最新华东师大版初三数学上册第21章 二次根式 全单元教案设计.docx
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最新华东师大版初三数学上册第21章二次根式全单元教案设计
21.1 二次根式
教学目标
1.能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系,体会研究二次根式的必要性;(难点)
2.能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质,会求二次根式中被开方数中字母的取值范围.(重点)
教学过程
一、情境导入
问题1:
你能用带有根号的式子填空吗?
(1)面积为3的正方形的边长为________,面积为S的正方形的边长为________.
(2)一个长方形围栏,长是宽的2倍,面积为130m2,则它的宽为________m.
(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:
s)与落下的高度h(单位:
m)满足关系h=5t2,如果用含有h的式子表示t,则t=______.
问题2:
上面得到的式子,,,分别表示什么意义?
它们有什么共同特征?
二、合作探究
探究点一:
二次根式的定义
下列各式中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式?
(1);
(2);(3);
(4);(5);(6)(x≤3);
(7)(x≥0);(8);(9);
(10)(ab≥0).
解析:
要判断一个根式是不是二次根式,一是看根指数是不是2,二是看被开方数是不是非负数.
解:
因为,,=,(x≤3),,(ab≥0)中的根指数都是2,且被开方数为非负数,所以都是二次根式.的根指数不是2,,(x≥0),的被开方数小于0,所以不是二次根式.
方法总结:
判断一个式子是不是二次根式,要看所给的式子是否具备以下条件:
(1)带二次根号“”;
(2)被开方数是非负数.
探究点二:
二次根式有意义的条件
【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围
求使下列式子有意义的x的取值范围.
(1);
(2);(3).
解析:
根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0且分母不等于0,列不等式(组)求解.
解:
(1)由题意得4-3x>0,解得x<.当x<时,有意义;
(2)由题意得解得x≤3且x≠2.当x≤3且x≠2时,有意义;
(3)由题意得解得x≥-5且x≠0.当x≥-5且x≠0时,有意义.
方法总结:
含二次根式的式子有意义的条件:
(1)如果一个式子中含有多个二次根式,那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数;
(2)如果所给式子中含有分母,则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外,还必须保证分母不为零.
【类型二】利用二次根式的非负性求解
(1)已知a、b满足+|b-|=0,解关于x的方程(a+2)x+b2=a-1;
(2)已知x、y都是实数,且y=++4,求yx的平方根.
解析:
(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可;
(2)根据二次根式的非负性即可求得x的值,进而求得y的值,进而可求出yx的平方根.
解:
(1)根据题意得解得则(a+2)x+b2=a-1,即-2x+3=-5,解得x=4;
(2)根据题意得解得x=3.则y=4,故yx=43=64,±=±8,∴yx的平方根为±8.
方法总结:
二次根式和绝对值都具有非负性,几个非负数的和为0,这几个非负数都为0.
探究点三:
和二次根式有关的规律探究性问题
先观察下列等式,再回答下列问题.
①=1+-=1;
②=1+-=1;
③=1+-=1.
(1)请你根据上面三个等式提供的信息,写出的结果;
(2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用
含n的式子表示的等式(n为正整数).
解析:
(1)从三个等式中可以发现,等号右边第一个加数都是1,第二个加数是个分数,设分母为n,第三个分数的分母就是n+1,结果是一个带分数,整数部分是1,分数部分的分子也是1,分母是前项分数的分母的积;
(2)根据
(1)找的规律写出表示这个规律的式子.
解:
(1)=1+-=1;
(2)=1+-=1(n为正整数).
方法总结:
解答规律探究性问题,都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系,通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来.
三、板书设计
1.二次根式的定义
一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
2.二次根式有意义的条件
被开方数(式)为非负数;有意义⇔a≥0.
教学反思
通过将新知识与旧知识进行联系与对比,随后由学生熟悉的实际问题出发,用已有的知识进行探究,由此引入二次根式.在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要,体会到数学与实际生活间的紧密联系,以此充分激发学生学习的兴趣.
21.2二次根式的乘除
1.二次根式的乘法
教学目标
1.掌握二次根式乘法法则;(重点)
2.会进行二次根式的乘法运算.(重点、难点)
教学过程
一、情境导入
小颖家有一块长方形菜地,长m,宽m,那么这个长方形菜地的面积是多少?
二、合作探究
探究点:
二次根式的乘法
【类型一】二次根式的乘法法则成立的条件
式子·=成立的条件是( )
A.x≤2B.x≥-1
C.-1≤x≤2D.-1<x<2
解析:
根据题意得解得
-1≤x≤2.故选C.
方法总结:
运用二次根式的乘法法则:
·=(a≥0,b≥0),必须注意被开方数均是非负数这一条件.
【类型二】二次根式的乘法运算
计算:
(1)×;
(2)×;
(3)6×(-3);
(4)·.
解析:
有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用,计算时注意最后结果要化为最简形式.
解:
(1)×==;
(2)×===4;
(3)6×(-3)=-18=
-18=-18×9=-162;
(4)·=
-··=-·=
-·6b=-.
方法总结:
在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时,必须化成假分数,如果被开方数有能开得尽方的因数或因式,可先将二次根式化简后再相乘.
三、板书设计
教学反思
在教学安排上,体现由具体到抽象的认识过程.对于二次根式的乘法法则的推导,先利用几个二次根式的具体计算,归纳出二次根式的乘法运算法则.在具体计算时,可以通过小组合作交流,放手让学生去思考、讨论,这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达,更有助于学生合作精神的培养.
2.积的算术平方根
教学目标
1.掌握积的算术平方根的性质;(重点)
2.会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简.(难点)
教学过程
一、情境导入
计算:
(1)×与;
(2)×与.
思考:
对于×与呢?
从计算的结果我们发现×=,这是什么道理呢?
二、合作探究
探究点一:
积的算术平方根的性质
化简:
(1);
(2);
(3).
解析:
主要运用公式=·(a≥0,b≥0)和=a(a≥0)对二次根式进行化简.
解:
(1)===××=6×4×3=72;
(2)===×=12×5=60;
(3)==·=|x+3y|.
方法总结:
利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简.
探究点二:
二次根式乘法的综合应用
小明的爸爸做了一个长为cm,宽为cm的矩形木相框,还想做一个与它面积相等的圆形木相框,请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号).
解析:
根据矩形的面积公式、圆的面积公式,构造等式进行计算.
解:
设圆的半径为rcm.因为矩形木相框的面积为×=168π(cm2),所以πr2=168π,r=2cm(r=-2舍去).
答:
这个圆的半径是2cm.
方法总结:
把实际问题转化为数学问题,列出相应的式子进行计算,体现了转化思想.
三、板书设计
1.二次根式的乘法法则:
·=(a≥0,b≥0)
2.积的算术平方根:
=·(a≥0,b≥0)
教学反思
在教学安排上,体现由具体到抽象的认识过程.对于二次根式的乘法法则的推导,先利用几个二次根式的具体计算,归纳出二次根式的乘法运算法则.在具体计算时,可以通过小组合作交流,放手让学生去思考、讨论,这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达,更有助于学生合作精神的培养.
3.二次根式的除法
教学目标
1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质,会运用其进行相关运算;(重点)
2.能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算.(难点)
教学过程
一、情境导入
计算下列各题,观察有什么规律?
(1)=________;=________.
(2)=________;=________.
________;________.
二、合作探究
探究点一:
二次根式的除法
【类型一】二次根式的除法运算
计算:
(1);
(2)-÷;
(3);(4)÷.
解析:
本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算,若被开方数是分数,则被开方数相除时,可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算,再进行约分.
解:
(1)===2;
(2)-÷=-=-=-=-3;
(3)==;
(4)÷=-÷5=-××=-×=-.
方法总结:
利用二次根式的除法法则进行计算时,可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简.
【类型二】二次根式的乘除混合运算
计算:
(1)9÷3×;
(2)a2··b÷.
解析:
先把系数进行乘除运算,再根据二次根式的乘除法则运算.
解:
(1)原式=9×××=18;
(2)原式=a2·b·=.
方法总结:
二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同,在运算时要注意运算符号和运算顺序,若被开方数是带分数,要先将其化为假分数.
探究点二:
商的算术平方根的性质
【类型一】利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围
若=,则a的取值范围是( )
A.a<2B.a≤2
C.0≤a<2D.a≥0
解析:
根据题意得解得0≤a<2.故选C.
方法总结:
运用商的算术平方根的性质:
=(a>0,b≥0),必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件.
【类型二】利用商的算术平方根的性质化简二次根式
化简:
(1);
(2)(a>0,b>0,c>0).
解析:
运用商的算术平方根的性质,用分子的算术平方根除以分母的算术平方根.
解:
(1)===;
(2)==.
方法总结:
被开方数中的带分数要化为假分数,被开方数中的分母要化去,即被开方数不含分母,从而化为最简二次根式.
探究点三:
最简二次根式
在下列各式中,哪些是最简二次根式?
哪些不是?
并说明理由.
(1);
(2);(3);(4);(5).
解析:
根据满足最简二次根式的两个条件判断即可.
解:
(1)=3,被开方数含有开得尽方的因数,因此不是最简二次根式;
(2)=,被开方数中含有分母,因此它不是最简二次根式;
(3),被开方数不含分母,且被开方数不含能开得尽方的因数或因式,因此它是最简二次根式;
(4)==,被开方数含有小数,因此不是最简二次根式;
(5)==,被开方数中含有分母,因此它不是最简二次根式.
方法总结:
解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足两个条件:
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
探究点四:
二次根式除法的综合运用
座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期,其周期计算公式为T=2π,其中T表示周期(单位:
秒),l表示摆长(单位:
米),g=9.8米/秒2,假若一台座钟摆长为0.5米,它每摆动一个来回发出一次滴答声,那么在1分钟内,该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?
解析:
由给出的公式代入数据计算即可.要先求出这个钟摆的周期,然后利用时间除周期得到次数.
解:
∵T=2π≈1.42,=≈42(次),∴在1分钟内,该座钟大约发出了42次滴答声.
方法总结:
解决本题的关键是正确运用公式.用二次根式的除法进行运算,解这类问题时要注意代入数
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