届一轮复习人教A版理科第65讲 用样本估计总体 学案.docx
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届一轮复习人教A版理科第65讲用样本估计总体学案
第65讲 用样本估计总体
考试说明1.了解分布的意义和作用,能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,体会它们各自的特点.
2.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差.
3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释.
4.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想.
5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
考情分析
考点
考查方向
考例
考查热度
用样本估
计总体
总体分布的估计
2015全国卷Ⅱ18,2016全国卷Ⅲ4,2017全国卷Ⅲ3
★☆☆
总体特征数的估计
2014全国卷Ⅰ18,2017全国卷Ⅱ18
★★★
茎叶图
2015全国卷Ⅱ18
★☆☆
真题再现
■[2017-2013课标全国真题再现
1.[2017·全国卷Ⅲ某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:
万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是( )
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
[解析A 由题图可知,2014年8月至9月的月接待游客量在减少,故A选项错误.
2.[2016·全国卷Ⅲ某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )
A.各月的平均最低气温都在0℃以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20℃的月份有5个
[解析D 平均最高气温高于20℃的月份有七、八2个月.
3.[2017·全国卷Ⅱ海水养殖场进行某水产品的新、旧箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个箱,测量各箱水产品的产量(单位:
g),其频率分布直方图如图所示:
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50g,新养殖法的箱产量不低于50g”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99的把握认为箱产量与养殖方法有关;
箱产量<50g
箱产量≥50g
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).
附:
2=.
解:
(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50g”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50g”.
由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).
旧养殖法的箱产量低于50g的频率为
(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,
故P(B)的估计值为0.62.
新养殖法的箱产量不低于50g的频率为
(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,
故P(C)的估计值为0.66.
因此,事件A的概率估计值为0.62×0.66=0.4092.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表:
箱产量<50g
箱产量≥50g
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
2=≈15.705.
由于15.705>6.635,故有99的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50g的直方图面积为
(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,
箱产量低于55g的直方图面积为
(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
50+≈52.35(g).
4.[2015·全国卷Ⅱ某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A地区:
62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78
86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区:
73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93
48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可).
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C:
“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.
解:
(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:
通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.
(2)记CA1表示事件:
“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;CA2表示事件:
“A地区用户的满意度等级为非常满意”;CB1表示事件:
“B地区用户的满意度等级为不满意”;CB2表示事件:
“B地区用户的满意度等级为满意”.
则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1∪CB2CA2,所以P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).
由所给数据得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为,,,,故P(CA1)=,P(CA2)=,P(CB1)=,P(CB2)=,所以P(C)=×+×=0.48.
■[2017-2016其他省份类似高考真题
1.[2017·北京卷三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.
①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是 ;
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是 .
[答案Q1 p2
[解析由图示看出Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标>Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标>Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标.由图示看出Q1与Q2接近,但是第2名工人所用的时间明显偏少,因此p2最大.
2.[2016·山东卷某高校调查了200名生每周的自习时间(单位:
小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30,样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30.根据直方图,这200名生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56B.60
C.120D.140
[解析D 由频率分布直方图得,每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(0.16+0.08+0.04)×2.5×200=140.
3.[2016·四川卷我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:
吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(3)若该市政府希望使85的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.
解:
(1)由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04,
同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,
解得a=0.30.
(2)由
(1)可知,100位居民每人的月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
故可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000.
(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,
前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,
所以2.5≤x<3.
由0.30×(x-2.5)=0.85-0.73,
解得x=2.9.
所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85的居民每月的用水量不超过标准.
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.
(1)最大值 最小值
(2)组距 组数 (3)分组
(4)频率分布表 (5)频率分布直方图
2.
(1)中点
(2)所分的组数 组距
3.随时
4.
(1)最多 从小到大 中间
(2)样本数据 样本容量 样本平均数
对点演练
1.25 [解析依题意知,月均用水量在[2,2.5)范围内的频率为0.5×0.5=0.25,故所求居民人数为100×0.25=25.
2.乙 [解析从茎叶图可以看出,乙的数据分布更加集中,所以乙运动员的发挥更稳定.
3.0.016 [解析易得射击成绩的平均数为9.5,故方差s2=×[(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2+(9.7-9.5)2=0.016.
4.3 [解析设这100个成绩的平均数为,则==3.
5.5 8 [解析由中位数的定义可知x=5,因为(y+5+8)+30+9+24=5×16.8,所以y=8.
6.40 [解析前3个分组的频率和为1-(0.0375+0.0125)×5=0.75,所以第2个分组的频率为×0.75=0.25,所以抽取的生人数为=40.
7.s2>s1>s3 [解析由标准差的几何意义得,数据越稳定,标准差越小.又数据越接近均值,数据越稳定,因此s2>s1>s3.
【课堂考点探究】
例1 [思路点拨
(1)画出女性用户和男性用户的频率分布直方图,由图可得女性用户评分的波动小,男性用户评分的波动大;
(2)利用分层抽样的方法从男性用户中抽取20名用户,评分不低于80分的有6人,其中评分小于90分的人数为4,从6人中任取3人,记评分小于90分的人数为X,根据X的取值计算对应的概率,求出X的分布列和数期望.
解:
(1)对于女性用户,各分组的频率分别为0.1,0.2,0.4,0.25,0.05,
其相对应的小长方形的高分别为0.01,0.02,0.04,0.025,0.005;
对于男性用户,各分组的频率分别为0.15,0.25,0.30,0.20,0.10,
其相对应的小长方形
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