九年级数学下期期中测试题附答案解析.docx
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九年级数学下期期中测试题附答案解析
九年级数学下期期中测试题
班次:
姓名:
得分:
一.选择题(共12小题)
1.若关于x的方程(a﹣2)x2﹣3x+a﹣1=0是一元二次方程,则( )
A.a≠2B.a>2C.a=0D.a>0
2.下列说法正确的是( )
A.直径是圆的对称轴
B.经过圆心的直线是圆的对称轴
C.与圆相交的直线是圆的对称轴
D.与半径垂直的直线是圆的对称轴
3.下列函数中,二次函数是( )
A.y=﹣4x+5B.y=x(2x﹣3)
C.y=(x+4)2﹣x2D.y=
4.如图,A、B、C是⊙O上的三点,∠B=75°,则∠AOC的度数是( )
A.150°B.140°C.130°D.120°
5.将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函数表达式是( )
A.y=(x﹣1)2+2B.y=(x+1)2+2C.y=(x﹣1)2﹣2D.y=(x+1)2﹣2
6.已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是( )
A.函数有最小值1,有最大值3
B.函数有最小值﹣1,有最大值0
C.函数有最小值﹣1,有最大值3
D.函数有最小值﹣1,无最大值
7.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是( )
A.CM=DMB.
C.∠ACD=∠ADCD.OM=BM
8.点P(a,
)在第二象限,点Q(a,b)关于原点对称的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
9.关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣(m﹣1)=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( )
A.m>0且m≠1B.m>0C.m≥0且m≠1D.m≥0
10.如图所示,某幼儿园有一道长为16米的墙,计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.则该矩形草坪BC边的长是( )
A.12B.18C.20D.12或20
11.如图,AB是圆O的直径,BC、CD、DA是圆O的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD等于( )
A.100°B.110°C.120°D.135°
12.当a﹣1≤x≤a时,函数y=x2﹣2x+1的最小值为1,则a的值为( )
A.1B.2C.1或2D.0或3
二.填空题(共6小题)
13.m是方程2x2+3x﹣1=0的根,则式子2m2+3m+2019的值为 .
14.二次函数y=x2﹣8x的最低点的坐标是 .
15.如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则⊙O的半径为 .
16.已知A,B是半径为6cm的圆上的两个不同的点,则弦长AB的取值范围是 cm.
17.已知抛物线y=ax2+2ax+m(a>0)经过点(﹣4,y1)、(﹣2,y2),(1,y3),则y1、y2、y3的大小关系是 .
18.已知二次函数y=2x2+2019,当x分别取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取2x1+2x2时,函数值为 .
三.解答题(共8小题)
19.计算:
选择适当方法解下列方程
(1)x2﹣2x﹣3=0
(2)3x(x﹣1)=2﹣2x
20.二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(2,﹣9),且当x=﹣1时,y=0,
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求这个二次函数的顶点坐标.
21.如图,AB、AC为⊙O的弦,连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F,∠B=∠C.
求证:
CE=BF.
22.已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1=0.
(I)当m=0时,求方程的实数根.
(Ⅱ)若方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.
23.直角坐标系第二象限内的点P(x2+2x,3)与另一点Q(x+2,y)关于原点对称,试求x+2y的值.
24.如图,正方形ABCD的边长为6,E,F分别是AB,BC边上的点,且∠EDF=45°,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.
(1)求证:
EF=FM.
(2)当AE=2时,求EF的长.
25.商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调査发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.
(1)若某天该商品每件降价3元,当天可获利多少元?
(2)设每件商品降价x元,在销售正常情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2000元?
(3)当降价多少时,商场可获得最大利润?
(取下降价格为整数)
26.如图,二次函数y=
x2+bx﹣
的图象与x轴交于点A(﹣3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.
(1)请直接写出点D的坐标:
;
(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;
(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?
若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.若关于x的方程(a﹣2)x2﹣3x+a﹣1=0是一元二次方程,则( )
A.a≠2B.a>2C.a=0D.a>0
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解.
一元二次方程必须满足两个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0.
由这两个条件得到相应的关系式,再求解即可.
【解答】解:
由于一元二次方程的二次项系数不为0,所以a﹣2≠0,即a≠2.
故选:
A.
2.下列说法正确的是( )
A.直径是圆的对称轴
B.经过圆心的直线是圆的对称轴
C.与圆相交的直线是圆的对称轴
D.与半径垂直的直线是圆的对称轴
【分析】利用直径所在的直线为圆的对称轴对各选项进行判断.
【解答】解:
A、直径所在的直线为圆的对称轴,所以A错误;
B、经过圆心的直线是圆的对称轴,所以B正确;
C、与圆相交的直线不一定是圆的对称轴,所以C错误;
D、与半径垂直的直线不一定是圆的对称轴,所以D错误.
故选:
B.
3.下列函数中,二次函数是( )
A.y=﹣4x+5B.y=x(2x﹣3)
C.y=(x+4)2﹣x2D.y=
【分析】根据二次函数的定义,逐一分析四个选项即可得出结论.
【解答】解:
A、y=﹣4x+5为一次函数;
B、y=x(2x﹣3)=2x2﹣3x为二次函数;
C、y=(x+4)2﹣x2=8x+16为一次函数;
D、y=
不是二次函数.
故选:
B.
4.如图,A、B、C是⊙O上的三点,∠B=75°,则∠AOC的度数是( )
A.150°B.140°C.130°D.120°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论.
【解答】解:
∵A、B、C是⊙O上的三点,∠B=75°,
∴∠AOC=2∠B=150°.
故选:
A.
5.将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函数表达式是( )
A.y=(x﹣1)2+2B.y=(x+1)2+2C.y=(x﹣1)2﹣2D.y=(x+1)2﹣2
【分析】根据函数图象右移减、左移加,上移加、下移减,可得答案.
【解答】解:
将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函数表达式是y=(x﹣1)2+2,
故选:
A.
6.已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是( )
A.函数有最小值1,有最大值3
B.函数有最小值﹣1,有最大值0
C.函数有最小值﹣1,有最大值3
D.函数有最小值﹣1,无最大值
【分析】由函数图象可看出其最大值和最小值,可求得答案.
【解答】解:
由图象可知当x=1时,y有最小值﹣1,当x=3时,y有最大值3,
∴函数有最小值﹣1,有最大值3,
故选:
C.
7.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是( )
A.CM=DMB.
C.∠ACD=∠ADCD.OM=BM
【分析】先根据垂径定理得CM=DM,
=
,
=
,再根据圆周角定理得到∠ACD=∠ADC,而OM与BM的关系不能判断.
【解答】解:
∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,
∴CM=DM,
=
,
=
,
∴∠ACD=∠ADC.
故选:
D.
8.点P(a,
)在第二象限,点Q(a,b)关于原点对称的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【分析】已知点P(a,
)在第二象限,根据第二象限点的坐标特征:
横坐标<0,纵坐标>0,即a<0,
>0.由以上两式可以判断a<0,b<0,从而点Q(a,b)在第三象限.又两点关于原点对称,则两点的横、纵坐标都是互为相反数,因而点Q(a,b)关于原点对称的点是(﹣a,﹣b),它在第一象限.
【解答】解:
∵点P(a,
)在第二象限,
∴a<0,
>0..
∴a<0,b<0.
∴点Q(a,b)在第三象限.
∴点Q(a,b)关于原点对称的点(﹣a,﹣b)在第一象限.
故选:
A.
9.关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣(m﹣1)=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( )
A.m>0且m≠1B.m>0C.m≥0且m≠1D.m≥0
【分析】根据一元二次方程的系数结合根的判别式△>0,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出实数m的取值范围.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣(m﹣1)=0有两个不相等的实数根,
∴△=(﹣2)2﹣4×1×[﹣(m﹣1)]=4m>0,
∴m>0.
故选:
B.
10.如图所示,某幼儿园有一道长为16米的墙,计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.则该矩形草坪BC边的长是( )
A.12B.18C.20D.12或20
【分析】设草坪BC的长为x米,则宽为
,根据面积为120平方米,列方程求解.
【解答】解:
设草坪BC的长为x米,则宽为
,
由题意得,x•
=120,
解得:
x1=12,x2=20,
∵墙为16米,
∴x=20不合题意.
故x=12.
故选:
A.
11.如图,AB是圆O的直径,BC、CD、DA是圆O的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD等于( )
A.100°B.110°C.120°D.135°
【分析】由已知可得,弦BC、CD、DA三等分半圆,从而不难求得∠BCD的度数.
【解答】解:
连接OC、OD,
∵BC=CD=DA,
∴∠COB=∠COD=∠DOA,
∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°,
∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°,
∴∠BCD=
×2(180°﹣60°)=120°.
故选:
C.
12.当a﹣1≤x≤a时,函数y=x2﹣2x+1的最小值为1,则a的值为( )
A.1B.2C.1或2D.0或3
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值,结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1,即可得出关于a的一元一次方程,解之即可得出结论
【解答】解:
当y=1时,有x2﹣2x+1=1,
解得:
x1=0,x2=2.
∵当a﹣1≤x≤a时,函数有最小值1,
∴a﹣1=2或a=0,
∴a=3或a=0,
故选:
D.
二.填空题(共6小题)
13.m是方程2x2+3x﹣1=0的根,则式子2m2+3m+2019的值为 2020 .
【分析】把x=m代入方程求得2m2+3m=1,然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可.
【解答】解:
由题意知,2m2+3m﹣1=0.则2m2+3m=1.
所以2m2+3m+2019=1+2019=2020.
故答案是:
2020.
14.二次函数y=x2﹣8x的最低点的坐标是 (4,﹣16) .
【分析】利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式,由此即可找出该函数图象的最低点的坐标.
【解答】解:
y=x2﹣8x=(x﹣4)2﹣16,
∵a=1>0,
∴二次函数图象开口向上,二次函数y=x2﹣8x的最低点的坐标是(4,﹣16).
故答案为:
(4,﹣16).
15.如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则⊙O的半径为 5 .
【分析】连接OC,由垂径定理知,点E是CD的中点,CE=
CD,在直角△OCE中,利用勾股定理即可得到关于半径的方程,求得圆半径即可.
【解答】解:
连接OC,
∵AB为⊙O的直径,AB⊥CD,
∴CE=DE=
CD=
×6=3,
设⊙O的半径为x,
则OC=x,OE=OB﹣BE=x﹣1,
在Rt△OCE中,OC2=OE2+CE2,
∴x2=32+(x﹣1)2,
解得:
x=5,
∴⊙O的半径为5,
故答案为:
5.
16.已知A,B是半径为6cm的圆上的两个不同的点,则弦长AB的取值范围是 0<AB≤12 cm.
【分析】根据直径是圆中最长的弦求解.
【解答】解:
∵圆中最长的弦为直径,
∴0<AB≤12.
故答案为0<AB≤12
17.已知抛物线y=ax2+2ax+m(a>0)经过点(﹣4,y1)、(﹣2,y2),(1,y3),则y1、y2、y3的大小关系是 y2<y3<y1 .
【分析】把三点的坐标分别代入可求得y1、y2、y3,再比例其大小即可.
【解答】解:
∵抛物线y=ax2+2ax+m(a>0)经过点(﹣4,y1)、(﹣2,y2),(1,y3),
∴y1=16a﹣8a+m=8a+m,y2=4a﹣4a+m=m,y3=a+2a+m=3a+m,
∵a>0,
∴m<3a+m<8a+m,
即y2<y3<y1,
故答案为:
y2<y3<y1.
18.已知二次函数y=2x2+2019,当x分别取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取2x1+2x2时,函数值为 2019 .
【分析】根据二次函数y=2x2+2019,当x分别取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,可以得到x1和x2的关系,从而可以得到2x1+2x2的值,进而可以求得当x取2x1+2x2时,函数的值.
【解答】解:
∵二次函数y=2x2+2019,当x分别取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,
∴2x12+2019=2x22+2019,
∴x1=﹣x2,
∴2x1+2x2=2(x1+x2)=0,
∴当x=2x1+2x2时,y=2×0+2019=0+2019=2019,
故答案为:
2019.
三.解答题(共8小题)
19.计算:
选择适当方法解下列方程
(1)x2﹣2x﹣3=0
(2)3x(x﹣1)=2﹣2x
【分析】
(1)利用因式分解法求解可得;
(2)利用因式分解法求解可得.
【解答】解:
(1)∵x2﹣2x﹣3=0,
∴(x﹣3)(x+1)=0,
则x﹣3=0或x+1=0,
解得x=3或x=﹣1;
(2)3x(x﹣1)+2(x﹣1)=0,
(x﹣1)(3x+2)=0,
x﹣1=0或3x+2=0,
所以x1=1,x2=﹣
.
20.二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(2,﹣9),且当x=﹣1时,y=0,
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求这个二次函数的顶点坐标.
【分析】
(1)将(2,﹣9)、(﹣1,0)代入y=x2+bx+c,利用待定系数法即可确定二次函数的解析式;
(2)把
(1)中得到的解析式配成顶点式,然后根据二次函数的性质确定顶点坐标.
【解答】解:
(1)将(2,﹣9)、(﹣1,0)代入y=x2+bx+c,
得,
,
解这个方程组,得
,
所以所求二次函数的解析式是y=x2﹣4x﹣5;
(2)y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9,
所以顶点坐标是(2,﹣9).
21.如图,AB、AC为⊙O的弦,连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F,∠B=∠C.
求证:
CE=BF.
【分析】因为OB,OC是⊙O的半径,所以OB=OC,又因为∠B=∠C,∠BOE=∠COF,易证△EOB≌△FOC,则可求证CE=BF.
【解答】证明:
∵OB,OC是⊙O的半径,
∴OB=OC.
又∵∠B=∠C,∠BOE=∠COF,
∴△EOB≌△FOC(ASA).
∴OE=OF.
∵CE=OC+OE,BF=OB+OF,
∴CE=BF.
22.已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1=0.
(I)当m=0时,求方程的实数根.
(Ⅱ)若方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.
【分析】(Ⅰ)令m=0,用公式法求出一元二次方程的根即可;
(Ⅱ)根据方程有两个不相等的实数根,计算根的判别式得关于m的不等式,求解不等式即可.
【解答】解:
(Ⅰ)当m=0时,方程为x2+x﹣1=0.
△=12﹣4×1×(﹣1)=5>0.
∴x=
,
∴x1=
,x2=
.
(Ⅱ)∵方程有两个不相等的实数根,
∴△>0
即(﹣1)2﹣4×1×(m﹣1)
=1﹣4m+4
=5﹣4m>0
∵5﹣4m>0
∴m<
.
23.直角坐标系第二象限内的点P(x2+2x,3)与另一点Q(x+2,y)关于原点对称,试求x+2y的值.
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,可得x、y的值,根据有理数的运算,可得答案.
【解答】解:
根据题意,得
(x2+2x)+(x+2)=0,y=﹣3.∴x1=﹣1,x2=﹣2(不符合题意,舍).
∴x=﹣1,y=﹣3
∴x+2y=﹣7.
24.如图,正方形ABCD的边长为6,E,F分别是AB,BC边上的点,且∠EDF=45°,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.
(1)求证:
EF=FM.
(2)当AE=2时,求EF的长.
【分析】
(1)由旋转可得DE=DM,∠EDM为直角,可得出∠EDF+∠MDF=90°,由∠EDF=45°,得到∠MDF为45°,可得出∠EDF=∠MDF,再由DF=DF,利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等,由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF;
(2)由第一问的全等得到AE=CM=2,正方形的边长为6,用AB﹣AE求出EB的长,再由BC+CM求出BM的长,设EF=MF=x,可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=8﹣x,在直角三角形BEF中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为EF的长.
【解答】
(1)证明:
∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM,
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°,
∴F、C、M三点共线,
∴DE=DM,∠EDM=90°,
∴∠EDF+∠FDM=90°,
∵∠EDF=45°,
∴∠FDM=∠EDF=45°,
在△DEF和△DMF中,
,
∴△DEF≌△DMF(SAS),
∴EF=MF;
(2)解:
设EF=MF=x,
∵AE=CM=2,且BC=6,
∴BM=BC+CM=6+2=8,
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=8﹣x,
∵EB=AB﹣AE=6﹣2=4,
在Rt△EBF中,由勾股定理得EB2+BF2=EF2,
即42+(8﹣x)2=x2,
解得:
x=5,
则EF=5.
25.商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调査发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.
(1)若某天该商品每件降价3元,当天可获利多少元?
(2)设每件商品降价x元,在销售正常情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2000元?
(3)当降价多少时,商场可获得最大利润?
(取下降价格为整数)
【分析】
(1)降价1元,可多售出2件,降价3元,可多售出2×3件,盈利的钱数=原来的盈利﹣降低的钱数;
(2)根据日盈利=每件商品盈利的钱数×(原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数),列出方程求解即可;
(3)求出
(2)中函数表达式的顶点坐标的横坐标即可解决问题.
【解答】解:
(1)当天盈利:
(50﹣3)×(30+2×3)=1692(元).
答:
若某天该商品每件降价3元,当天可获利1692元.
(2)根据题意,得:
(50﹣x)×(30+2x)=2000,
整理,得:
x2﹣35x+250=0,
解得:
x1=10,x2=25,
∵商城要尽快减少库存,
∴x=25.
答:
每件商品降价25元时,商场日盈利可达到2000元.
(3)设所获利润为W,
则W=(2x+30)(﹣x+50)
=﹣2x2+70x+1500
=﹣2(x﹣17.5)2+2112.5,
∴当x=17.5时,W取得最大值,
∵取下降价格为整数
答:
每件商品降价17元或18元时,商场日盈利达到最大.
26.如图,二次函数y=
x2+bx﹣
的图象与x轴交于点A(﹣3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.
(1)请直接写出点D的坐标:
(﹣3,4) ;
(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;
(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?
若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式,然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长,从而求得点D的纵坐标;
(2)PA=t,OE=l,利用△DAP∽△POE得到比例式,从而得到有关两个变量的二次函数,求最值即可;
(3)分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积.
【解答】解:
(1)(﹣3,4);
(2)设PA=t,OE=l
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE
∴
∴l=﹣
+
=﹣
(t﹣
)2+
∴当t=
时,l有最大值
即P为AO中点时,OE的最大值为
;
(3)存在.
①点P点在y轴左侧时,DE交AB于点G,
由△PAD≌△EOP得AD=PE=4,
∵OA=3,
∴OE=PA=1,可得P(﹣4,0)
∵△ADG∽△OEG
∴AG:
GO=AD:
OE=4:
1
∴AG=
=
∴重叠部分的面积=
=
②当P点在y轴右侧时,P点的坐标为(4,0),
此时重叠部分的面积为
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