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fft算法的应用研究大学论文
《数字信号处理》
课程设计报告
FFT算法的应用研究
专业:
通信工程
班级:
通信11级
组次:
第20组
姓名及学号:
吴杨生2011013847
姓名及学号:
朱泽章2011013864
组员
承担任务
吴杨生
共同完成任务
朱泽章
共同完成任务
指
导
教
师
评
价
意
见
FFT算法的应用研究
一、设计目的
MATLAB是一种功能强大、效率高、交互性好的数值和可视化计算机高级语言,它将数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示有机地融合为一体,形成了一个极其方便、用户界面友好的操作环境。
。
经过多年的发展,已经发展成为一种功能全面的软件,几乎可以解决科学计算中所有问题。
MATLAB软件还提供了非常广泛和灵活的用于处理数据集的数组运算功能。
FFT算法的应用研究很广泛,数字信号也有很多,本次课程设计采取对语音信号进行FFT算法的的应用研究:
录制一段个人自己的语音信号,并对录制的信号进行采样;画出采样后语音信号的时域波形和频谱图;在Matlab环境下编写基2DIT-FFT算法;利用自己编写的算法对已采集的语音信号进行频谱分析,并画出语音信号的时域与频谱图,并与Matlab数字信号处理工具箱中的fft函数进行对比研究,验证自编算法的正确性
二、设计任务
对语音信号进行FFT算法的的应用研究
三、设计原理
1系统总体流程图
本设计要求录制一段个人自己的语音信号,并对录制的信号进行采样;画出采样后语音信号的时域波形和频谱图;在Matlab环境下编写基2DIT-FFT算法;利用自己编写的算法对已采集的语音信号进行频谱分析,并画出语音信号的时域与频谱图,并与Matlab数字信号处理工具箱中的fft函数进行对比研究,验证自编算法的正确性。
所以得到系统总体流程图如图1所示。
2.FFT运算规律及编程思想
2.1语音信号的采集
利用PC机自带的录音机,录制一段语音信号,保存格式为wave的文件,并将其保存在电脑中。
在MATLAB中,fn=input('EnterWAVfilename:
','s');[x,fs,nb]=wavread(fn,[n1n2]);用于读取语音,采样值放在向量x中,fs表示采样频率(Hz),nb表示采样位数。
[n1n2]表示读取从n1点到n2点的值(若只有一个n的点则表示读取前n点的采样值)。
sound(x,fs,nb);用于对声音的回放。
向量x则就代表了一个信号(也即一个复杂的“函数表达式”)也就是说可以像处理一个信号表达式一样处理这个声音信号。
采集到语音信号之后,需要对语音信号进行分析,如语音信号的时域分析、频谱分析、谱图分析。
2.2DIT-FFT算法的基本原理
快速傅里叶变换(FFT)是为提高DFT运算速度而采用的一种算法。
对一个有限长度序列x(n)的N点的DFT为:
所以,要求N点的DFT,需要N2次的复数乘法运算,N*(N-1)次复数乘法运算算。
随着N的增加,运算量将急剧增加,而在实际问题中,N往往是较大的,如当N=1024时,完成复数乘法和复数加法的次数分别为百万以上,无论是用通用计算机还是用DSP芯片,都需要消耗大量的时间,不能满足实时的要求,,不适合于对实时处理要求高的场合。
为了能实时处理DFT,要想减少DFT的运算量可以有两个途径:
第一是降N,N的值减小了,运算量就减少了;第二是利用旋转因子的周期性,对称性和可约性。
利用这两个途径实现DFT的快速傅里叶变换(FFT),FFT算法基本上可分为按时间抽取的FFT算法(DIT-FFT)和按频率抽取的FFT算法(DIF-FFT)。
旋转因子的性质:
(1)周期性
(2)共轭对称性
(3)可约性
本次课设要求用用基2的按时间抽取的FFT算法(DIT-FFT)实现FFT功能,设序列x(n)的长度为N,且N满足N=2M,M为正整数。
若N不能满足上述关系,可以将序列x(n)补零实现。
按时间抽取基2-FFT算法的基本思路是将N点序列按时间下标的奇偶分为两个N/2点序列,计算这两个N/2点序列的N/2点DFT,计算量可减小约一半;每一个N/2点序列按照同样的划分原则,可以划分为两个N/4点序列,最后,将原序列划分为多个2点序列,将计算量大大降低。
按时间下标的奇偶将N点x(n)分别抽取组成两个N/2点序列,分别记为x1(n)和x2(n),将x(n)的DFT转化为x1(n)和x2(n)的DFT的计算。
利用旋转因子的可约性,即:
用蝶形运算可表示为如图2所示:
以此类推,还可以把x1(n)和x2(n)按n值得奇偶分为两个序列,这样就达到了降N得目的,从而减少了运算量。
FFT对DFT的数学运算量改进:
直接采用DFT进行计算,运算量为N2次复数乘法和N*(N-1)次复数乘法。
当采用M次FFT时,由N=2M求得M=logN,运算流图有M级蝶形,每一级都由N/2个蝶形运算构成,这样每一级蝶形运算都需要N/2次复数乘法和N次复数加法。
M级运算共需要复数乘法次数为C=N/2*M,复数加法次数为C=N*M。
当N值较大时,FFT减少运算量的特点表现的越明显。
2.3DIT-FFT算法的运算规律及编程思想
为了编写DIT-FFT算法的运算程序,首先要分析其运算规律,总结编程思想并绘出程序框图。
1.原位计算
对
点的FFT共进行M级运算,每级由N/2个蝶形运算组成。
在同一级中,每个蝶的输入数据只对本蝶有用,且输出节点与输入节点在同一水平线上,这就意味着每算完一个蝶后,所得数据可立即存入原输入数据所占用的数组元素(存储单元),这种原位(址)计算的方法可节省大量内存。
2.蝶形运算
实现FFT运算的核心是蝶形运算,找出蝶形运算的规律是编程的基础。
蝶形运算是分级进行的;每级的蝶形运算可以按旋转因子的指数大小排序进行;如果指数大小一样则可从上往下依次蝶算。
对
点的FFT共有M级运算,用L表示从左到右的运算级数(L=1,2,…,M)。
第L级共有
个不同指数的旋转因子,用R表示这些不同指数旋转因子从上到下的顺序(R=0,1,…,B-1)。
第R个旋转因子的指数
,旋转因子指数为P的第一个蝶的第一节点标号k从R开始,由于本级中旋转因子指数相同的蝶共有
个,且这些蝶的相邻间距为
,故旋转因子指数为P的最后一个蝶的第一节点标号k为:
,本级中各蝶的第二个节点与第一个节点都相距B点。
应用原位计算,蝶形运算可表示成如下形式:
(J)=
(J)+
(J+B)*
(J+B)=
(J)-
(J+B)*
总结上述运算规律,可采用如下运算方法进行DIT-FFT运算。
首先读入数据,根据数据长度确定运算级数M,运算总点数
,不足补0处理。
然后对读入数据进行数据倒序操作。
数据倒序后从第1级开始逐级进行,共进行M级运算。
在进行第L级运算时,先算出该级不同旋转因子的个数
(也是该级中各个蝶形运算两输入数据的间距),再从R=0开始按序计算,直到R=B-1结束。
每个R对应的旋转因子指数
,旋转因子指数相同的蝶从上往下依次逐个运算,各个蝶的第一节点标号k都是从R开始,以
为步长,到
(可简取极值N-2)结束。
考虑到蝶形运算有两个输出,且都要用到本级的两个输入数据,故第一个输出计算完毕后,输出数据不能立即存入输入地址,要等到第二个输出计算调用输入数据完毕后才能覆盖。
这样数据倒序后的运算可用三重循环程序实现。
整个蝶形运算流程图如图3所示。
3.序列倒序
为了保证运算输出的X(k)按顺序排列,要求序列x(n)倒序输入,即在运算前要先对输入的序列进行位序颠倒。
如果总点数为
的x(n)的顺序数是用M位二进制数表示,则倒序数只需将顺序数的二进制位倒置即可,按照这一规律用硬件电路和汇编语言很容易产生倒序数。
但用MATLAB等高级语言实现倒序时,直接倒置二进制数位的方法不可取,还须找出产生倒序的十进制规律。
将十进制顺序数用I表示,与之对应的二进制数用IB表示。
十进制倒序数用J表示,与之对应的二进制数用JB表示。
JB是IB的位倒置结果,十进制顺序数I增加1,相当于IB最低位加1且逢2向高位进1,即相当于JB最高位加1且逢2向低位进1。
JB的变化规律反映到J的变化分二种情况:
如果JB的最高位是0
,则直接由加1
得到下一个倒序值;如果JB的最高位是1
,则要先将最高位变0
,再在次高位加1
。
但次高位加1时,同样要判断0、1值,如果是0
,则直接加1
,否则要先将次高位变0
,再判断下一位。
依此类推,直到完成最高位加1,逢2向右进位的运算。
利用这一算法可按顺序数I的递增顺序,依次求得与之对应的倒序数J。
为了节省内存,数据倒序可原址进行,当I=J时不需要交换,当I≠J时需要交换数据。
另外,为了避免再次调换前面已经调换过的一对数据,只对I 图3中数据倒序的程序流程图如图4所示。 例如,N=8时,序列倒序结果如表1所示。 表1码位倒序(N=8) 自然顺序二进制倒位序二进制倒位顺序 00000000 10011004 20100102 30111106 41000011 51011015 61100113 71111117 四、设计过程 3Matlab程序实现 3.1源程序 fs=input('输入采样频率fs=');%语音信号采样频率为fs N1=input('输入所需变换的起点N1='); N2=input('输入所需变换的终点N2='); fn=input('EnterWAVfilename: ','s');%获取一个*.wav的文件 [x,fs,nb]=wavread(fn,[N1N2]);%读取语音信号的数据 sound(x,fs,nb);%播放语音信号 %n=N2-N1+1;%当语音信号文件较大时用这两条 %x1=reshape(x,1,2*n);%语句替换x1=x'; x1=x'; y1=fft(x1); figure (1) plot(x1)%做原始语音信号的时域图形 title('语音信号时域波形') xlabel('n'); ylabel('幅值'); M=nextpow2(x1);%求x的长度对应的2的最低幂次m N=2^M; iflength(x1) x1=[x1,zeros(1,N-length(x1))];%若x的长度不是2的幂,补零到2的整数幂 end %数据倒序操作 J=0;%给倒序数赋初值 forI=0: N-1;%按序交换数据和算倒序数 ifI T=x1(I+1);x1(I+1)=x1(J+1); x1(J+1)=T; end %算下一个倒序数 K=N/2; whileJ>=K; J=J-K;K=K/2; end J=J+K; end %x1; y=x1;%将x倒序排列作为y的初始值 WN=exp(-i*2*pi/N); forL=1: M B=2^L/2;%第L级中,每个蝶形的两个输入数据相距B个点,每级有B个不同的旋转因子 forJ=0: B-1%J代表了不同的旋转因子 p=J*2^(M-L); WNp=WN^p; fork=J+1: 2^L: N%本次蝶形运算的跨越间隔为2^L kp=k+B;%蝶形运算的两个因子对应单元下标的关系 t=y(kp)*WNp;%蝶形运算的乘积项 y(kp)=y(k)-t;%蝶形运算,注意必须先进行减法运算,然后进行加法运算,否则要使用中间变量来传递y(k) y(k)=y(k)+t;%蝶形运算 end end end %y figure (2) [x1,w1]=freqz(x1,1);%绘制原始语音信号的频率图 plot(w1,abs(x1)); title('x1的频率响应特性') xlabel('频率'); ylabel('幅度'); figure(3) subplot(2,1,1); plot(abs(y1))%Matlab自带的FFT函数实现的语音信号的FFT频谱图 title('Matlab自带的FFT函数实现的x1的频谱') xlabel('K'); ylabel('Y1(k)'); subplot(2,1,2); plot(abs(y));%编写的FFT程序实现的语音信号的FFT频谱图 title('编写的FFT程序实现的的x1的频谱') xlabel('K'); 3.1实验结果图 用1.wav作为例子,运行调试程序。 1.程序运行开始时,要求输入采样频率fs(fs=1024),所需要变换的起点N1(N1=1000)和终点N2(N2=5095)以及要采样的语音文件(ringin.wav);其中N1和N2的差值必须在语音信号长度范围内,但不能太小,否则听不到较为清晰的语音。 其输入窗口显示如图5所示。 图5程序开始运行时界面 将fs=1024,N1=1000,N2=5095和语音信号ringin.wav输入后得到采样后的语音信号x1的时域波形,如图6所示,其频率响应特性如图7所示,Matlab自带的FFT函数实现的x1的频谱与编写的FFT程序实现的x1的频谱的比较如图8所示 。 图6采样后的语音信号的时域波形 图7X1的频率响应特性 图8FFT函数实现的x1的频谱与编写的FFT程序实现的x1的频谱的比较 数据分析 取不同的点数进行FFT变换,经观察,编写FFT程序得到的语音信号的频谱图与Matlab中自带的FFT函数得到的语音信号频谱图总是基本一致,但是如果输入的N1和N2差值加1不是2的整数次幂就会有细微差别,这是因为编写的快速傅里叶变换计算信号的N点傅里叶变换要求N为2的整数次幂,不够的话信号将会被补零后运算,即参与运算的信号已经不同(差别很小),所以FFT运算后的结果也不尽相同,所示频谱图自然有细微的差别。 由用MATLAB自带FFT函数实现的频谱图与用MATLAB编写的FFT程序实现的频谱图相比较,可知,两个算法计算后的结果几乎相同,验证了自编算法的正确性。 如果改变输入的值和语音信号,那么得到不一样的时域波形,频率响应,通过FFT得到频谱都会不同。 需要注意的是自由输入的语音信号不同,其长度也不同,所以根据要输入的语音信号输入N1,N2的值。 5心得体会 本次实习的主要内容是通过用Matlab实现FFT的设计,可以实现对一段自己录制的语音信号进行分析,并画出采样信号的时域与频域图。 把自己编写的FFT算法与Matlab自带FFT算法进行比较。 程序运行调试时,自己选择输入要采样的语音信号,采样频率以及要变换的范围,可以实现对不同信号的信号采样和进行不同点的FFT运算。 在之前数字信号处理的学习以及完成实验的过程中,已经使用过Matlab,对其有了一些基础的了解和认识,通过这次的课程设计使我进一步了解了信号的产生,采样及频谱分析的方法,以及其中产生信号和绘制信号的基本命令和一些基础编程语言。 让我感受到只有在了解课本知识的前提下,才能更好的应用这个工具,并且熟练的应用Matlab也可以很好的加深我对课程的理解,方便我的思维。 这次课程设计使我了解了Matlab的使用方法,提高了自己的分析和动手实践能力。 同时我相信,进一步加强对MATLAB的学习与研究对我今后的学习将会起到很大的帮助。 这次的课程设计是对本学期所学知识的一次重要巩固,使得在课堂上掌握的知识得到了真正的运用。 在学习的过程中和同学讨论,更明白了理论知识与实践的联系。 书到用时方恨少,有些知识学会是一回事,掌握是一回事,但应用起来,确实不是那么简单的,需要很多知识的融会贯通。 程序运行调试初期,曾经多次出现错误、不能产生图形等问题,但在我翻阅资料认真改正及老师的帮助下基本功能还是完成了,程序已得到一些完善,能完成基本的要求的功能。 学习就是一个了解,疑惑,进而解惑的过程,这次课程设计就是提供了这样一个发现自己知识漏洞,与老师同学探讨进行解惑的的机会。 通过这次课程设计实习,我更深刻的了解了Matlab的运用,重新复习了FFT中的重要的序列倒序和蝶形变换的程序,对课本上的知识有了更深的理解,使我对数字信号处理有了系统的认知。 在这里特别感谢金星老师,他给了我们很大的帮助与指导,让我们真正自己动手真正掌握了知识,感谢老师细心指导。
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