 如: 4x2+16x+16=(2x+4)2,你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9吗? 48.用配方法解下列关于x的方程 (1)x2-8x+1=0 (2)x2-2x-=0 解: 略 49.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=8m,CB=6m,点P、Q同时由A,B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半. 分析: 设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形.根据已知列出等式. 解: 设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半. 根据题意,得: (8-x)(6-x)=××8×6 整理,得: x2-14x+24=0 (x-7)2=25即x1=12,x2=2 x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去. 所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半. . 50.将二次三项式x2-4x+1配方后得( ). A.(x-2)2+3 B.(x-2)2-3 C.(x+2)2+3 D.(x+2)2-3 51.已知x2-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是( ). A.x2-8x+(-4)2=31 B.x2-8x+(-4)2=1 C.x2+8x+42=1 D.x2-4x+4=-11 52.如果mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左边是一个关于x的完全平方式,则m等于( ). A.1 B.-1 C.1或9 D.-1或9 53.方程x2+4x-5=0的解是________. 54.代数式的值为0,则x的值为________. 55.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值,若设x+y=z,则原方程可变为_______,所以求出z的值即为x+y的值,所以x+y的值为______. 56.已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-4x+3=0的解,求这个三角形的周长. 57.如果x2-4x+y2+6y++13=0,求(xy)z的值. 58.新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元,市场调研表明: 当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降50元时,平均每 天就能多售出4台,商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元,每台冰箱的定价应为多少元? 59、解下列方程: (1)x2-4x+7=0 (2)2x2-8x+1=0 解: 略. (2)与 (1)有何关联? 60.解下列方程 (1)2x2+1=3x (2)3x2-6x+4=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0 分析: 我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方. 解: 略 61.用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6 分析: 因为如果展开(6x+7)2,那么方程就变得很复杂,如果把(6x+7)看为一个数y,那么(6x+7)2=y2,其它的3x+4=(6x+7)+,x+1= (6x+7)-,因此,方程就转化为y的方程,像这样的转化,我们把它称为换元法. 解: 设6x+7=y 则3x+4=y+,x+1=y- 依题意,得: y2(y+)(y-)=6 去分母,得: y2(y+1)(y-1)=72 y2(y2-1)=72,y4-y2=72 (y2-)2= y2-=± y2=9或y2=-8(舍) ∴y=±3 当y=3时,6x+7=3 6x=-4 x=- 当y=-3时,6x+7=-3 6x=-10 x=- 所以,原方程的根为x1=-,x2=- 例3求证: 无论y取何值时,代数式-3y2+8y-6恒小于0. 62.配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为( ). A.(x-)2= B.(x-)2=0 C.(x-)2= D.(x-)2= 63.下列方程中,一定有实数解的是( ). A.x2+1=0 B.(2x+1)2=0 C.(2x+1)2+3=0 D.(x-a)2=a 64.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z的值是( ). A.1 B.2 C.-1 D.-2 56.如果x2+4x-5=0,则x=_______. 66.无论x、y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数. 67.如果16(x-y)2+40(x-y)+25=0,那么x与y的关系是________. 68.用配方法解方程. (1)9y2-18y-4=0 (2)x2+3=2x 69.已知: x2+4x+y2-6y+13=0,求的值. 70.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调 查发现,如果每件衬衫每降价一元,商场平均每天可多售出2件. ①若商场平均每天赢利1200元,每件衬衫应降价多少元? ②每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多? 请你设计销售方案. 71.用公式法解方程4x2-12x=3,得到( ). A.x= B.x= C.x= D.x= 72.方程x2+4x+6=0的根是( ). A.x1=,x2= B.x1=6,x2= C.x1=2,x2= D.x1=x2=- 73.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,则m2-n2的值是( ). A.4 B.-2 C.4或-2 D.-4或2 74.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是________,条件是________. 75.当x=______时,代数式x2-8x+12的值是-4. 76.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是_____. 77.用公式法解关于x的方程: x2-2ax-b2+a2=0. 78.设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根, (1)试推导x1+x2=-,x1·x2=; (2)求代数式a(x13+x23)+b(x12+x22) +c(x1+x2)的值. 79.某电厂规定: 该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时,那么这户居民这个月只交10元电费,如果超过A千瓦时,那么这个月除了交 10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费. (1)若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元? (用A表示) (2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况 月份 用电量(千瓦时) 交电费总金额(元) 3 80 25 4 45 10 根据上表数据,求电厂规定的A值为多少? 80、 (1)16x2+8x=-3 (2)9x2+6x+1=0 (3)2x2-9x+8=0 (4)x2-7x-18=0 分析: 不解方程,判定根的情况,只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可. 解: (1)化为16x2+8x+3=0 这里a=16,b=8,c=3,b2-4ac=64-4×16×3=-128<0 所以,方程没有实数根. 81、不解方程判定下列方程根的情况: (1)x2+10x+26=0 (2)x2-x-=0 (3)3x2+6x-5=0 (4)4x2-x+=0 (5)x2-x-=0 (6)4x2-6x=0 (7)x(2x-4)=5-8x 82.若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3>0的解集(用含a的式子表示). 分析: 要求ax+3>0的解集,就是求ax>-3的解集,那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数 根,即(-2a)2-4(a-2)(a+1)<0就可求出a的取值范围. 解: ∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根. ∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8<0 a<-2 ∵ax+3>0即ax>-3 ∴x<- ∴所求不等式的解集为x<- 83.以下是方程3x2-2x=-1的解的情况,其中正确的有( ). A.∵b2-4ac=-8,∴方程有解 B.∵b2-4ac=-8,∴方程无解 C.∵b2-4ac=8,∴方程有解 D.∵b2-4ac=8,∴方程无解 84.一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等,则a的值为( ). A.a=0
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