完整版正比例和反比例意义知识点总结加典型例题.docx
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完整版正比例和反比例意义知识点总结加典型例题
正比例和反比例的意义
知识点一:
正比例和反比例的意义
(1)正比例
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相
对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量变叫做成正比例的量,它们的
关系叫做正比例关系。
用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示一定的量,那么正比例关系可
以写成:
y
k一定
x
例如,总价随着数量的变化而变化,总价和数量的比的比值(单价)是一定的,
我们就说,总价和数量是成正比例的量。
工总
=工效(一定)工总和工时是成正比例的量
工时
路程
=速度(一定)所以路程与时间成正比例。
时间
(2)反比例
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相
对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例
关系。
用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示一定的量,那么反比例关系可
以写成:
x×y=k(一定)
1/23
例如,长×宽=面积(一定)长和宽是成反比例的量
每本的页数×装订的本数=纸的总页数(一定)每本的页数和装订的本数
是成反比例的量
知识点二:
正比例和反比例有什么相同点和不同点?
(1)相同点:
正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系,即一种量变化,
另一种量也随着变化。
(2)不同点:
正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值(商)一定;反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。
正比例反比例
相同点
不
同
点
知识点三:
正比例和反比例的图像是一条什么线?
(1)正比例关系的图象是一条过原点的直线。
2/23
(2)反比例关系的量是一条不过原点的曲线。
知识点四:
正比例和反比例的判断
(1)先判断两种量x和y是不是相关联的量,即一种量变化,另一种量也随着变化。
()若符合
y
一定,则
x
和y成正比例;若符合
x
×y=k(一定),则
x
和
2
k
x
y成反比例;否则,这两种量就不成比例关系。
【典型例题】
题型一:
根据图标填写信息
例1:
购买面粉的重量和钱数如下表,根据表填空。
3/23
重量(千
1
2
3
4
5
6
⋯
克)
总价(元)1.9
3.8
5.7
7.6
9.5
11.4
⋯
(1)(
)和(
)是两种相关联的量,(
)随着
(
)的变化而变化。
(2)与总价7.6元相对应的重量是()千克;与6千克相对应
的总价是()元。
(3)总价与重量中相对应的两个数的比值所表示的意义是
()。
(4)因为比值一定,所以表中总价和重量叫做成()的量。
题型二:
根据关系式正比例反比例的判断
例2:
判断下面两种相关联的量成不成比例,如果成比例,成什么比例。
(1)瓷砖面积一定,瓷砖的块数和瓷砖的面积。
(2)铺地面积一定,每块砖的面积和所需块数。
(3)铺地面积一定,方砖的边长和所需块数。
(1)生产总时间一定,生产一个零件的时间和个数。
(2)生产一个零件的时间一定,生产零件的总时间和个数。
(1)圆的周长和半径。
(2)圆的周长一定,圆周率和直径。
(3)圆的面积和半径的平方。
例3:
判断下面各题中的两种量成不成比例(在括号里填上“成正比例”或“不成正比例”)。
4/23
(1)正方形的面积和边长。
(
)
(2)比的前项一定,比的后项和比值。
(
)
(3)人的体重和身高。
(
)
(4)每本书的单价一定,买书的本数与总价。
(
)
(5)出粉率一定,小麦的重量和出粉重量。
(
)
(6)正方体的体积和棱长。
(
)
(7)产品合格率一定,产品合格数和产品总数。
(
)
(8)工作时间一定,工作总量和工作效率。
(
)
例4:
判断下面每题中的两种量成什么比例关系,并说明理由。
(1)每公顷施肥量一定,施肥总量与公顷数。
(2)每台织布机的每小时织布的米数一定,织布的总米数和所用的小时数。
(3)汽车行1千米的耗油量一定,汽车所行路程和总耗油量。
(4)同一辆汽车所行驶的路程和车轮转数。
例题9:
判断下列各题的两种量是否成比例?
如果成,成什么比例?
(1)工作效率一定,工作时间和工作总量。
()
5/23
(2)货物总数一定,每次运货吨数和运货次数。
(
)
(3)路程一定,已走路程和剩下路程。
(
)
(4)圆的半径和面积。
(
)
(5)平行四边形的底和面积。
(
)
(6)在太阳照射下,同时同地的竿高和影长。
(
)
(7)煤的总量一定,每天烧煤量和可烧的天数。
(
)
(8)a·b=c,c一定,a和b。
(
)
(9)分数值一定,分子和分母。
(
)
(10)路程一定,车轮的直径和转动的周数。
(
)
【巩固练习】
(1)比例尺一定,图上距离与实际距离成(
)比例。
(2)圆的半径和面积(
)比例。
(3)三角形的高一定,它的面积和底成(
)比例。
(4)订阅《中国少年报》的钱数和份数成(
)比例。
(5)圆的直径和周长成(
)比例。
(6)差一定,被减数和减数(
)比例。
(7)圆锥的高一定,底面积和它的体积(
)比例。
(1)每公顷的施肥量一定,施肥总量与公顷数成()比例。
(2)要修的路程一定,每天修的路程与天数成()比例。
(3)肥料总数一定,每平方米施肥量和平方米成()比例。
(4)钱的总数一定,铅笔数量和单价成()比例。
(5)制造一批零件的个数一定,制造一个零件的时间和需要的总时间成()
6/23
比例。
A.成正比例B.成反比例C.不成比例
(1)平行四边形的底一定,高和
面积。
()
(2)积一定,一个因数与另一个数。
()
(3)一本书的页数一定,已看的页数和没看的页数。
()
(4)工作效率一定,工作总量和工作时间。
()
下面各题中的两种量是不是成比例,如果成比例,成什么比例,并说明理由。
1、每个小朋友分的饼干数一定,饼干数的总块数和分的人数。
2、每箱梨的重量一定,箱数和总重量。
3、正方形的周长和边长。
4、正方形的面积和边长。
5、读一本书,每天读的页数和读的天数。
6、一箱饮料的数量一定,卖出的和剩下的。
7、三角形的底一定,它的面积和高。
8、每袋面粉的质量一定,面粉的总质量和袋数。
9、一个人的年龄和体重。
10、长方形的周长和宽。
11、长方形的长一定,面积与宽。
12、三角形的高一定,面积与底。
13、圆的面积与半径。
14、正方形的周长和边长。
15、一个班级的男生人数和女生人数。
7/23
16、每箱苹果个数一定,运来苹果的箱数与苹果总个数。
17房屋地面的面积一定,铺地砖的块数与每块地砖的面积。
18、每块地砖的面积一定,铺地面积与所需地砖的块数。
19、分子一定,分母和分数值。
20、三角形的高一定,它的底和面积。
21、梯形的上底和下底一定,面积和高。
22、圆的周长和直径。
23、车轮的直径一定,所行驶的路程和转数。
24、被乘数一定,乘数和积。
25、积一定,一个因数和另一个因数。
26、除数一定,被除数和商。
27、从甲地到乙地,行驶的速度和所用的时间。
28、每台电视机的价格一定,购买电视机的台数和钱数。
29、圆柱的侧面积一定,它的底面周长和高。
30、小明的身高和他的体重。
10判断下面的两种量成不成比例?
成正比例画“○”,成反比例画“△”,不
成比例画“×”。
(1)每小时织布米数一定,织布的总时间和总米数。
()
(2)一个人的年龄和他的体重。
()
(3)生产总量一定,每天的生产量和生产天数。
()
(4)正方形的边长和面积。
()
(5)分母一定,分子和分数值。
()
8/23
11填空:
(1)物品的总价一定,它的单价和数量成()比例。
(2)每公顷的施肥量一定,施肥的公顷数和施肥总量成()比例。
(3)要走的路程一定,已行路程与未行的路程()比例。
(4)比的后项一定,前项和比值成()比例。
(5)甲数是乙数的80%,甲数和乙数成()比例。
(6)圆的半径和它的周长成()比例。
14判断(对的打“√”,错的打“×”)
(1)
生产效率一定,生产的总量和生产的时间成反比例。
(
)
(2)
出米率一定,大米的重量和稻谷的重量成正比例。
(
)
(3)
汽车速度一定,行驶的路程和所用时间成反比例。
(
)
(4)
三角形的高一定,它的面积和底不成比例。
(
)
(5)
被减数一定,减数和差成反比例。
()
2、用一批纸装订练习本,每本25页,可以装订400
本。
如果要装订
500本,
每本有X页。
题中()量一定,关系式:
()○()=()(一定),()和
()成()比例。
3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺,需要640块。
如果改用边长
0.4米的正方形地砖,需要Y块。
题中()量一定,关系式:
()○()=()(一定),()和
()成()比例。
题型三:
根据图表成正反比例判断
例:
李平和同学星期六骑车去郊游,下图表示她骑车的路程和时间的关系。
9/23
(1)李平骑车行驶的路程和时间成正比例吗?
为什么?
(2)利用图估计,李平20分钟大约行了多少千米?
行20千米大约用了多少分钟?
(答案保留整数)
例:
根据表中两种量相对应的比值,判断它们是不是成正比例,并说明理由。
(1)
面粉的袋数(袋)1234
面粉的总重量(千克)255075100
(2)
钢铁的重量(千克)7.815.623.431.2
钢铁的体积(m3)1234
【巩固练习】
10/23
(4)糖果厂包装一批糖果,每袋糖果的粒数和装的袋数如下表:
每袋的粒数
12
15
20
24
⋯
装的袋数
50
40
30
25
⋯
每袋糖果的粒数和装的袋数成反比例吗?
为什么?
1、仔细观察每张表格,思考表格中两种量之间有关系吗?
有什么关系?
为什么?
表格1
数量/本
1
3
6
8
10
20
⋯⋯
总价/元
4
12
24
32
40
80
⋯⋯
表格2
单价/元
1.5
2
3
4
5
6
⋯⋯
总价/元
6
8
12
16
20
24
⋯⋯
11/23
表格3
用60
元钱购买笔记本,笔记本的单价和可以购买的数量如下表:
单价/元1.5
2
3
4
5
6
⋯⋯
数量/本
40
30
20
15
12
10
⋯⋯
题型四:
根据比例关系填表
例4:
(1)根据y10,填写下表。
x
y
20
35
120
x
2
8
(2)下表中x和y两个量成反比例,请把表格填写完整
2
1
x
40
5
y
5
0.1
(3)下表中x和y两个量相关联的量,观察规律,请把表格填写完整
x
0.5
0.6
1
y
1.5
2.7
3
【巩固练习】
y
(1)如果x和y成正比例,并且=20。
请完成下表。
x
12/23
y
20
80
130
1000
850
x
1.5
8
0.4
10
在下图中,描出上题中
y与相对应的x的点(注意找几个关键点),然后连成
线。
(21)已知x和y成正比例关系,请完成下列表格。
x
60
8
y
6
4
2.4
(3)已知x和y成反比例关系,请完成下表。
x0.071.40.2
y
14
10
(4)小英和妈妈的年龄变化情况如下,把表填写完整。
小英的年龄/岁
6
7
8
91011
妈妈的年龄/岁
30
31
母女的年龄成正比例吗?
为什么?
10、某造纸厂每小时造纸1.5吨,2
小时、3小时┈┈各造纸多少吨?
(1)把下表填写完整。
造纸时间/时
1
2
3
4
⋯⋯
造纸吨数/吨
1.5
⋯⋯
13/23
(2)根据表中的数据,在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点,再把它
们连起来。
吨数/吨
4
3
2
1
0
1234567时间/时
(3)造纸吨数与造纸时间成正比例吗?
为什么?
(4)根据图像判断,5小时造纸多少吨?
题型五:
比例的扩大缩小
例5:
选择。
(把正确答案的序号填在括号里)
(1)如果两种相关联的量成正比例,一种量扩大几倍,另一种量就()相
同的倍数。
①扩大②缩小③增加④减少
(2)如果两种相关联的量成反比例,一种量扩大几倍,另一种量就()相
同的倍数。
①扩大②缩小③增加④减少
14/23
(3)和一定,一个加数和另一个加数()。
①成正比例②成反比例③不成比例
(4)正方形的面积和边长()。
①成正比例②成反比例③不成比例
(5)甲、乙两车行同一段路程,甲车需3小时,乙车需5小时,甲、乙两车
速度的比是()。
①11∶6②3∶5③5∶3
题型六:
根据关系式,说出哪种量一定,哪两种量成正比例或反比例。
例:
根据下面的关系式,说出哪种量一定,哪两种量成正比例。
(1)总价=单价×数量。
()一定,()和()成正比例。
(2)长方形面积=底×高。
()一定,()和()成正比例。
(3)xy=z。
()一定,()和()成正比例。
(4)铺地面积=方砖面积×方砖块数。
()一定,()和()成正比例。
(5)路程=速度×时间。
()一定,()和()成正比例。
已知ab=c,a、b都不为0。
先写两个正比例关系式,再填空。
______()一定,()和()成正比例。
______()一定,()和()成正比例。
15/23
(1)速度×时间=路程。
速度一定,()和()成()比例。
时间一定,()和()成()比例。
路程一定,()和()成()比例。
(2)单价×数量=总价。
单价一定,()和()成()比例。
数量一定,()和()成()比例。
总价一定,()和()成()比例。
4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中
当底面周长一定时,()与()成()比例;
当高一定时,()与()成()比例;
当侧面积一定时,()与()成()比例。
5、在被除数、除数、商这三种量中,
当()一定时,()与()成正比例;
当()一定时,()与()成反比例;
6、当a×b=c(a、b、c为三种量,且均不为0)。
()一定,()与()成()比例;
()一定,()与()成()比例;
()一定,()与()成()比例;
16/23
拓展
例:
若x和y是两种相关联的量,判断它们是否成比例,成什么比例
(1)若5x=4y,(x,y均不为0),则x和y成(
)比例。
(2)若x=
y,(x,y均不为0),则x和y成(
)比例。
3
4
(3)若x=
4
)比例。
,(x,y均不为0),则x和y成(
3
y
(4)若x=
y+5,(x,y均不为0),则x和y成(
)比例。
(5)若k+
3
)比例。
=y,(k一定),(x,y均不为0),则x和y成(
x
【巩固练习】
1.三角形的高一定,它的面积和底()
A.成正比例B.成反比例C.不成比例
2.甲数和乙数互为倒数,则甲数和乙数()
A.成正比例
B.成反比例
C.不成比例
3.a是b的
1
)
,那么a与b(
5
A.成正比例
B.成反比例
C.不成比例
a
=1(b≠0,c≠0),那么,当a一定时,b和c成(
)比例;当b
例:
如果
b·c
一定时,a和c成(
)比例;当c一定时,a和b成(
)比例。
作业:
一、填空
1、判断分子、分母、分数值一种量一定,另外两种量成什么比例。
17/23
(1)分子一定,分母和分数值成
比例。
(2)分母一定,分子和分数值成
比例。
(3)分数值一定,分子和分母成
比例。
2、
已知y=k,当____一定时,另外两种量成反比例。
x
3、
路程
=_____,当_____一定时,_____和______成正比例。
时间
当_____一定时,_____和______成反比例。
4、
已知x、y成反比例,完成表格。
X
4
12
2
3
Y
9
18
3
3.6
5、
已知x、y成正比例,完成表格。
X
1.5
3
7
5
2
6
Y
1
1
4.5
0.15
2
6、
如果6a=5b,那么a:
b=___:
___,
a:
5=___:
___。
7、
有120
吨货物,每次运的吨数和运的次数成(
)比例。
8、
总价一定,购买算草本的本数和单价成(
)比例。
9、
工作效率一定,工作总量和工作时间成(
)比例。
10、
汽车每千米耗油量一定,所行的路程和耗油总量成(
)比例。
二、选择
1、如果3x=8y(x、y都不等于0),那么x和y()
A、成正比例B、成反比例
C、不成比例D、以上说法都不对
18/23
2、如果x=
y(x、y都不等于0),那么x和y(
)
3
8
A、成正比例
B、成反比例
C、不成比例
D、以上说法都不对
3、把一堆化肥装入麻袋中,麻袋的数量和每袋化肥的重量(
)
A、成正比例
B、成反比例
C、不成比例
D、以上说法都不对
4、下列表示x和y成反比例的式子是(
)
A、x+3y=12
B、y=4x
C、y=23
D、y=-3x
x
2
5、已知kx=y,且x和y都不为0,当k一定时,x和y(
)
A、成正比例
B、成反比例
C、不成比例
D、以上说法都不对
6、三种量a,b,h的关系是b=ah,当b一定时,a和h(
)
A、成正比例
B、成反比例
C、不成比例
D、以上说法都不对
7、甲数的3是乙数,那么甲数与乙数(
)
4
A、成正比例
B、成反比例
C、不成比例
D、以上说法都不对
三、判断题
1、正方形的边长和周长成正比例。
()
2、正方形的边长和面积成正比例。
()
3、a是b的5,数a和数b成正比例。
()
7
19/23
4、如果4a=3b,那么a∶b=3∶4。
()
5、圆的周长一定,直径和圆周率成反比例。
()
A
6、8=B,那么A和B成反比例。
()
7、长方体的体积一定,底面积和高成反比例。
()
8、如果x与y成反比例,那么3x与y也成反比例。
()
9、圆的面积与半径的平方成正比例。
()
10、圆锥的体积一定,底面积和高成反比例。
()
11、三角形的高一定,底和面积
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