高中数学 向量 板块四 平面向量的应用完整讲义学生版.docx
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高中数学向量板块四平面向量的应用完整讲义学生版
2019-2020年高中数学向量板块四平面向量的应用完整讲义(学生版)
典例分析
题型一:
向量综合
【例1】设,,是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:
①②
③不与垂直④
中,
真命题是()
A.①②B.②③C.③④D.②④
【例2】设向量满足:
,,.以的模为边长构成三角形,则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为()
A.B.C.D.
【例3】⑴已知,,,,求证:
.
⑵已知,.求,.
⑶已知,,若,求、的值.
【例4】关于平面向量.有下列三个命题:
①若,则.②若,,,则.
③非零向量和满足,则与的夹角为.
其中假命题的序号为 .(写出所有真命题的序号)
【例5】如图,以原点和为顶点作等腰直角,使,求点和向量的坐标.
【例6】设,,为坐标平面上三点,为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则与满足的关系式为()
A.B.C.D.
【例7】已知,,向量与共线.
(1)求关于的函数;
(2)是否在直线和直线上分别存在一点,使得满足为锐角时取值集合为或?
若存在,求出这样的的坐标;若不存在,说明理由.
【例8】已知向量满足,且,其中.
(1)试用表示,并求出的最大值及此时与的夹角的值;
(2)当取得最大值时,求实数,使的值最小,并对这一结果作出几何解释.
【例9】已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及=+t
求:
(1)t为何值时,P在x轴上?
P在y轴上?
P在第二象限?
(2)四边形OABP能否成为平行四边形?
若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.
【例10】已知A、B、C是直线上的不同的三点,O是外一点,向量满足
记.求函数的解析式;
【例11】已知
,
是两个向量集合,则()
A.B.C.D.
题型二:
与三角函数综合
【例12】已知向量,,则向量与的夹角为()
A.B.C.D.
【例13】已知为的三个内角的对边,向量,
.若,且
,则角.
【例14】已知向量,,且,那么与的夹角的大小是_______.
【例15】已知向量,,且.
⑴求及;
⑵求函数的最大值,并求使函数取得最大值时的值.
【例16】若,,且,其中.
(1)用表示;
(2)求当时,与所成角的大小.
【例17】已知向量和,,且,求的值.
【例18】设,,,,,与的夹角为,与的夹角为
(1)用表示;
(2)若,求的值.
【例19】已知为坐标原点,,(,,为常数),若,
(1)求关于的函数解析式;
(2)若时,的最大值为2,求的值,并指出函数的单调区间.
【例20】在锐角中,已知
,求角的度数.
【例21】设,向量
.
⑴证明:
向量与垂直;⑵当时,求角.
【例22】已知点,,,且.
⑴若,求与的夹角;
⑵若,求的值.
【例23】已知、、的坐标分别为,,.
⑴若且,求角的值;
⑵若,求的值.
【例24】已知向量
,若,且.
⑴试求出和的值;⑵求的值.
【例25】设向量
,记.
⑴求函数的最小正周期;
⑵画出函数在区间的简图,并指出该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
⑶若,函数的最小值为,试求出函数的最大值并指出取何值时,函数取得最大值.
【例26】已知向量,,且,
⑴求及;
⑵若的最小值是,求的值.
【例27】设平面上、两点的坐标分别是,,其中.
⑴求的表达式;
⑵记
,求函数的最小值.
【例28】为△的内角A、B、C的对边,,,且与的夹角为,求C;
【例29】在ABC中,a,b,c分别为角A、B、C的对边;若向量与的夹角为,求角B的大小
【例30】已知A、B、C三点的坐标分别为、、
(1)若,求角的值;
(2)若,求的值。
【例31】已知:
A、B、C是的内角,分别是其对边长,向量,,.求角A的大小;
【例32】在中,已知角为锐角,向量
,
,.
⑴向量时,求;
⑵求的最大值.
⑶若
,求的三个内角和边的长.
【例33】如图,在平面直角坐标系中,点在轴正半轴上,直线的倾斜角为,,设,.
⑴用表示点的坐标及;
⑵若,求的值.
题型三:
平面向量在平面几何
【例34】在直角坐标系中,已知点A(0,1)和点B(—3,4),若点C在∠AOB的一平分线上,且,则____________.
【例35】在平行四边形中,与交于点,是线段的中点,的延长线与交于点.若,,则=()
A.B.
C.D.
【例36】若是内一点,,则是的( )
A.内心B.外心C.垂心D.重心
【例37】若点是的外心,且,则内角的大小为____
【例38】在ΔABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则的最小值为.
【例39】已知点是的重心,,用表示.
【例40】在△ABC中,已知向量与满足且,则△ABC为()
A.三边均不相等的三角形B.直角三角形
C.等腰非等边三角形D.等边三角形
【例41】已知,,,点C在内,且,设,则等于()
A. B.3C.D.
【例42】是平面内一定点,,,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则的轨迹一定通过的()
A.外心 B.内心C.重心D.垂心
【例43】已知:
如图所示,ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线求证AC⊥BD
【例44】证明:
三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.
【例45】四边形中,
(1)若,试求与满足的关系式;
(2)满足
(1)的同时又有,求的值及四边形的面积。
【例46】求证:
已知点是的重心,过作直线与、两边分别交于、两点,且设,,则.
【例47】非正的外接圆的圆心为,两条边上的高的交点为,,求实数的值.
【例48】如图,设为的重心,过的直线与分别交于和,已,,与的面积分别为和.求证:
⑴;⑵.
题型四:
平面向量的实际应用(含物理中的应用)
【例49】如果一架向东飞行200km,再向南飞行300km,记飞机飞行的路程为s,位移为a,则()
A.s>|a|B.s<|a|C.s=|a|D.s与|a|不能比大小
【例50】一个30º的斜面上放有一个质量为1kg的球,若要保持球在斜面上静止不动,应沿斜面方向给球多大_________力;若表示球的重力的向量为p,球对斜面的压力为ω,则球的重力沿斜面方向的分力f=___________保持球在斜面上静止不动的推力f′=
【例51】点P在平面上作匀速直线运动,速度向量=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为||个单位.设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为()
A.(-2,4)B(10,-5)C(-30,25)D(5,-10)
【例52】设炮弹被以初速v0和仰角抛出(空气阻力忽略不计).当初速度v0的大小一定时,发射角多大时,炮弹飞行的距离最远.
【例53】某人骑车速度,方向往东,此时感到风从正北方吹来,若将速度加快一倍,则感到风从东北方向吹来,求风速与风向.
【例54】在静水中划船的速度是每分钟40,水流的速度是每分钟20,如果船从岸边出发,径直沿垂直与水流的航线到达对岸,那么船行进的方向应该指向何处?
【例55】已知三个力
的合力,求。
【例56】已知两个力的夹角是直角,且已知它们的合力与的夹角为,,求的大小。
【例57】一条河的两岸平行,河宽,一小船从处出发航行到对岸,小船速度为,水流速度为。
(1)当之间的夹角为多少时,小船才能到达正对岸处,此时位移的大小,方向怎样?
时间是多少?
(2)当之间的夹角为多少时,小船航行的时间最短?
此时位移的大小方向怎样?
时间是多少?
【例58】如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距海里.当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?
题型五:
与解析几何结合
【例59】如图,抛物线上有两点、,且,又,
⑴求证:
;
⑵若,求所在直线方程.
【例60】已知向量,,若与的夹角为,则直线与圆
的位置关系是()
A.相交但不过圆心.相交且过圆心C.相切D.相离
【例61】已知,若动点满足,求动点P的轨迹方程.
【例62】已知两点,且点使成公差小于的等差数列.
(1)点的轨迹是什么曲线?
(2)若点的坐标为,记为与的夹角,求.
【例63】如图,给出定点和直线,是直线上的动点,的平分线交于点,求点的轨迹方程.
【例64】如图,设点为抛物线上非原点的两个动点,已知,,求点的轨迹方程,并说明它表示什么曲线?
【例65】已知射线OA、OB的方程分别为,,动点M、N分别在OA、OB上滑动,且。
(1)若,求P点的轨迹C的方程;
(2)已知,,请问在曲线C上是否存在动点P满足条件,若存在,求出P点的坐标,若不存在,请说明理由。
【例66】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知点,,若点C满足
,点C的轨迹与抛物线交于A、B两点;
(1)求点C的轨迹方程;
(2)求证:
;
(3)在x轴正半轴上是否存在一定点,使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
【例67】已知定点,动点在轴上运动,过点作交轴于点,并延长到点,且.
(Ⅰ)求点的轨迹;
(Ⅱ)直线与的轨迹交于两点,若,且,求直线的斜率的取值范围.
【例68】
(Ⅰ)求M()的轨迹C;
(Ⅱ)过点(0,3)作直线与曲线交于A,B两点,,是否存在直线使OAPB为矩形.
【例69】已知=(x,0),=(1,y),(+)(–).
(I)求点(x,y)的轨迹C的方程;
(II)若直线l:
y=kx+m(m0)与曲线C交于A、B两点,D(0,–1),且有|AD|=|BD|,试求m的取值范围.
题型六:
在代数中的应用
【例70】已知
,且x,y,z,a,b,c为非零实数,求证。
【例71】已知,求证。
【例72】已知a,b,c,且,求证。
【例73】求函数的最大值。
【例74】求函数的最大值。
【例75】求函数的最小值。
【例76】设(i=1,2,……,xx)为正实数,且
,试求
的最小值。
【例77】已知,求
的最小值。
【例78】设a、b、c、d均为正数,求证
【例79】若,求证:
【例80】求证:
若和都是正数,则
【例81】求函数的最大值。
【例82】求函数的值域。
【例83】已知x>0,y>0,且x+y=1,求的最大值
【例84】已知x>0,y>0,且x+y=1,求证:
。
【例85】求证:
【例86】设任意实数x,y满足,,求证:
【例87】设a,b为不等的正数,求证
【例88】
【例89】
【例90】
2019-2020年高中数学向量、向量的加法、向量的减法综合练习教时教案人教版
目的:
通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念,掌握向量的加法与减法的意义与几何运算。
过程:
一、复习:
1︒向量的概念:
定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、
相等向量、共线向量
2︒向量的加法与减法:
定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律
例一、设a表示“向东走3km”,b表示“向北走3km”,
则a+b表示向东北走km
解:
=+
(km)
例二、试用向量方法证明:
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
证:
由向量加法法则:
=+,=+
由已知:
=,=
∴=即AB与CD平行且相等
∴ABCD为平行四边形
例三、在正六边形中,若=a,=b,试用
向量a、b将、、表示出来。
解:
设正六边形中心为P
则
a+b+a
a+b+a+b
由对称性:
=b+b+a
二、有时间可处理“备用题”:
例一、化简
解:
=
====0
例二、在静水中划船的速度是每分钟40,水流的速度是每分钟20,如果船从岸边出发,径直沿垂直与水流的航线到达对岸,那么船行进的方向应该指向何处?
解:
如图:
船航行的方向是
与河岸垂直方向成30︒夹角,
即指向河的上游。
三、作业:
上述三课中的练习部分(选)
四、
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
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- 关 键 词:
- 高中数学 向量 板块四 平面向量的应用完整讲义学生版 板块 平面 应用 完整 讲义 学生