中考数学二次函数综合题汇编附答案.docx
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中考数学二次函数综合题汇编附答案
2020-2021中考数学二次函数综合题汇编附答案
一、二次函数
1.如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且点A(1,-4)为抛物线的顶点,点B在x轴上。
(1)求抛物线的解析式;
(2)在
(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使△POB与△POC全等?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点Q是y轴上一点,且△ABQ为直角三角形,求点Q的坐标。
【答案】解:
(1);
(2)存在,P(,);(3)Q点坐标为(0,-)或(0,)或(0,-1)或(0,-3).
【解析】
【分析】
(1)已知点A坐标可确定直线AB的解析式,进一步能求出点B的坐标.点A是抛物线的顶点,那么可以将抛物线的解析式设为顶点式,再代入点B的坐标,依据待定系数法可解.
(2)首先由抛物线的解析式求出点C的坐标,在△POB和△POC中,已知的条件是公共边OP,若OB与OC不相等,那么这两个三角形不能构成全等三角形;若OB等于OC,那么还要满足的条件为:
∠POC=∠POB,各自去掉一个直角后容易发现,点P正好在第二象限的角平分线上,联立直线y=-x与抛物线的解析式,直接求交点坐标即可,同时还要注意点P在第二象限的限定条件.
(3)分别以A、B、Q为直角顶点,分类进行讨论,找出相关的相似三角形,依据对应线段成比例进行求解即可.
【详解】
解:
(1)把A(1,﹣4)代入y=kx﹣6,得k=2,
∴y=2x﹣6,
令y=0,解得:
x=3,
∴B的坐标是(3,0).
∵A为顶点,
∴设抛物线的解析为y=a(x﹣1)2﹣4,
把B(3,0)代入得:
4a﹣4=0,
解得a=1,
∴y=(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3.
(2)存在.
∵OB=OC=3,OP=OP,
∴当∠POB=∠POC时,△POB≌△POC,
此时PO平分第二象限,即PO的解析式为y=﹣x.
设P(m,﹣m),则﹣m=m2﹣2m﹣3,解得m=(m=>0,舍),
∴P(,).
(3)①如图,当∠Q1AB=90°时,△DAQ1∽△DOB,
∴,即=,∴DQ1=,
∴OQ1=,即Q1(0,-);
②如图,当∠Q2BA=90°时,△BOQ2∽△DOB,
∴,即,
∴OQ2=,即Q2(0,);
③如图,当∠AQ3B=90°时,作AE⊥y轴于E,
则△BOQ3∽△Q3EA,
∴,即
∴OQ32﹣4OQ3+3=0,∴OQ3=1或3,
即Q3(0,﹣1),Q4(0,﹣3).
综上,Q点坐标为(0,-)或(0,)或(0,﹣1)或(0,﹣3).
2.如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C,且OC=3OA.点P是抛物线上的一个动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点D,连接PC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,当动点P只在第一象限的抛物线上运动时,求过点P作PF⊥BC于点F,试问△PDF的周长是否有最大值?
如果有,请求出其最大值,如果没有,请说明理由.
(3)当点P在抛物线上运动时,将△CPD沿直线CP翻折,点D的对应点为点Q,试问,四边形CDPQ是否成为菱形?
如果能,请求出此时点P的坐标,如果不能,请说明理由.
【答案】
(1)y=﹣+x+3;
(2)有最大值,;(3)存在这样的Q点,使得四边形CDPQ是菱形,此时点P的坐标为(,)或(,﹣).
【解析】
试题分析:
(1)利用待定系数法求二次函数的解析式;
(2)设P(m,﹣m2+m+3),△PFD的周长为L,再利用待定系数法求直线BC的解析式为:
y=﹣x+3,表示PD=﹣,证明△PFD∽△BOC,根据周长比等于对应边的比得:
,代入得:
L=﹣(m﹣2)2+,求L的最大值即可;
(3)如图3,当点Q落在y轴上时,四边形CDPQ是菱形,根据翻折的性质知:
CD=CQ,PQ=PD,∠PCQ=∠PCD,又知Q落在y轴上时,则CQ∥PD,由四边相等:
CD=DP=PQ=QC,得四边形CDPQ是菱形,表示P(n,﹣+n+3),则D(n,﹣n+3),G(0,﹣n+3),利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论.
试题解析:
(1)由OC=3OA,有C(0,3),
将A(﹣1,0),B(4,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c中,得:
,
解得:
,
故抛物线的解析式为:
y=﹣+x+3;
(2)如图2,设P(m,﹣m2+m+3),△PFD的周长为L,
∵直线BC经过B(4,0),C(0,3),
设直线BC的解析式为:
y=kx+b,
则
解得:
∴直线BC的解析式为:
y=﹣x+3,
则D(m,﹣),PD=﹣,
∵PE⊥x轴,PE∥OC,
∴∠BDE=∠BCO,
∵∠BDE=∠PDF,
∴∠PDF=∠BCO,
∵∠PFD=∠BOC=90°,
∴△PFD∽△BOC,
∴,
由
(1)得:
OC=3,OB=4,BC=5,
故△BOC的周长=12,
∴,
即L=﹣(m﹣2)2+,
∴当m=2时,L最大=;
(3)存在这样的Q点,使得四边形CDPQ是菱形,如图3,
当点Q落在y轴上时,四边形CDPQ是菱形,
理由是:
由轴对称的性质知:
CD=CQ,PQ=PD,∠PCQ=∠PCD,
当点Q落在y轴上时,CQ∥PD,
∴∠PCQ=∠CPD,
∴∠PCD=∠CPD,
∴CD=PD,
∴CD=DP=PQ=QC,
∴四边形CDPQ是菱形,
过D作DG⊥y轴于点G,
设P(n,﹣+n+3),则D(n,﹣n+3),G(0,﹣),
在Rt△CGD中,CD2=CG2+GD2=[(﹣n+3)﹣3]2+n2=,
而|PD|=|(﹣)﹣(﹣n+3)|=|﹣+3n|,
∵PD=CD,
∴﹣①,
﹣,
解方程①得:
n=或0(不符合条件,舍去),
解方程②得:
n=或0(不符合条件,舍去),
当n=时,P(,),如图3,
当n=时,P(,﹣),如图4,
综上所述,存在这样的Q点,使得四边形CDPQ是菱形,此时点P的坐标为(,)或(,﹣).
点睛:
本题是二次函数的综合题,考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定,将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题,此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长,并利用相似比或勾股定理列方程解决问题.
3.如图①,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1,0)、B(3,0)两点,且与y轴交于点C
.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图②,用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴,并沿x轴左右平移,直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点(点P在点Q的左侧),连接PQ,在线段PQ上方抛物线上有一动点D,连接DP、DQ.
①若点P的横坐标为,求△DPQ面积的最大值,并求此时点D的坐标;
②直尺在平移过程中,△DPQ面积是否有最大值?
若有,求出面积的最大值;若没有,请说明理由.
【答案】
(1)抛物线y=-x2+2x+3;
(2)①点D();②△PQD面积的最大值为8
【解析】
分析:
(1)根据点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式;
(2)(I)由点P的横坐标可得出点P、Q的坐标,利用待定系数法可求出直线PQ的表达式,过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E,设点D的坐标为(x,-x2+2x+3),则点E的坐标为(x,-x+),进而即可得出DE的长度,利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=-2x2+6x+,再利用二次函数的性质即可解决最值问题;
(II)假设存在,设点P的横坐标为t,则点Q的横坐标为4+t,进而可得出点P、Q的坐标,利用待定系数法可求出直线PQ的表达式,设点D的坐标为(x,-x2+2x+3),则点E的坐标为(x,-2(t+1)x+t2+4t+3),进而即可得出DE的长度,利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=-2x2+4(t+2)x-2t2-8t,再利用二次函数的性质即可解决最值问题.
详解:
(1)将A(-1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx+3,得:
,解得:
,
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.
(2)(I)当点P的横坐标为-时,点Q的横坐标为,
∴此时点P的坐标为(-,),点Q的坐标为(,-).
设直线PQ的表达式为y=mx+n,
将P(-,)、Q(,-)代入y=mx+n,得:
,解得:
,
∴直线PQ的表达式为y=-x+.
如图②,过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E,
设点D的坐标为(x,-x2+2x+3),则点E的坐标为(x,-x+),
∴DE=-x2+2x+3-(-x+)=-x2+3x+,
∴S△DPQ=DE•(xQ-xP)=-2x2+6x+=-2(x-)2+8.
∵-2<0,
∴当x=时,△DPQ的面积取最大值,最大值为8,此时点D的坐标为(,).
(II)假设存在,设点P的横坐标为t,则点Q的横坐标为4+t,
∴点P的坐标为(t,-t2+2t+3),点Q的坐标为(4+t,-(4+t)2+2(4+t)+3),
利用待定系数法易知,直线PQ的表达式为y=-2(t+1)x+t2+4t+3.
设点D的坐标为(x,-x2+2x+3),则点E的坐标为(x,-2(t+1)x+t2+4t+3),
∴DE=-x2+2x+3-[-2(t+1)x+t2+4t+3]=-x2+2(t+2)x-t2-4t,
∴S△DPQ=DE•(xQ-xP)=-2x2+4(t+2)x-2t2-8t=-2[x-(t+2)]2+8.
∵-2<0,
∴当x=t+2时,△DPQ的面积取最大值,最大值为8.
∴假设成立,即直尺在平移过程中,△DPQ面积有最大值,面积的最大值为8.
点睛:
本题考查了待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值,解题的关键是:
(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数表达式;
(2)(I)利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+6x+;(II)利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+4(t+2)x-2t2-8t.
4.如图,抛物线y=ax2+bx(a≠0)过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.
(1)求抛物线的表达式;
(2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积;
(3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,是否存在这样的点P,使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍?
若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(4)若点M在直线BH上运动,点N在x轴正半轴上运动,当以点C,M,N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时△CMN的面积.
【答案】
(1)y=-x2+4x;
(2)C(3,3),面积为3;(3)P的坐标为(5,-5);(4)或5.
【解析】
试题分析:
(1)利用待定系数法进行求解即可;
(2)先求出抛物线的对称轴,利用对称性即可写出点C的坐标,利用三角形面积公式即可求面积;
(3)利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求;
(4)分情况进行讨论,确定点M、N,然后三角形的面积公式即可求.
试题解析:
(1)将A(4,0),B(1,3)代入到y=ax2+bx中,得,解得,
∴抛物线的表达式为y=-x2+4x.
(2)∵抛物线的表达式为y=-x2+4x,∴抛物线的对称轴为直线x=2.
又C,B关于对称轴对称,∴C(3,3).∴BC=2,∴S△ABC=×2×3=3.
(3)存在点P.作PQ⊥BH于点Q,设P(m,-m2+4m).
∵S△ABP=2S△ABC,S△ABC=3,∴S△ABP=6.
∵S△ABP+S△BPQ=S△ABH+S梯形AHQP
∴6+×(m-1)
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