人教版七年级数学上册第四章《直线射线线段3》名师教案.docx
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人教版七年级数学上册第四章《直线射线线段3》名师教案
4.2直线、射线、线段第三课时
---线段的性质
一、教学目标
(一)学习目标
1.掌握“两点之间,线段最短”的性质,并能熟练应用.
2.理解两点的距离,并能计算线段中两点的距离.
(二)学习重点
掌握“两点之间,线段最短”的性质及应用.
(三)学习难点
两点的距离定义及计算
二、教学设计
(一)课前设计
1.预习任务
(1)两点的所有连线中,线段最短.简单说成:
两点之间,线段最短.
(2)连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离.
2.预习自测
(1)如图所示,在我国“西气东输”的过程中,从A城市到B城市架设管道,有四条路可供选择,在不考虑其他因素的情况下,架设管道的最短路线是,你能说明为什么吗?
【知识点】线段性质.
【解题过程】解:
根据“两点之间,线段最短”,选择②.
【思路点拨】根据线段性质直接判断.
【答案】②.
(2)下列说法中正确的个数是()
①过两点有且只有一条直线;②连接两点的线段叫做两点的距离;③两点之间,线段最短.
A.O个B.1个C.2个D.3个
【知识点】线段性质.
【解题过程】解:
①③正确;连接两点的线段的长度叫做两点的距离,故②错误.
【思路点拨】分清直线性质、线段性质、两点的距离,注意文字表述要准确.
【答案】C.
(3)下列生活、生产现象:
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上;②从A地到B地架设电线,总是尽可能沿着线段AB架设;③植树时,只要确定两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线;④把弯曲的公路改直,就能缩短路程,其中能用“两点之间,线段最短”来解释的现象有()
A.①②B.①③C.②④D.③④
【知识点】线段性质.
【解题过程】解:
①③属直线性质的应用;②④属线段性质的应用,故选C.
【思路点拨】区分直线性质、线段性质.
【答案】C.
(4)如图,M是线段AB的中点,点C在线段AB上,且AC=4
,N是AC的中点,MN=3
,则A、B两点的距离是
.
【知识点】线段性质.
【解题过程】解:
如图,∵M是线段AB的中点,N是AC的中点,∴AB=2AM,
,
而AC=4
,∴AN=2,∴AM=AN+NM=2+3=5
,∴AB=2×5
=10
.
故答案为10.
【思路点拨】根据线段中点的定义得到AB=2AM,
=2,则AM=AN+NM=2+3=5,所以AB=2×5
=10
.
【答案】10.
(二)课堂设计
1.知识回顾
(1)线段的中点及表示
(2)线段的和差计算
2.问题探究
探究一探究线段性质★
●活动①
学生自主学习128、129页.
师问:
从A地到B地有如图所示的三条路线:
路线①:
半圆的长;路线②:
折线AC+CB的长;路线③:
线段AB的长.你认为哪条路线最短?
学生举手抢答.
师问:
请用度量或计算的方法,验证你的结论是否正确?
学生活动:
学生思考,小组讨论,如何比较三条路线的长度,教师点拨.
总结:
路线①>路线②>路线③,由此得出下列结论:
在A、B两点的所有连线中,线段AB最短.释义:
“所有连线”包括:
直线、射线、线段、折线、曲线等,在这些连线中,线段最短.
【设计意图】通过学生动手实践,由具体数据直观判断,探究得出线段性质“两点之间,
线段最短”,对性质理解更深刻.
探究二线段性质的实际应用★
●活动①
师问:
你能列举“两点之间,线段最短”在生活中的例子吗?
学生举手抢答.
总结:
梳理学生所举实例,正面实例:
如修高速路时,隧道将路变直;铺水管时,走最短的路线等.负面实例:
横穿公路,公园踩踏草坪等,此时对学生渗透德育教育.
【设计意图】通过列举实例,学生体会线段性质的应用在我们生活中处处存在,我们在不知不觉中运用这条性质.
●活动②
学生活动:
完成教材130页第8题.
师问:
对于线段性质“两点之间,线段最短”,在现实生活中,是否都是以设计最短距离为好?
(引发学生深层思考)
学生举手抢答.
总结:
通过做第8题后得到启发:
在现实生活中,对于线段性质的使用,不都是以设计最短距离为好,如直的河道改弯曲,可以减缓洪水压力,可以灌溉更多土地;风景区湖中修“九曲桥”,可以在桥上增加游客人数及游客停留时间等.
【设计意图】通过做第8题后得到启发:
在现实生活中,对于线段性质的使用,不都是以设计最短距离为好,要视情况灵活运用线段性质.
●活动③探究两点的距离★▲
师问:
什么叫做两点的距离?
定义中的关键词是什么?
学生举手抢答.
总结:
连接两点间的线段的长度,叫做这两点间的距离.
师问:
下列说法正确吗?
为什么?
(1)连接两点的线段叫两点的距离;
(2)画出A、B两点的距离
学生举手抢答:
(1)错;
(2)错.
总结:
“线段的长度是距离”,距离是一个非负数,距离可度量,不能说画出来.
【设计意图】通过解答上述问题,在教师对定义强调后,让学生全面理解两点的距离的概念,突出对关键词的理解.
探究三运用知识解决问题★▲
●活动①
例1.如图所示,设A、B、C、D为4个村庄,现在需要在四个村庄中间建一个自来水中心,请你确定一个点,使这4个村庄的居民到该中心的距离之和最小.
【知识点】线段性质.
【数学思想】
【解题过程】解:
如图,连AC、BD交于O点,此时距离之和=AC+BD为最小.
【思路点拨】根据两点之间,线段最短,连AC、BD交于O点,此时距离之和最小.
【答案】如图,点O为所求.
练习:
如图所示,A、B是两个村庄,若要在河边l上修建一个水泵站往两村输水,问水泵站应修在河边的什么位置,才能使铺设的管道最短,并说明理由.
【知识点】线段性质.
【数学思想】
【解题过程】解:
如图所示,根据两点之间,线段最短,连接AB,交l于O点,则O点为水泵站位置.
【思路点拨】根据两点之间,线段最短,连接AB,交l于O点,则O点为水泵站位置.
【答案】如图,O点为水泵站位置.
【设计意图】考查线段性质在实际生活中的应用,通过分析作图,进一步体会用线段性质的原理.
●活动2
例2.已知线段AB=10cm,点C在直线AB上,试探讨下列问题:
(1)是否存在一点C,使它到A、B两点的距离之和等于8cm?
并说明理由;
(2)是否存在一点C,使它到A、B两点的距离之和等于10cm?
若存在,它的位置是唯一的吗?
(3)当点C到A、B两点距离之和等于20cm,试说明点C的位置,并举例说明.
【知识点】线段性质.
【数学思想】分类讨论、数形结合.
【解题过程】解:
(1)根据两点之间,线段最短,AC+BC最短距离为10cm,故不存在合条件的点;
(2)存在,这样的点不唯一,线段AB上任意一点均满足条件;
(3)存在,在A、B两点外5cm处的点均满足条件.
【思路点拨】根据两点之间,线段最短,
(1)不存在合条件的点;
(2)存在,线段AB上任意一点均满足条件;(3)在A、B两点外均存在一个点满足条件.
【答案】
(1)根据两点之间,线段最短,AC+BC最短距离为10
,故不存在合条件的点;
(2)存在,这样的点不唯一,线段AB上任意一点均满足条件;
(3)存在,在A、B两点外5
处的点均满足条件.
练习:
数轴上,点A表示的数是-2,点B表示的数是6.解答下列问题:
(1)数轴上是否存在一点C,使它到A、B两点的距离之和等于6?
并说明理由;
(2)数轴上是否存在一点C,使它到A、B两点的距离之和等于8?
若存在,它的位置是唯一的吗?
(3)数轴上当点C到A、B两点距离之和等于10时,试说明点C表示的数是什么数?
【知识点】线段性质.
【数学思想】分类讨论、数形结合.
【解题过程】解:
(1)根据两点之间,线段最短,AC+BC最短距离为8,故不存在合条件的点;
(2)存在,这样的点不唯一,线段AB上任意一点均满足条件;
(3)存在,C点表示的数为-3或7时均满足条件.
【思路点拨】根据两点之间,线段最短,
(1)不存在合条件的点;
(2)存在,线段AB上任意一点均满足条件;(3)在A、B两点外均存在一个点满足条件.
【答案】
(1)根据两点之间,线段最短,AC+BC最短距离为8,故不存在合条件的点;
(2)存在,这样的点不唯一,线段AB上任意一点均满足条件;
(3)存在,C点表示的数为
时均满足条件.
【设计意图】线段性质和两点间的距离知识在实际问题中综合应用,渗透数学思想,提升学生的分析能力和思维能力.
●活动3
例3.如图所示,一只蚂蚁从棱长为l的正方体的一个顶点A沿表面爬行到的顶点B,怎样爬行路程最短?
画图说明.
【知识点】线段的性质.
【数学思想】转化思想
【解题过程】解:
如图,线段AB均可.
【思路点拨】求立体图形中的最短距离问题,转化为平面展开图中研究.
【答案】如图所示线段AB.
练习:
如图所示,有一个圆柱形的柱子,一只蚂蚁由圆柱的一条高线AB的底端点B沿侧面转圈爬到顶端点A,小蚂蚁怎么走才能使路线最短?
请画出最短路线.
【知识点】线段的性质.
【数学思想】转化思想.
【解题过程】解:
如图,将圆柱展开后,则图中线段AB为最短路线.
【思路点拨】求立体图形中的最短距离问题,转化为平面展开图中研究.
【答案】如图所示线段AB为最短路线.
【设计意图】通过问题思考与解答,让学生懂得解决立体图形中两点最短距离问题,转化为平面图形中进行研究.
3.课堂总结
知识梳理
(1)掌握线段“两点之间,线段最短”的性质,并能进行应用.
(2)理解两点间的距离,并能计算线段中两点间的距离.
重难点归纳
(1)掌握线段性质:
“两点之间,线段最短”.
(2)理解两点间的距离,并能计算线段中两点间的距离.
(三)课后作业
基础型自主突破
1.如图所示,为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象,请你用数学知识解释出这一现象的原因:
.
【知识点】线段的性质.
【数学思想】
【解题过程】解:
原因为:
应用线段性质“两点之间,线段最短”.
【思路点拨】根据:
“两点之间,线段最短”解答.
【答案】应用线段性质“两点之间,线段最短”.
2.如图所示,数轴上标出的点中,相邻两点间的距离相等,则点A表示的数为________.
【知识点】线段的性质.
【数学思想】
【解题过程】解:
A表示的数为5.
【思路点拨】A为中点.
【答案】5.
3.如图,从A地到B地有多条道路,一般地,人们会走中间的直路,而不会走其他的曲折的路,这是因为( )
A.两点之间,直线最短B.两直线相交只有一个交点
C.两点确定一条直线D.两点之间,线段最短
【知识点】线段的性质.
【数学思想】
【解题过程】解:
根据“两点之间,线段最短”,故选D.
【思路点拨】根据“两点之间,线段最短”解答.
【答案】D.
4.A、B、C是不在一条直线上的三个点,下列四个判断中不正确的是()
A.AB+AC>BC B.BC+AC>AB
C.AB+BC>ACD.AB-BC>AC
【知识点】线段的性质.
【数学思想】
【解题过程】解:
根据“两点之间,线段最短”,故选D.
【思路点拨】根据“两点之间,线段最短”解答.
【答案】D.
5.如图所示,某同学的家在A处,星期日他到书店去买书,想尽快赶到书店B,请你帮助他选择一条最近的路线( )
A.A→C→D→BB.A→C→F→BC.A→C→E→F→BD.A→C→M→B
【知识点】线段的性质.
【数学思想】
【解题过程】解:
根据两点之间的线段最短,可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度,所以想尽快赶到书店,一条最近的路线是:
A→C→F→B.
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