九年级数学关于圆的综合问题.docx
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九年级数学关于圆的综合问题
初三数学关于圆的综合问题知识精讲二
一.本周教学内容:
关于圆的综合问题
(二)
综合题是指学生在不同的学习阶段所学的知识,不同章节所学的知识,特别是代数、几何不同学科中所学的知识,综合运用进行解题的数学题目,它既能考察同学们对数学基础知识基本方法掌握的熟练程度,又能考察综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
几何中关于圆的综合题大致可分为:
(1)以几何知识为主体的综合题;
(2)代数、几何知识相结合的综合题;
(3)圆中的探索型问题;
我们通过下面的例题对以上各类问题进行分析。
典型例题
(一)以几何知识为主体的综合题。
例1.如图:
⊙O是△ABC的外接圆,BD是⊙O的切线,与CA延长交于D,且BD2=DA2+DA·AB,△ABD的外接圆交BC于E,
(1)求证:
AB=AC
(2)求证:
BD=EC
(3)若△ABD的周长等于AC+BC,
分析:
本题
(1)易证。
利用
(1)题的结论证
(2)题,我们发现如果BD=EC成立,必有△ABD≌△AEC,
所以我们只需连结AE,并证得∠2=∠C即可。
(3)题若结论成立,需△ABE∽△BAC,因此证明∠1=∠C是本题解出的关键。
解:
(1)∵BD2=DA·DC=DA(DA+AC)=DA2+DA·AC,
由已知得:
BD2=DA2+DA·AB,
∴AC=AB
(2)连结AE,
∵BD是⊙O的切线,∴∠2=∠C
又∵∠AEC是圆内接四边形AEBD的外角,∠AEC=∠D
∵AB=AC,∴△ADB≌△AEC
∴BD=EC
(3)由已知AB+BD+AD=AC+BC=AC+BE+EC
∵AB=AC,BD=EC,∴AD=BE
又∵△ADB≌△AEC,∴AD=AE,∴AE=BE,∠1=∠3
∵AB=AC,∴∠3=∠C,∴∠1=∠C
∴△BAE∽△BCA
又∵∠CAE=∠DBC=∠2+∠3=2∠3
∠CEA=∠1+∠3=2∠3
∴∠CAE=∠CEA∴CE=CA
即AB=EC
由AB2=BE·BC,∴EC2=BE·BC=BE(EC+BE)
∴BE2+EC·BE-EC2=0
点拨:
本题是一道典型的几何综合题,把中学几个阶段学到的知识有机的组合到一起,图形中相似三角形、全等三角形、等腰三角形综合到一起,由果索因的分析方法是本题的基本方法,而最后的求值,则应综合我们前面证过的结论,得到关于BE和EC的关系式,最后利用解一元二次方程的方法求解。
二、与函数知识相结合的综合题
例2.
圆的圆心D是该抛物线的顶点,小圆的圆心B是该抛物线与x轴正半轴的交点,大圆与x轴相切于E,小圆与y轴相切于O,两圆外切,且大圆的半径是小圆半径的4倍。
(1)求ac+b的值;
解:
(1)设小圆半径为r,则大圆半径为4r,
∴BD=5r,DE=4r,
由勾股定理得EB=3r,
例3.
又抛物线的顶点为P(2,4),
(1)求此抛物线解析式及A,B两点坐标;
(2)设过P,C两点的直线与x轴交于点Q,求Q点坐标;
(3)设过B,C,O三点的圆O'与过P,C两点的直线相交于C,E两点,求tan∠COE的值。
解:
(1)∵抛物线顶点P坐标为P(2,4)
∴可设抛物线解析式为:
设A(x1,0),B(x2,0),C(0,4a+4),
∴A(-2,0),B(6,0)
(2)设过P、C的直线为y=mx+n,
∵P(2,4),C(0,3)
(3)连结OE,BE,BC
∵四边形COBE内接于⊙O',
∴∠BEC=∠BOC=90°,而∠COE=∠CBE
∴Rt△QOC∽Rt△QEB
(三)圆中的探索型问题
探索型数学问题一般具有以下特征:
(1)给出了条件,但有怎样的结论却是未知的,有待确定的;
(2)给出了结论,但要去探求结论成立应具备的条件,解题方法的寻求需要同学有独立创新的精神;
①可先提出特殊情况进行研究,再要求归纳,猜测和确定一般结论;
②先对某一给定条件和结论的问题进行研究,再探讨改变条件时,其结论相应发生的变化,或改变结论时其条件相应发生的变化。
解答探索型习题,必须经过观察、试验、分析、比较、类比、归纳、猜测、推断等思维活动才能解决问题。
例4.如图①:
已知平行四边形PQRS是⊙O的内接四边形。
(1)求证:
平行四边形PQRS是矩形。
(2)如图②所示,如果将题目中的⊙O改为边长为a的正方形ABCD,在AB、AD上分别取点P,S,连结PS,将Rt△SAP绕正方形中心O旋转180°得Rt△QCR,从而得到四边形PQRS,试判断四边形PQRS能否变化成矩形?
若能,设PA=x,SA=y,请说明x、y具有什么关系时,四边形PQRS是矩形;若不能,请说明理由。
分析:
(1)主要是运用圆内接四边形的性质;
(2)是探索性问题,抓住题设条件,利用对称的性质是解决问题的突破口。
解:
(1)证法一:
∵PQRS是圆内接四边形
∴∠P+∠R=180°
又∵四边形PQRS是平行四边形
∴∠P=∠R,∴∠P=90°,
故平行四边形PQRS是矩形。
证法二:
∵圆内接四边形PQRS是平行四边形,
∴QR=PS,QP=RS,
∴∠PQR=90°,∴平行四边形PQRS是矩形。
(2)由题意,得Rt△SAP与Rt△QCR关于O对称,如图②
∴OP=OR,OQ=OS
∴四边形PSRQ是平行四边形,当∠PSR=90°时,
平行四边形PSRQ为矩形,此时∠1+∠2=90°
又∵∠3+∠2=90°,∴∠3=∠1
∴Rt△PAS∽Rt△SDR
∴x=y或x+y=a
∴当x=y或x+y=a时,平行四边形PSRQ为矩形。
例5.如图:
EB是⊙O的直径,且EB=6,在BE的延长线上取点P,使EP=EB。
A是EP上一点,过A作⊙O的切线AD,切点为D。
过D作DF⊥AB于F,过B作AD的垂线BH,交AD的延长线于H。
连结ED和FH。
(1)若AE=2,求AD的长。
明你的结论;②设ED=x,BH=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
分析:
(1)由AD切⊙O于D,知AD2=AE·AB,得AD长;
(2)①连结DB,可证∠1=∠2,则△DFB≌△DHB,得BF=BH,由等腰△“三线合一”定理知,BD⊥FH,因BD⊥DE,
②由△DFE∽△BDE,设ED=x,BH=y,BE=6,EF=6-y,可得出y与x的函数关系。
解:
①连结BD,∵AD切⊙O于D,
∴AD2=AE·AB
∵AE=2,EB=6
∴AD=4
(2)①无论点A在EP上怎样移动,(点A不与点E重合)
证明:
设BD交FH于G
∵AH是⊙O的切线,D为切点,∴∠3=∠4
又∵BH⊥AH,BE为直径,∴∠BDE=90°
在△DFB和△DHB中,∠DFB=∠DHB=90°,∠1=∠2,DB=DB
∴△DFB≌△DHB,
∴BF=BH,∴△BHF是等腰三角形,
∵∠1=∠2,∴BG⊥FH,即BD⊥FH
∵BD⊥DE,∴ED∥FH
②设ED=x,BH=y,BE=6,BF=BH
∴EF=6-y,
又∵DF是Rt△BDE斜边上的高
∴△DFE∽△BDE
∵点A不与点E重合,∴ED=x>0
当点A从E向左移动,ED逐渐增大,当A和P重合时,ED最大,
连结OD,则OD⊥PH,∴OD∥BH
又∵PO=PE+EO=6+3=9,PB=12
点拨:
此题第
(2)题的第①小题是一个结论探索问题,它要求先探索出结论,再证明结论成立,这个问题可改为:
点A是线段EP上一点,(点A不与点E重合),
这个点为某条直线上任意一点的问题。
【模拟试题】
1.已知二次函数的图像过点(0,0)和(12,0)最高的点的纵坐标为,
(1)求抛物线的解析式;
(2)平行于x轴的直线在x轴上方与抛物线交于两点,若以该两点为直径的圆与x轴相切求此圆半径。
2.图中的五个半圆,邻近的两半圆相切,两只小虫同时出发,以相同的速度从A点到B点。
甲虫沿路线爬行,乙虫沿路线爬行,则下列结论正确的是()
A.甲先到B点
B.乙先到B点
C.甲、乙同时到B点
D.无法确定
3.如图,已知C为线段AB上一点,分别以AC,AB为直径作⊙O和⊙O',过B作BE与⊙O相切于E,作CD⊥AB于C,交⊙O'于D,若,求∠ABE的度数。
4.如图所示,⊙A的圆心在y轴的正半轴,与坐标轴分别交于B,C,D,E,直线l是经过D点的⊙A的切线,以OD为半径的⊙D交OA于F,G,BF交直线l于H,BD交⊙D于I。
(1)求证:
∠H=2∠BFI。
(2)设,求证△BCD是等边三角形。
(3)如图所示,在
(2)的条件下,⊙D沿x轴滚动,与边DB,DC相交于M,N,试问度数是否发生变化。
若变化求出变化范围,若不变给出证明,并求的度数。
(提示:
作辅助线如图)
5.如图,点O1在x轴的正半轴上,⊙O与x轴的负半轴交于G点,⊙O与⊙O1的交点A,B在y轴上,设⊙O1的弦AC的延长线交⊙O于F点,连结GF,且AFGF。
(1)求证:
C为线段OG的中点;
(2)连结AO1作⊙O1的弦DE,使DE∥AO,求E点的坐标;
(3)线段EA,EB(或延长线)分别交⊙O于M,N,问当点E在(不含端点)上运动时,线段MN的长度是否会发生变化?
试证明你的结论。
6.如图所示,直线l的解析式与x轴交于A,与y轴交于另一点C,⊙M经过A,C两点,圆心M在y轴上,过A,M两点的⊙N与⊙M交于另一点E,与y轴交于另一点F。
求:
(1)sin∠CEF的值。
(2)如图所示,设l是⊙N的切线,求证EF∥l。
(3)在
(2)条件下,求⊙N的半径及N点的坐标。
(提示:
做辅助线如图)
[参考答案]
1.解:
(1)∵抛物线过点(0,0)和(12,0)
∴顶点横坐标为6,而纵坐标为
∴顶点为(6,)
设抛物线解析式为则
∴解析式为
(2)设平行于x轴的直线在x轴上方交抛物线于M,N两点,
∵以MN为直径的圆与x轴相切
∴设圆的半径为r,则圆心O'的坐标为(6,r),交点N的坐标为N(6+r,r),
又∵N在抛物线上
∴
解之:
或(舍去)
∴圆的半径为4
2.C
3.提示:
连结AD,BD,∠ABE=30°
4.解:
(1)∵直线l切⊙A于D,
∴直线l⊥y轴,连结GF
又∵⊙D交⊙A于FG
∴FG⊥y轴
∴FG∥直线l,∴∠H=∠GFB
观察⊙D可知∠GDB=2∠GFI
观察⊙A可知∠GDB=∠GFB
∴∠GFB=2∠GFI,∴∠GFI=∠BFI
∴∠H=∠BHD=2∠BFI
(2)∵DE为⊙A的直径,且DE⊥BC于O
∴
∴BD=CD
连DF,∵直线l切⊙A于D
∴∠HBD=∠HDF,而∠H=∠H
∴△DHF∽△BHD
∴
∴在Rt△BOD中,
∴∠DBO=60°
∴△BCD为等边三角形
(3)延长BD交⊙D'于P,连PN
延长CD交⊙D'于G,过D'作D'K⊥MP于K
D'R⊥GC于R
∵直线l∥x轴而∠DBC=∠DCB=60°
∴∠PDD'=∠CDD'=
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