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彩票中的数学
B题 彩票中的数学
近年来"彩票飓风"席卷中华大地,巨额诱惑使越来越多的人加入到"彩民"的行列,目前流行的彩票主要有"传统型"和"乐透型"两种类型。
"传统型"采用"10选6+1"方案:
先从6组0~9号球中摇出6个基本号码,每组摇出一个,然后从0~4号球中摇出一个特别号码,构成中奖号码。
投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码(可重复),从0~4中选一个特别号码,构成一注,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。
以中奖号码"abcdef+g"为例说明中奖等级,如表一(X表示未选中的号码)。
"乐透型"有多种不同的形式,比如"33选7"的方案:
先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号,再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。
投注者从01~33个号码中任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。
又如"36选6+1"的方案,先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号,再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。
从01~36个号码中任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。
这两种方案的中奖等级如表二。
以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%,投注者单注金额为2元,单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。
现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三,其中一、二、三等奖为高项奖,后面的为低项奖。
低项奖数额固定,高项奖按比例分配,但一等奖单注保底金额60万元,封顶金额500万元,各高项奖额的计算方法为:
[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例
(1)根据这些方案的具体情况,综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。
(2)设计一种"更好"的方案及相应的算法,并据此给彩票管理部门提出建议。
(3)给报纸写一篇短文,供彩民参考。
2002年全国大学生数学建模竞赛
(B题)
湖南农业大学
(410128)
队员
伍俊祥
谭聪权
张新其
指导老师
王志明
完卷日期2002年9月23日
彩票中的数学模型设计
[摘要]本文分两个部分。
首先我们利用
软件算出了29种方案的各奖项的中奖概率,并对其进行数据处理,建立了以各项奖金额的平均方差和为评判标准。
利用多目标搜索法编程求出其最优化方案,并列出其奖金分配比例。
并且我们从该模型可以很明确地看出奖项和奖金额的设置对模型结果的影响比较大;结论是方案6最好。
其次,在第一个模型的基础上,我们考虑了更一般的情况,建立了第二个模型。
模型二依旧采用模型一的评价标准,只不过模型二考虑到了更改奖项和奖金额的设置、奖项之间的比例分配大小等因素变化对结论的影响。
模型二在那些影响彩民吸引力的诸多因素中进行搜索,因此我们通过模型二完全可以找到一个合理的方案来。
本文的结论及提出的评判标准,对于彩票发行具有很强的指导性,列出了很多较优方案供有关部门参考。
一问题重述:
关于彩票抽奖有很多种玩法即方案,例如6+1/10,7/33,6+1/33,7/35等。
这些方案基本上都有这样的规则:
返回奖金比例一定,一等奖的保底和封顶金额都固定。
高项奖按比例分配,低项奖数额固定。
问题为1:
对这些已有的方案加以分析各种奖项的概率,并从奖项和奖金额的设置对彩民的吸引力等因素出发分析其方案的合理性;2:
设计一个更优的方案,并写出其算法;3:
写出一篇短文,供彩民在实际操作中参考。
二基本假设
(1)假设每人只买一注奖券,若有一人买多注的情况则看成是多个人每人只买一注的情况。
每注金额为2元。
若有m个人购买,则卖奖券的总的资金收入为
,那么各种方案各个奖项的实际中奖人数就为
。
(2)忽略上次滚入的金额数。
即每次买奖券的人员中的实际中奖比例就为各种方案中各种奖项的中奖比例,而且每次抽奖的奖金全部返回给彩民。
(3)每次卖彩票的总收入的
至少多于各奖项的保底金额。
(4)每次中一等奖的保底金额为60万元,封顶金额为500万元。
并且得高级别的奖不再兼得低级别的奖。
三符号说明
中
等奖的每个人所能够得到的奖金金额
买彩票的总人数
通过低项奖返回给彩民的金额
第
种方案中第
等奖的概率
第
种方案中第
等奖占高项奖总奖金的百分比
或低项奖的单注保底金额
。
表示在高项奖中一等奖奖金达到保底时所需分配的最小比例矩阵。
表示在高项奖中一等奖奖金达到封顶时所需分配的最大比例矩阵。
四数据预处理
我们首先用
软件编程(程序见附录的程序一)求出了题目给出的29种方案中各奖项的中奖概率如下表(表一):
(在
软件程序里我们把该表记为矩阵
)
序号
一等奖
二等奖
三等奖
四等奖
五等奖
六等奖
七等奖
1
2e-7
8e-7
1.5e-5
2.61e-4
3.4e-3
3.73e-2
0
2
2e-7
8e-7
1.5e-5
2.61e-4
3.4e-3
3.73e-2
0
3
2e-7
8e-7
1.5e-5
2.61e-4
3.4e-3
3.73e-2
0
4
2e-7
8e-7
1.5e-5
2.61e-4
3.4e-3
3.73e-2
0
5
6.4e-7
4.48e-6
9.42e-5
2.8e-4
2.8e-3
4.2e-3
2.98e-2
6
6.4e-7
1.4e-5
8.46e-5
8.88e-4
2.2e-3
1.48e-2
7.79e-2
7
4.9e-7
3.4e-6
7.56e-5
2.27e-4
2.4e-3
4.0e-3
2.65e-2
8
4.9e-7
3.4e-6
7.56e-5
2.27e-4
2.4e-3
4.0e-3
2.65e-2
9
4.9e-7
3.4e-6
7.56e-5
2.27e-4
2.4e-3
4.0e-3
2.65e-2
10
3.8e-7
2.66e-6
6.12e-5
1.8e-4
2.0e-3
3.4e-3
2.36e-2
11
3.8e-7
2.66e-6
6.12e-5
1.8e-4
2.0e-3
3.4e-3
2.36e-2
12
2.97e-7
2.1e-6
4.99e-5
1.5e-4
1.7e-3
2.9e-3
2.1e-2
13
2.97e-7
2.1e-6
4.99e-5
1.5e-4
1.7e-3
2.9e-3
2.1e-2
14
2.97e-7
2.1e-6
4.99e-5
1.5e-4
1.7e-3
2.9e-3
2.1e-2
15
2.34e-7
1.64e-6
4.1e-5
1.23e-4
1.5e-3
2.5e-3
1.88e-2
16
2.34e-7
1.64e-6
4.1e-5
1.23e-4
1.5e-3
2.5e-3
1.88e-2
17
1.86e-7
1.30e-6
3.38e-5
1.01e-4
1.3e-3
2.1e-3
1.69e-2
18
1.86e-7
1.30e-6
3.38e-5
1.01e-4
1.3e-3
2.1e-3
1.69e-2
19
1.49e-7
1.04e-6
2.81e-5
8.43e-5
1.1e-3
1.8e-3
1.52e-2
20
1.49e-7
1.04e-6
2.81e-5
8.43e-5
1.1e-3
1.8e-3
1.52e-2
21
1.49e-7
1.04e-6
2.81e-5
8.43e-5
1.1e-3
1.8e-3
1.52e-2
22
1.49e-7
1.04e-6
2.81e-5
8.43e-5
1.1e-3
1.8e-3
1.52e-2
23
1.49e-7
2.4e-5
1.18e-3
1.7e-2
1.06e-1
0
0
24
1.2e-7
3.47e-6
2.08e-5
2.91e-4
7.31e-4
6.6e-3
8.8e-3
25
1.2e-7
3.47e-6
2.08e-5
2.91e-4
7.31e-4
6.6e-3
8.8e-3
26
1.2e-7
8.39e-7
2.35e-5
7.04e-4
9.5e-4
1.6e-3
1.37e-2
27
9.7e-8
6.8e-7
1.97e-5
5.91e-5
8.28e-4
1.4e-3
1.24e-2
28
2.6e-7
1.56e-6
5.16e-5
1.29e-4
2.1e-3
2.8e-3
2.84e-2
29
1.83e-7
9.15e-7
4.9e-5
9.88e-5
2.6e-3
2.6e-3
4.54e-2
<表一>
特别地:
第23种方案因为它的各奖项奖金的分配比较特殊,所以它的中奖概率是我们另外算出来的。
五模型的建立与求解
<一>对问题1的分析与求解
本小题的目标是根据题目已经给定的记录数据通过分析计算而得到一种最能够吸引彩民的方案,以帮助彩票部门进行决策,使得买彩票的人数尽可能多。
我们可以用每种彩票对彩民的吸引程度的大小来表示这种彩票发行方案设计的合理性。
某种彩票发行方案对彩民的吸引程度越大表示该种彩票发行方案设计越合理。
要增加对彩民的吸引度,我们可以从以下面几个条件考虑:
1、高项奖的金额比较大
2、高项奖的中奖率比较高
3、总中奖率要比较大
我们认为跟上述条件符合性越好,则该种方案对彩民的吸引力越大。
又我们从彩民的中奖心理来看,彩民都看好那种高项奖的中奖率和高项奖的总金额都比较高的那种彩票类型。
基于以上几个方面的考虑,我们发现用各项奖的单注金额的方差和(
)对以上几个条件的区分度比较高,而且该和越小的那种方案与我们的条件符合度越好。
所以,根据我们的理解,我们认为,该和如果越小,则表明中奖的比例越大,这样会使得更多的彩民购买该彩票。
彩民越多当然表明该彩票比较合理了;反之,如果该和越大,则表明中奖的比例越小,这样的话购买该彩票的人当然会少,这显然不是我们所看到的结果。
显然也不是较合理的方案。
基于以上思想,我们给出如下模型:
S.T
我们用
软件编程求解,程序见(附录的程序二)。
我们的编程思路如下:
1建立中奖概率矩阵P和奖金分配矩阵A
2求出中第i等奖的总人数
3求出底项奖奖金总金额
4分别求前三等奖的单注金额
5求各方案的方差和。
我们得到的最终结果为见下表(表二)
序号
差值
序号
差值
序号
差值
1
4.9831e+012
2
3.3915e+012
3
4.1887e+012
4
4.8986e+012
5
5.2552e+011
6
4.1977e+011
7
5.4242e+011
8
8.5850e+011
9
1.1367e+012
10
5.9424e+011
11
2.8082e+012
12
2.9510e+012
13
3.5087e+012
14
4.0388e+012
15
5.7934e+012
16
5.4813e+012
17
9.2162e+012
18
8.7474e+012
19
1.7215e+013
20
1.0917e+013
21
9.9792e+012
22
1.8526e+013
23
1.9e+013
24
1.7447e+013
25
2.2551e+013
26
8.6969e+012
27
2.8188e+013
28
8.6253e+012
29
7.4935e+012
<表二>
我们利用
的
函数求出它的最小值为
,查得它为第六号方案(即“29选6+1”方案)最好,现在我们再来看第六种方案与我们开始时所提出的三个条件相符合的情况:
六号方案的中奖概率与奖金分配方案如下表(表三):
一等奖
二等奖
三等奖
四等奖
五等奖
六等奖
七等奖
概率
6.4e-7
1.4e-5
8.46e-5
8.88e-4
2.2e-3
1.48e-2
7.79e-2
6.4e-7
1.4e-5
8.46e-5
8.88e-4
2.2e-3
1.48e-2
7.79e-2
得奖
0.60
0.25
0.15
200
20
5
<表三>
我们把六号方案与其他方案进行比较:
首先我们从总体上看六号方案的总中奖率比其他方案基本上要高,再看各高项奖的中奖率几乎都比其他奖项要高,特别是二等奖比其他的大多数方案的中奖率几乎高出了一个数量级,所以我们可以认为他较好的符合了条件三。
我们最后可以看到该分配方案低项奖的单注金额都比较小,虽然他们的中奖概率比较大,但他也不愧为同时保证中奖面与高项奖总金额的一种较好的结合方式。
我们同样可以用
的
函数可以求出第27种方案(即“37选7”方案)是对彩民吸引力最小的方案。
我们用同样的方法逐个条件进行比较后发现这种方案跟我们的条件符合性较差。
同理我们对每个方案都进行评价后发现我们的模型能够较好地区分各种方案对彩民的吸引力进行评价。
<二>问题2的分析与求解
题目要求我们设计出一种彩票发行方案使得这种方案比题设所给出的29种方案都要好。
根据问题一所得到的结果我们知道第六种方案是最好的结果。
所以我们只要找到一个比它更好的方案就可以了。
因为我们在问题一中已经求出了各个方案的方差和,我们把各方案的方差和与各方案的中奖比例放到一起进行比较后我们发现:
1在选奖类型与各奖项的比例都相同的前提下,可选号码个数越小的方案越优。
2在可选号码个数与所选号码个数不变的情况下,有特别号码的比没有特别号码的方案要优。
3在可选号码个数与所选号码个数都相同的情况下,高项奖中二、三等奖所占比率较大和四等奖的金额相对较大的方案较优。
所以我们在找一种更优的方案时就从以上四点出发,依然引用问题一的评价指标去找出一种方差和比较小的即我们认为是更好的方案来。
基于上述思想,我们在现有的29种方案的基础上,不断改变各方案的高项奖的分配比例和低项奖的单注中奖金额,通过计算机搜索出一种最佳方案来。
我们的编程思路如下(完整的算法及程序见附录的程序三):
1我们首先根据一等奖单注保底金额60万计算出29种方案中各一等奖要占高项奖的最小比率
。
再根据一等奖单注封顶金额500万计算出29种方案中各一等奖要占高项奖的最大比率
2我们再给奖金分配矩阵
中的第二列
赋初值为0,给奖金分配矩阵
中的第四列
赋初值为奖金分配矩阵
中的第五列的值
。
3我们给奖金分配矩阵A中的第一列a(:
1)赋值
,然后以一定的步长
(比如
)逐部增加
,使
达到
为止。
4然后当
每增加一个步长
时,我们使a(:
2)不停地增加步长
,直到它为
为止,同时当
,每增加一个步长
时我们都检验一次
的值,当
时我们就停止搜索,跳出循环。
即不再增加
和
的值。
此时对该方案的搜索完毕。
程序转入到执行下一个方案的搜索。
5我们在对每一种方案不停地搜索过程中,对同种方案记下每次搜索的
的值,直到对该方案搜索完毕,然后比较出最小的
值,并同时记下对应这个最小
值的各等奖奖项分布。
然后同样做法转入对下个方案的搜索。
6当然,我们加了如下搜索条件:
我们认为,一等奖一开始从其为保底金额所占的比例开始搜索但不能超过封顶金额,并且我们认为一、二等奖之间,二、三等奖之间均有差距,这些差距我们事先可以人为规定,例如我们规定一、二等奖的差距为100000元,二、三等奖的差距为10000元等,当然在程序里可以更改其差距,以便得到更加全面的结果。
为了观察四等奖在这个模型中所起的作用,我们也可对四等奖进行搜索,最终程序运行的结果也证实了我们的想法。
7最后输出搜索完毕的29种较好方案,然后再比较这29个方案中最优的即可,即
值最小的那个方案就为我们最后模型结果(结果如下表所示)。
序号
Cha(即
)
一等奖比例
二等奖比例
三等奖比例
四等奖数额
1
1.6785e+010
1.3159e-001
5.0000e-002
8.1841e-001
3.0000e+003
2
1.7803e+007
1.8986e-001
5.0000e-002
7.6014e-001
2.8500e+003
3
1.7803e+007
1.8986e-001
5.0000e-002
7.6014e-001
2.8500e+003
4
1.7803e+007
1.8986e-001
5.0000e-002
7.6014e-001
2.8500e+003
5
1.7121e+009
4.8349e-001
3.0000e-002
4.8651e-001
3.0000e+003
6
8.0652e+006
5.5514e-001
7.0000e-002
3.7486e-001
9.9000e+002
7
6.4668e+007
5.2220e-001
3.0000e-002
4.4780e-001
3.0000e+003
8
6.0819e+008
4.5404e-001
3.0000e-002
5.1596e-001
3.0000e+003
9
4.0869e+009
4.2403e-001
3.0000e-002
5.4597e-001
3.0000e+003
10
4.5371e+009
4.6059e-001
3.0000e-002
5.0941e-001
3.0000e+003
11
7.2838e+010
2.7346e-001
4.0000e-002
6.8654e-001
3.0000e+003
12
1.0823e+011
2.2973e-001
4.0000e-002
7.3027e-001
3.0000e+003
13
1.0823e+011
2.2973e-001
4.0000e-002
7.3027e-001
3.0000e+003
14
1.0823e+011
2.2973e-001
4.0000e-002
7.3027e-001
3.0000e+003
15
1.5527e+011
1.8097e-001
4.0000e-002
7.7903e-001
3.0000e+003
16
1.2978e+011
1.9858e-001
4.0000e-002
7.6142e-001
3.0000e+003
17
1.9921e+011
1.3429e-001
4.0000e-002
8.2571e-001
3.0000e+003
18
1.8562e+011
1.4451e-001
4.0000e-002
8.1549e-001
3.0000e+003
19
2.2089e+011
1.0817e-001
4.0000e-002
8.5183e-001
3.0000e+003
20
1.9235e+011
1.3454e-001
4.0000e-002
8.2546e-001
3.0000e+003
21
2.0750e+011
1.4975e-001
4.0000e-002
8.1025e-001
3.0000e+003
22
1.9657e+011
1.1954e-001
4.0000e-002
8.4046e-001
3.0000e+003
23
2.2119e+011
9.9627e-002
4.0000e-002
8.6037e-001
2.9920e+003
24
1.8611e+007
1.1724e-001
1.3000e-001
7.5276e-001
2.8000e+003
25
2.1010e+007
1.1064e-001
1.3000e-001
7.5936e-001
2.9500e+003
26
9.0717e+006
1.4953e-001
3.0000e-002
8.2047e-001
1.2300e+003
27
3.1390e+011
8.6725e-002
4.0000e-002
8.7327e-001
3.0000e+003
28
1.4697e+011
1.7414e-001
3.0000e-002
7.9586e-001
3.0000e+003
29
1.9469e+011
1.3304e-001
2.0000e-002
8.4696e-001
3.0000e+003
然后用
对求最小的
,结果如下
6
8.0652e+006
5.5514e-001
7.0000e-002
3.7486e-001
9.9000e+002
但当我们改动程序中的一、二等奖,二、三等奖的差距时,又会出现另外一种新的方案,可见,奖项间的差距是影响我们的结果的一个重要因素。
这表明若在被选号码和中奖号码一定的情况下,管理部门可以改变各奖项之间的比例来吸引更多的彩民。
六模型改进方向
我们在第二个模型中只是考虑一、二、三、四等奖变化的影响,并没有涉及到第五、六、七等奖数额的改变对模型结果的影响。
这是因为我们从上面的数据中观察发现前者在整个系统当中起主要作用。
如果我们把后者也考虑进来的话,这当然会更加合理了。
另外,在实际操作中某次摇奖的本金还应加上上次滚入的金额。
但这些因素我们都忽略了
。
七问题三的求解
致彩民朋友的一封信
彩票以其独特的魅力,在中华大地上掀起了一轮又一轮的购买狂潮,深受广大人民的喜爱。
我们要正确而客观认识彩票,不随波逐流.。
彩票是国家为社会公益事业筹资金的一种公益行为.它不存在人为的操作,因此我们购买彩票是公平的,其中奖机会是均等的.即彩票中心开出的中奖号码是随机的,是事先无法预测性.能否中奖主要就在于彩民自己的预测.但是彩票的中奖概率也是能否中奖一个重要因素.简而言之,理论概率越大则越易中奖.
在彩票发行一定下,其总的奖金是一定的.如果中奖面要大,肯定要减少其奖金金额,奖金过低就会减低我们的购买积极性,二者是相互矛盾的.不同人有不同偏好,有人要中大奖,宁可机会少;有人要中奖机会大,小奖也好。
因此各种彩票对不同彩民有不同的吸引力,购买彩票种类也要因人而异。
‘传统型’彩票“10选6+1”玩法,数字型玩法特点之一就是选择范围小,每个正选号的选择范围在0~9之间,特别号的选择范围在0~4之间,选择范围小了,彩民选中
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