第3章离散傅里叶变换及其快速算法.docx
- 文档编号:8976082
- 上传时间:2023-02-02
- 格式:DOCX
- 页数:24
- 大小:489.87KB
第3章离散傅里叶变换及其快速算法.docx
《第3章离散傅里叶变换及其快速算法.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第3章离散傅里叶变换及其快速算法.docx(24页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第3章离散傅里叶变换及其快速算法
第3章离散傅里叶变换及其快速算法
3.1离散傅里叶变换(DFT)
3.2利用DFT做连续信号的频谱分析
3.3快速傅里叶变换(FFT)
3.4FFT应用中的几个问题
散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义,相对于DTFT他更便于用计算机处理.但是,直至上个世纪六十年代・由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大,离散傅里叶变换长期得不到真正的应用,快速离散傅里叶变换算法的提出,才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能,并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。
近年来,计算机的处理速率有了惊人的发展,同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法,但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其
第一章中,我们学习离散时间信号的傅里叶变换
(DTFT),我们知道DTFT在频域是连续的周期函数,不便于计算机计算和存储;对于有限长序列我们还可以用离散傅里叶变换(DFT)反映其特点,且DFT便于计算机处理。
为了便于更好地理解DFT及离散傅里叶级数(DFS)的槪念,我们首先
来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。
傅里叶变换的几种形式:
1.非周期连续时间信号的傅里叶变换
6
XMG)=(必"心
2.周期连续时间信号的傅里叶变换
周期为Ti的连续时间信号在满足狄里赫利条件时可展开为指数形式的傅里叶级数!
丘⑴=£/叫昭=¥
&«-81I
图3・1(b)周期连续时间信号的傅里叶变换
3.非周期离散时间信号的傅里叶变换
X(J")=工兀x(n)=——JX
o=G7\X("Q)是以2”周期的周期艱
图3.1(c)非周期离》时间信号的傅里叶变換
4.周期离散时间信号的傅里叶变换
1:
1
个域的
根据前面三种傅里叶变换可发现如下规律:
如果信号时域离散,则频域表现为周期性频率函数;相反如频域离散,则时域表现为周期性时间函数.同样可见:
连续对应另一个域的非周期-
因此,我们可以猜想到一个周期离散序列的频谱必定是离散的、周期的,(如图3.1(d))所示。
t
t
Jf
b\
4
*
4
h
/
W/
IlfK
1i'n.,1丨
■
%
h/
tt
•
9
■
.・
%
1
*
f
t
.A
-TT°
•—na
i(«)
n
图3.1(d)周期离散时间信号的傅里叶变换
L——°NT
A
ZT
—N点*
3.1.1离散傅里叶级数(DFS)
LDFS的定义:
一个周期为N的周期序列,即:
x(n)=x(n-hkN)
其中,()S 周期序列不能进行Z变换,因为其在n二-0O到+8都周而复始永不衰减,即Z平面上没有收敛域。 但是,正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达,周期序列也可用离散的傅氏级数来表示,也即用周期为N的正弦序列来表示。 为了容易理解DFS我们首先回顾一下模拟信号及采样信号的傅里叶级数。 一周期为T]模拟信号的指数形式的傅里叶级数为: 0O 壬⑴=£心小5其屮: 昭为基频频率 上=一€0 若以AT为采样间隔对该信号进行采样,一周内采样点数为N,则T产NAT,上式中: 八,2%at2兀 £27=——t—«AT=——n 'T\NATN 采样信号的基频成分为: (77)=F&心/N* 第k次谐波为: 勺(允)=耳 与连续信号的傅氏级数的不同之处是离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的,因为: 7(2兀/NX(R+NM)_丿(2兀/小如 匕—匕 BP: W—nO)=蘇(n) 所以将周期序列展成离散傅里叶级数时,只W取k=0到(N-1)这N个独立的谐波分量,即一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数 1N-1 x(z7)=—伙)NK=0 系数X伙)的求解: 对上式两边乘以£a并对一个周期求和得: X伙) 11 上式中[]部分显然只有当Jtw+MV时才有值为1,其他任意k值时均为零,所以有: N-1-■2< £壬(72比7声厂"=X(r)0 灯=0 0 或写成: X伙)=£巩"比%万)" /i=0 可求N次谐波的系数X{k) 沁)也是一个由N个独立i皆波分S组成的傅立叶级数 X伙)为周期序列,周期为N(见下式推导)° N-I X{k+mN}=工元⑺0比讪)曲叫 幵=0 =£丘仇比汕2〃小如=%伙) H-0 以上推导说明: 时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。 定义: X伙)0壬⑺)是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对,这种对称关系可表为: 1N_\ x{n}=IDFS\X{k}}=—伙)JS/nm N-\ X(k)=DFS[x(n)\=工壬⑺比」"/“血12 zj—O 通常沁必=£一心小) 则DFS变换对可写为 N-I 文伙)=工宪(舁)吩=DFS[x{n)] n=: O 1N-Ir X(”)=—工X伙)WJ如=/DFs[x(k) N DFS[・]——离散傅里叶级数变换 IDFS[]——离散傅里叶级数反变换。 DFS变换对公式表明,一个周期序列虽然是无穷长序列,但是只要知道它一个周期的内容(一个周期内信号的变化情况),其它的内容也就都知道了,所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的,因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。 补例1已知周期序列丘⑺)如图3.2(a)所示,其周期N=10>试求它的傅里叶级数系数X伙)。 4, T答Asin(5I;T/10) =eu sin伙;r/lO) lV|3.2(a)周期序列壬S) 解: 由傅里叶级数逆变换公式知: AM10-1 去仏)=£左何必"=£左(舁)%席 n=0n=0 _l-e忖_cq(/w-e1°) ・2M■•宵I♦斤■・戻t -J——k-J—kJ一k-J—k l-e'«w1°(e1°-w1°) 周期序列XU)的幅值示意图如下图示: 图3.2(b)傅里叶系数的幅值 补例2若双⑵是上例中周期序列x")的主值序列,求其傅里叶变换X(ej3)。 如将3=27rk/N(N=10)代入X(e^)则得: Xps)的IMF值如图3・3所示, 2.DFS的性质 假设戈⑺)、刃①都是周期为N的两个周期序列,各自的离散傅里叶级数为: Jx(/: )=/>FS[x(Z7)] [Y(k)=DFS[y(n)] (1)线性 DFS[ax{n)十hy(n)]=aX{k)十bY(k) 其中: a.b为任意常数。 (2)序列的移位 fDFS\x(n-^m)]=X(k) [IDFs[x(k+/)]=Wh皎O) (3)序列的对称性 对于复序列丘S),其共辄序列戸(刃)满足: DFSx{n)=X*(-k) 证明: DFs[l*(«)]=S)W胪 zi=0 jV—1 =(》xS)Wh)•=&(*) M=0 同理: DFS[x(-/;)]=X*(^) 共觇偶对称分量X^(k)=-[X伙)4亍(N-Z: )]和k)=X: (N-k) 共轨奇对称分量X°(可=1戊伙)_灯(2")]沐Q=-X: (N-k) 由于%伙)、X(-k)是周期为N的周期序列,所以 X(-k)=X(N-k) 进一步可得 +X(/z)l DFS[Re{x(〃)}]=-DFS[x(«) 2 =-[X伙)+0(-幻]=才文伙)+0("-上)] U|J: DFSRe{%(«)}=-[X{k)+X\N-k)]=X^{k)」2 同样可推得: DFSjhn{x(n)}=-[X(k)-X^N-k)]=X^(k} J」2 (4)周期卷积定理a・时域周期卷积定理若 21 N-\ F(k)=X{k)Y(k) f(n)=IDESF伙)=x{m}y{n—m} ZH-0 ~N-\ 7(aO=工$(m)左G-m) /ZI=() 这是一个卷积公式,但与前面讨论的线性卷积的差别在于,这里的卷积过程只限于一个周期内(即/n=(MV・l),称为周期卷积。 补例3: x(n).歹⑺)分如图3・5所示其周期均为朋7,宽度分别为4和3,求周期卷积。 -N ••• -N X(H} J(n)f y(O-m) -N ♦•••丨》I —N/(/! )' 图3.5周期卷积 从上面的例题中可以看出,两个周期为N的序列周期卷积的结果仍为周期序列,且周期为N。 b・频域卷积定理 由于DFS与IDFS的对称性,对周期序列乘积,存在着频域的周期卷积定理。 若f{n)=x(n)y(n) 则心沁“寿”门 1NT 点文(") 3.1.2离散傅里叶变换 我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义,因此它的许多特性可推广到有限长序列上。 一个有限长序列x(n).长为N, x(z/)0<« 咖珂0其它” 为了引用周期序列的概念,假定一个周期序列壬⑺),它由长度为e的有限长序列双川延拓而成,它们的关系: co x(n)=工x(z2+zTV) r——m A(Z7)= 25 JxG)0<« 1.周期序列的主值区间与主值序列: 对于周期序列x(n),定义其第一个周期为x{n)的“主值区间”,主值区间上的序列为主值序列x(n)O丿与x(n)的关系可描述为: \双嚟豎驚是壬ooiTr主值丿于夕屮fl0
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 离散 傅里叶变换 及其 快速 算法