第3章 32 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式精品教育doc.docx
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第3章32用数学归纳法证明不等式贝努利不等式精品教育doc
3.2 用数学归纳法证明不等式,贝努利不等式
3.2.1 用数学归纳法证明不等式
3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式
1.会用数学归纳法证明简单的不等式.
2.会用数学归纳法证明贝努利不等式;了解贝努利不等式的应用条件.
[基础·初探]
教材整理1 用数学归纳法证明不等式
在不等关系的证明中,有多种多样的方法,其中数学归纳法是最常用的方法之一,在运用数学归纳法证不等式时,推导“k+1”成立时其他的方法如比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地运用.
教材整理2 贝努利不等式
1.定理1(贝努利不等式) 设x>-1,且x≠0,n为大于1的自然数,则(1+x)n>1+nx.
2.定理2(选学) 设α为有理数,x>-1,
(1)如果0<α<1,则(1+x)α≤1+αx;
(2)如果α<0或者α>1,则(1+x)α≥1+αx.当且仅当x=0时等号成立.
事实上,当α是实数时,也是成立的.
设n∈N+,则2n与n的大小关系是( )
A.2n>n B.2n C.2n=nD.不确定 【解析】 2n=(1+1)n,根据贝努利不等式有(1+1)n≥1+n×1=1+n,上式右边舍去1,得(1+1)n>n,即2n>n. 【答案】 A [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: [小组合作型] 数学归纳法证明不等式 已知Sn=1+++…+(n>1,n∈N+),求证: S2n>1+(n≥2,n∈N+). 【精彩点拨】 求Sn再证明比较困难,可运用数学归纳法直接证明,注意Sn表示前n项的和(n>1),首先验证n=2,然后证明归纳递推. 【自主解答】 (1)当n=2时,S22=1+++=>1+,即n=2时命题成立. (2)假设n=k(k≥2,k∈N+)时命题成立,即S2k=1+++…+>1+. 当n=k+1时, S2k+1=1+++…+++…+ >1++=1++=1+. 故当n=k+1时,命题也成立. 由 (1) (2)知,对n∈N+,n≥2,S2n>1+都成立. 此题容易犯两个错误,一是由n=k到n=k+1项数变化弄错,认为的后一项为,实际上应为;二是++…+共有多少项之和,实际上2k+1到2k+1是自然数递增,项数为2k+1-(2k+1)+1=2k. [再练一题] 1.若在本例中,条件变为“设f(n)=1+++…+(n∈N+),由f (1)=1>,f(3)>1,f(7)>,f(15)>2,…”.试问: 你能得到怎样的结论? 并加以证明. 【解】 数列1,3,7,15,…,通项公式为an=2n-1,数列,1,,2,…,通项公式为an=, ∴猜想: f(2n-1)>.下面用数学归纳法证明: ①当n=1时,f(21-1)=f (1)=1>,不等式成立. ②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时不等式成立, 即f(2k-1)>, 则f(2k+1-1)=f(2k-1)+++…++ >f(2k-1)+ =f(2k-1)+>+=. ∴当n=k+1时不等式也成立. 据①②知对任何n∈N+原不等式均成立. 利用数学归纳法比较大小 设Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+x2,n∈N+,x∈(-1,+∞),试比较Pn与Qn的大小,并加以证明. 【导学号: 38000059】 【精彩点拨】 本题考查数学归纳法的应用,解答本题需要先对n取特殊值,猜想Pn与Qn的大小关系,然后利用数学归纳法证明. 【自主解答】 (1)当n=1,2时,Pn=Qn. (2)当n≥3时,(以下再对x进行分类). ①若x∈(0,+∞),显然有Pn>Qn. ②若x=0,则Pn=Qn. ③若x∈(-1,0), 则P3-Q3=x3<0,所以P3<Q3. P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以P4<Q4. 假设Pk<Qk(k≥3), 则Pk+1=(1+x)Pk<(1+x)Qk=Qk+xQk =1+kx++x+kx2+ =1+(k+1)x+x2+x3 =Qk+1+x3<Qk+1, 即当n=k+1时,不等式成立. 所以当n≥3,且x∈(-1,0)时,Pn<Qn. 1.利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立. 2.本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化,变量x也影响Pn与Qn的大小关系,这就要求我们在探索大小关系时,不能只顾“n”,而忽视其他变量(参数)的作用. [再练一题] 2.已知数列{an},{bn}与函数f(x),g(x),x∈R,满足条件: b1=b,an=f(bn)=g(bn+1)(n∈N+),若函数y=f(x)为R上的增函数,g(x)=f-1(x),b=1,f (1)<1,证明: 对任意x∈N+,an+1<an. 【证明】 因为g(x)=f-1(x),所以an=g(bn+1) =f-1(bn+1),即bn+1=f(an). 下面用数学归纳法证明an+1<an(n∈N+). (1)当n=1时,由f(x)为增函数,且f (1)<1,得 a1=f(b1)=f (1)<1, b2=f(a1)<f (1)<1, a2=f(b2)<f (1)=a1, 即a2<a1,结论成立. (2)假设n=k时结论成立,即ak+1<ak. 由f(x)为增函数,得f(ak+1)<f(ak),即bk+2<bk+1. 进而得f(bk+2)<f(bk+1),即ak+2<ak+1. 这就是说当n=k+1时,结论也成立. 根据 (1)和 (2)可知,对任意的n∈N+,an+1<an. 利用贝努利不等式证明不等式 设n为正整数,记an=n+1,n=1,2,3,….求证: an+1 【精彩点拨】 用求商比较法证明an+1 【自主解答】 由an的意义知对一切n=1,2,3,…都成立. ∴只需证明>1,n=1,2,3,…. 由于==×-1 =×=× =×, 因此,根据贝努利不等式, 有>× >× =×=1. ∴an>an+1对于一切正整数n都成立. 本题在证明的过程中,综合运用了求商比较法,放缩法,进而通过贝努利不等式证明不等式成立. [再练一题] 3.设a为有理数,x>-1.如果0 (1+x)a≤1+ax,当且仅当x=0时等号成立.
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