北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明及详细答案.docx
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北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明及详细答案
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明及详细答案
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明
一.选择题(共12小题)
1.(2014•遂宁)如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是( )
A.
3
B.
4
C.
6
D.
5
2.(2014•台湾)如图,锐角三角形ABC中,直线L为BC的中垂线,直线M为∠ABC的角平分线,L与M相交于P点.若∠A=60°,∠ACP=24°,则∠ABP的度数为何?
( )
A.
24
B.
30
C.
32
D.
36
3.(2014•安顺)已知等腰三角形的两边长分別为a、b,且a、b满足
+(2a+3b﹣13)2=0,则此等腰三角形的周长为( )
A.
7或8
B.
6或1O
C.
6或7
D.
7或10
4.(2014•宁波)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是( )
A.
2.5
B.
C.
D.
2
5.(2014•甘井子区一模)如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=4cm,△ABD的周长为14cm,则△ABC的周长为( )
A.
18cm
B.
22cm
C.
24cm
D.
26cm
6.(2014•本溪一模)如图,在△ABC,∠C=90°,∠B=15°,AB的中垂线DE交BC于D,E为垂足,若BD=10cm,则AC等于( )
A.
10cm
B.
8cm
C.
5cm
D.
2.5cm
7.(2013•西宁)如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是( )
A.
2
B.
C.
D.
8.(2013•滨城区二模)如图,△ABC中,∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,且∠EAB:
∠CAE=3:
1,则∠C等于( )
A.
28°
B.
25°
C.
22.5°
D.
20°
9.(2013•澄江县一模)若一个等腰三角形至少有一个内角是88°,则它的顶角是( )
A.
88°或2°
B.
4°或86°
C.
88°或4°
D.
4°或46°
10.(2012•泰安)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE,则CE的长为( )
A.
3
B.
3.5
C.
2.5
D.
2.8
11.(2011•成华区二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,CD=4,BD平分∠ABC,交AC于点D,则点D到BC的距离是( )
A.
1
B.
2
C.
D.
12.(2006•威海)如图,在△ABC中,∠ACB=100°,AC=AE,BC=BD,则∠DCE的度数为( )
A.
20°
B.
25°
C.
30°
D.
40°
二.填空题(共6小题)
13.(2014•长春)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为 _________ .
14.(2013•泰安)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则BE的长是 _________ .
15.(2013•沈阳模拟)如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E,若∠BAC=70°,则∠CAE= _________ .
16.(2012•通辽)如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO:
S△BCO:
S△CAO= _________ .
17.(2012•广东模拟)在△ABC中,已知AB=AC,DE垂直平分AC,∠A=50°,则∠DCB的度数是 _________ .
18.(2009•临沂)如图,在菱形ABCD中,∠ADC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP,则∠CPB= _________ 度.
三.解答题(共12小题)
19.(2014•翔安区质检)如图,已知DE是AC的垂直平分线,AB=10cm,BC=11cm,求△ABD的周长.
20.(2014•长春模拟)如图,D为△ABC边BC延长线上一点,且CD=CA,E是AD的中点,CF平分∠ACB交AB于点F.求证:
CE⊥CF.
21.(2014•顺义区一模)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠C=60°,BC=4,CD=3,求AB的长.
22.(2013•湘西州)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.
(1)求DE的长;
(2)求△ADB的面积.
23.(2012•重庆模拟)如图,已知△ABC和△ABD均为直角三角形,其中∠ACB=∠ADB=90°,E为AB的中点,求证:
CE=DE.
24.(2010•攀枝花)如图所示,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F.点E是AB的中点,连接EF.
(1)求证:
EF∥BC;
(2)若△ABD的面积是6,求四边形BDFE的面积.
25.(2009•大连二模)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,CE⊥BD于点E.
求证:
AD=BE.
26.(2007•宜宾)已知;如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90度.F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连接AE、EF和CF.
(1)求证:
AE=CF;
(2)若∠CAE=30°,求∠EFC的度数.
27.(2006•韶关)如图,在△ABC中,AB≠AC,∠BAC的外角平分线交直线BC于D,过D作DE⊥AB,DF⊥AC分别交直线AB,AC于E,F,连接EF.
(1)求证:
EF⊥AD;
(2)若DE∥AC,且DE=1,求AD的长.
28.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠A=30°,BD平分∠ABC交AC于点D,求点D到斜边AB的距离.
29.如图,在△ABC中,∠CAB=90°,AB=3,AC=4,AD是∠CAB的平分线,AD交BC于D,求BD的长.
30.如图,四边形ABCD中,AB=BC,AB∥CD,∠D=90°,AE⊥BC于点E,求证:
CD=CE.
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.(2014•遂宁)如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是( )
A.
3
B.
4
C.
6
D.
5
考点:
角平分线的性质.菁优网版权所有
专题:
几何图形问题.
分析:
过点D作DF⊥AC于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可.
解答:
解:
如图,过点D作DF⊥AC于F,
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB,
∴DE=DF,
由图可知,S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴
×4×2+
×AC×2=7,
解得AC=3.
故选:
A.
点评:
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.
2.(2014•台湾)如图,锐角三角形ABC中,直线L为BC的中垂线,直线M为∠ABC的角平分线,L与M相交于P点.若∠A=60°,∠ACP=24°,则∠ABP的度数为何?
( )
A.
24
B.
30
C.
32
D.
36
考点:
线段垂直平分线的性质.菁优网版权所有
分析:
根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP,根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP,再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP,然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可.
解答:
解:
∵直线M为∠ABC的角平分线,
∴∠ABP=∠CBP.
∵直线L为BC的中垂线,
∴BP=CP,
∴∠CBP=∠BCP,
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP,
在△ABC中,3∠ABP+∠A+∠ACP=180°,
即3∠ABP+60°+24°=180°,
解得∠ABP=32°.
故选:
C.
点评:
本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质,角平分线的定义,三角形的内角和定理,熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键.
3.(2014•安顺)已知等腰三角形的两边长分別为a、b,且a、b满足
+(2a+3b﹣13)2=0,则此等腰三角形的周长为( )
A.
7或8
B.
6或1O
C.
6或7
D.
7或10
考点:
等腰三角形的性质;非负数的性质:
偶次方;非负数的性质:
算术平方根;解二元一次方程组;三角形三边关系.菁优网版权所有
分析:
先根据非负数的性质求出a,b的值,再分两种情况确定第三边的长,从而得出三角形的周长.
解答:
解:
∵|2a﹣3b+5|+(2a+3b﹣13)2=0,
∴
,
解得
,
当a为底时,三角形的三边长为2,3,3,则周长为8;
当b为底时,三角形的三边长为2,2,3,则周长为7;
综上所述此等腰三角形的周长为7或8.
故选:
A.
点评:
本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组,是基础知识要熟练掌握.
4.(2014•宁波)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是( )
A.
2.5
B.
C.
D.
2
考点:
直角三角形斜边上的中线;勾股定理;勾股定理的逆定理.菁优网版权所有
专题:
几何图形问题.
分析:
连接AC、CF,根据正方形性质求出AC、CF,∠ACD=∠GCF=45°,再求出∠ACF=90°,然后利用勾股定理列式求出AF,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
解答:
解:
如图,连接AC、CF,
∵正方形ABCD和正方形CEFG中,BC=1,CE=3,
∴AC=
,CF=3
,
∠ACD=∠GCF=45°,
∴∠ACF=90°,
由勾股定理得,AF=
=
=2
,
∵H是AF的中点,
∴CH=
AF=
×2
=
.
故选:
B.
点评:
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,正方形的性质,勾股定理,熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.
5.(2014•甘井子区一模)如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=4cm,△ABD的周长为14cm,则△ABC的周长为( )
A.
18cm
B.
22cm
C.
24cm
D.
26cm
考点:
线段垂直平分线的性质.菁优网版权所有
分析:
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD,然后求出△ABD的周长=AB+BC,再求出AC的长,然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解.
解答:
解:
∵DE是AC的垂直平分线,
∴AD=CD,
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC,
∵AE=4cm,
∴AC=2AE=2×4=8cm,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm.
故选B.
点评:
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键.
6.(2014•本溪一模)如图,在△ABC,∠C=90°,∠B=15°,AB的中垂线DE交BC于D,E为垂足,若BD=10cm,则AC等于( )
A.
10cm
B.
8cm
C.
5cm
D.
2.5cm
考点:
线段垂直平分线的性质;勾股定理.菁优网版权所有
专题:
探究型.
分析:
连接AD,先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数,再由线段垂直平分线的性质可得出∠DAB的度数,根据线段垂直平分线的性质可求出AD的长及∠DAC的度数,最后由直角三角形的性质即可求出AC的长.
解答:
解:
连接AD,
∵DE是线段AB的垂直平分线,BD=15,∠B=15°,
∴AD=BD=10,
∴∠DAB=∠B=15°,
∴∠ADC=∠B+∠DAB=15°+15°=30°,
∵∠C=90°,
∴AC=
AD=5cm.
故选C.
点评:
本题考查的是直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质,熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键.
7.(2013•西宁)如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是( )
A.
2
B.
C.
D.
考点:
角平分线的性质;含30度角的直角三角形;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.菁优网版权所有
分析:
由OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,易得△OCP是等腰三角形,∠COP=30°,又由含30°角的直角三角形的性质,即可求得PE的值,继而求得OP的长,然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可求得DM的长.
解答:
解:
∵OP平分∠AOB,∠AOB=60°,
∴∠AOP=∠COP=30°,
∵CP∥OA,
∴∠AOP=∠CPO,
∴∠COP=∠CPO,
∴OC=CP=2,
∵∠PCE=∠AOB=60°,PE⊥OB,
∴∠CPE=30°,
∴CE=
CP=1,
∴PE=
=
,
∴OP=2PE=2
,
∵PD⊥OA,点M是OP的中点,
∴DM=
OP=
.
故选:
C.
点评:
此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
8.(2013•滨城区二模)如图,△ABC中,∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,且∠EAB:
∠CAE=3:
1,则∠C等于( )
A.
28°
B.
25°
C.
22.5°
D.
20°
考点:
线段垂直平分线的性质.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
设∠CAE=x,则∠EAB=3x.根据线段的垂直平分线的性质,得AE=CE,再根据等边对等角,得∠C=∠CAE=x,然后根据三角形的内角和定理列方程求解.
解答:
解:
设∠CAE=x,则∠EAB=3x.
∵AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,
∴AE=CE.
∴∠C=∠CAE=x.
根据三角形的内角和定理,得
∠C+∠BAC=180°﹣∠B,
即x+4x=140°,
x=28°.
则∠C=28°.
故选A.
点评:
此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理.
9.(2013•澄江县一模)若一个等腰三角形至少有一个内角是88°,则它的顶角是( )
A.
88°或2°
B.
4°或86°
C.
88°或4°
D.
4°或46°
考点:
等腰三角形的性质.菁优网版权所有
分析:
分88°内角是顶角和底角两种情况讨论求解.
解答:
解:
88°是顶角时,等腰三角形的顶角为88°,
88°是底角时,顶角为180°﹣2×88°=4°,
综上所述,它的顶角是88°或4°.
故选C.
点评:
本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质,难点在于要分情况讨论.
10.(2012•泰安)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE,则CE的长为( )
A.
3
B.
3.5
C.
2.5
D.
2.8
考点:
线段垂直平分线的性质;勾股定理;矩形的性质.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE,设CE=x,表示出ED的长度,然后在Rt△CDE中,利用勾股定理列式计算即可得解.
解答:
解:
∵EO是AC的垂直平分线,
∴AE=CE,
设CE=x,则ED=AD﹣AE=4﹣x,
在Rt△CDE中,CE2=CD2+ED2,
即x2=22+(4﹣x)2,
解得x=2.5,
即CE的长为2.5.
故选:
C.
点评:
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,勾股定理的应用,把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键.
11.(2011•成华区二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,CD=4,BD平分∠ABC,交AC于点D,则点D到BC的距离是( )
A.
1
B.
2
C.
D.
考点:
角平分线的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.菁优网版权所有
分析:
根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°,再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠DBC=30°,从而得到∠DBC=∠ACB,然后利用等角对等边的性质求出BD的长度,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD,过点D作DE⊥BC于点E,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可.
解答:
解:
∵Rt△ABC中,∠ACB=30°,
∴∠ABC=60°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=30°,
∴∠DBC=∠ACB,
∴BD=CD=4,
在Rt△ABD中,∵∠ABD=30°,
∴AD=
BD=
×4=2,
过点D作DE⊥BC于点E,
则DE=AD=2.
故选B.
点评:
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,以及等角对等边的性质,小综合题,但难度不大,熟记各性质是解题的关键.
12.(2006•威海)如图,在△ABC中,∠ACB=100°,AC=AE,BC=BD,则∠DCE的度数为( )
A.
20°
B.
25°
C.
30°
D.
40°
考点:
等腰三角形的性质.菁优网版权所有
专题:
几何图形问题.
分析:
根据此题的条件,找出等腰三角形,找出相等的边与角度,设出未知量,找出满足条件的方程.
解答:
解:
∵AC=AE,BC=BD
∴设∠AEC=∠ACE=x°,∠BDC=∠BCD=y°,
∴∠A=180°﹣2x°,
∠B=180°﹣2y°,
∵∠ACB+∠A+∠B=180°,
∴100+(180﹣2x)+(180﹣2y)=180,得x+y=140,
∴∠DCE=180﹣(∠AEC+∠BDC)=180﹣(x+y)=40°.故选D.
点评:
根据题目中的等边关系,找出角的相等关系,再根据三角形内角和180°的定理,列出方程,解决此题.
二.填空题(共6小题)
13.(2014•长春)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为 15 .
考点:
角平分线的性质.菁优网版权所有
专题:
几何图形问题.
分析:
要求△ABD的面积,现有AB=7可作为三角形的底,只需求出该底上的高即可,需作DE⊥AB于E.根据角平分线的性质求得DE的长,即可求解.
解答:
解:
作DE⊥AB于E.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=CD=3.
∴△ABD的面积为
×3×10=15.
故答案是:
15.
点评:
此题主要考查角平分线的性质;熟练运用角平分线的性质定理,是很重要的,作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键.
14.(2013•泰安)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则BE的长是 2 .
考点:
含30度角的直角三角形;线段垂直平分线的性质.菁优网版权所有
分析:
根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°,则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度.
解答:
解:
∵∠ACB=90°,FD⊥AB,
∴∠ACB=∠FDB=90°,
∵∠F=30°,
∴∠A=∠F=30°(同角的余角相等).
又∵AB的垂直平分线DE交AC于E,
∴∠EBA=∠A=30°,
∴直角△DBE中,BE=2DE=2.
故答案是:
2.
点评:
本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形.解题的难点是推知∠EBA=30°.
15.(2013•沈阳模拟)如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E,若∠BAC=70°,则∠CAE= 55° .
考点:
角平分线的性质.菁优网版权所有
分析:
首先过点E作EF⊥BD于点F,作EG⊥AC于点G,作EH⊥BA于点H,由△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E,易证得AE是∠CAH的平分线,继而求得答案.
解答:
解:
过点E作EF⊥BD于点F,作EG⊥AC于点G,作EH⊥BA于点H,
∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E,
∴EH=EF,EG=EF,
∴EH=EG,
∴AE是∠C
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- 北师大 年级 下册 数学 第一章 三角形 证明 详细 答案