全国高考理科数学试题与答案新课标宁吉黑晋豫新.docx
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全国高考理科数学试题与答案新课标宁吉黑晋豫新
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第I卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.复数
2i
12i
的共轭复数是
A.
3
5
iB.
3
5
i
C.iD.i
2.下列函数中,既是偶函数哦、又在(0,)单调递增的函数是
A.
2
yxB.yx1
C.
21
yxD.y2
x
3.执行右面的程序框图,如果输入的N是6,那么输出的p是
A.120
B.720
C.1440
D.5040
4.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相
同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A.
1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
3
4
5.已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y2x上,则cos2=
A.
4
5
B.
3
5
C.
3
5
D.
4
5
6.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,
则相应的俯视图可以为
1/11
7.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,AB为C
的实轴长的2倍,则C的离心率为
A.2B.3C.2D.3
a1
x2x
xx
5
的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为
8.
A.-40B.-20C.20D.40
9.由曲线yx,直线yx2及y轴所围成的图形的面积为
A.
10
3
B.4C.
16
3
D.6
10.已知a与b均为单位向量,其夹角为,有下列四个命题
22
P:
ab10,P2:
ab1,
1
33
P3:
ab10,P4:
ab1,
33
其中的真命题是
A.P1,P4B.P1,P3C.P2,P3D.P2,P4
11.设函数f(x)sin(x)coxs()(0的,最小正)周期为,且
2
f(x)f(x,)则
A.f(x)在0,
2
单调递减B.f(x)在
3
44
单调递减
C.f(x)在0,
2
单调递增D.f(x)在
3
44
单调递增
1
的图像与函数y2sinx(2x4)的图像所有交点的横坐标之和等于
12.函数
y
x1
A.2B.4C.6D.8
2/11
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题---第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。
第22题—第24题为选考题,考生根据要求做答。
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分。
13.若变量x,y满足约束条件
32xy9,
6xy9,
则zx2y的最小值为。
14.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为
2
2
。
过F1的直线交于CA,B两点,且
ABF的周长为16,那么C的方程为。
2
15.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB6,BC23,则棱锥
OABCD的体积为。
16.在ABC中,B60,AC3,则AB2BC的最大值为。
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
等比数列an的各项均为正数,且
2
2a3a1,a9aa.
12326
求数列an的通项公式.
设bnlog3a1log3a2......log3an,求数列
1
b
n
的前n项和.
18.(本小题满分12分)
如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四
边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明:
PA⊥BD;
(Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。
3/11
19.(本小题满分12分)
某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或
等于102的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100
件这种产品,并测试了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:
A配方的频数分布表
指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]
频数82042228
B配方的频数分布表
指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]
频数412423210
(I)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率;
(II)已知用B配方生产的一种产品利润y(单位:
元)与其质量指标值t的关系式为
2,t94
y2,94t102
4,t102
从用B配方生产的产品中任取一件,其利润记为X(单位:
元).求X的分布列及数学期望.(以
试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率).
20.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y3上,M点满足MB//OA,
MAABMBBA,M点的轨迹为曲线C.
(I)求C的方程;
(II)P为C上动点,l为C在点P处的切线,求O点到l距离的最小值.
21.(本小题满分12分)
已知函数
f(x)
alnxb
x1x
,曲线yf(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为x2y30.
(I)求a,b的值;
(II)如果当x>0,且x1时,()lnxk
fx
x1x
,求k的取值范围.
4/11
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答是用
2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,D,E分别为ABC的边AB,AC上的点,且不与ABC的顶点重合.已知AE的长为
m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程
2140
xxmn的两个根.
(I)证明:
C,B,D,E四点共圆;
(II)若A90,且m4,n6,求C,B,D,E所在圆的半径.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线
C的参数方程为
1
x
y
2cos
22sin
(
为参数),M为
C上的动点,
1
P点满足OP2OM,点P的轨迹为曲线C2.
(I)求C2的方程;
(II)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线
3
与C1的异于极点的交
点为A,与
C的异于极点的交点为B,求|AB|.
2
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
设函数f(x)|xa|3x,其中a0.
5/11
(I)当a=1时,求不等式f(x)3x2的解集.
(II)若不等式f(x)0的解集为{x|x1},求a的值.
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试卷参考答案
一、选择题
(1)C
(2)B(3)B(4)A(5)B(6)D
(7)B(8)D(9)C(10)A(11)A(12)D
二、填空题
(13)-6(14)
22
xy
168
1
(15)83(16)27
三、解答题
(17)解:
(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由
2
a39a2a6得
32
a39a4所以
21
q。
9
由条件可知c>0,故
1
q。
3
由
2a3a1得
12
1
2a3aq1,所以a1。
12
3
故数列{an}的通项式为an=
1
n。
3
(Ⅱ)
blogaloga...loga
n31323n
(12...n)
n(n1)
2
故
1211
2()
bn(n1)nn1
n
111111112n
...2(
(1)()...())
bbb223nn1n1
12n
所以数列
1
{}
b
n
的前n项和为
2n
n1
6/11
(18)解:
(Ⅰ)因为DAB60,AB2AD,由余弦定理得BD3AD
2+AD2=AB2,故BDAD
从而BD
又PD底面ABCD,可得BDPD
所以BD平面PAD.故PABD
(Ⅱ)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐
标系D-xyz,则
A1,0,0,B0,3,0,C1,3,0,P0,0,1。
uuuvuuvuuuv
AB(1,3,0),PB(0,3,1),BC(1,0,0)
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则
{
uuur
nAB
uuur
nPB
0,
0,
x3y0即
3yz0
因此可取n=(3,1,3)
设平面PBC的法向量为m,则
{
uuur
mPB0,
uuru
mBC0,
可取m=(0,-1,3)
cosm,n
427
7
27
27
故二面角A-PB-C的余弦值为
7
(19)解
(Ⅰ)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质的平率为
228
100
=0.3
,所以用A配方生产
的产品的优质品率的估计值为0.3。
由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为
3210
100
0.42
,所以用B配方生产
的产品的优质品率的估计值为0.42
(Ⅱ)用B配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间90,94,94,102,102,110的
频率分别为0.04,,054,0.42,因此
P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,
即X的分布列为
7/11
X-224
P0.040.540.42
X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
(20)解:
(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
uuur
所以MA
uuru
=(-x,-1-y),MB
uuur
=(0,-3-y),AB
=(x,-2).
uuur
再由题意可知(MA
uuru
+MB
uuur
)?
AB
=0,即(-x,-4-2y)?
(x,-2)=0.
所以曲线C的方程式为y=
1
4
x
2
-2.
(Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C:
y=
1
4
x
2-2上一点,因为y'=
1
2
x,所以l的斜率为
1
2
x0
1
因此直线l的方程为yy0x0(xx0),即
2
2
x0x2y2y0x00。
则O点到l的距离
d
2
|2yx|
00
2
x
0
4
.又
1
2
yx2,所以
00
4
1
2
x414
0
2(4)2,
2
dx
0
222
x4x4
00
当
2
x=0时取等号,所以O点到l距离的最小值为2.
0
(21)解:
x1
(lnx)
b
x
(Ⅰ)22
f'(x)
(x1)x
1
2
,且过点(1,1),故
f
f
(1)1,
1
'
(1),
2
由于直线x2y30的斜率为
即
b1,
a1
b
22
解得a1,b1。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
f(x)
lnx1
x1x
,所以
2
lnxk1(k1)(x1)
f(x)()(2lnx)
2
x1x1xx
。
8/11
考虑函数h(x)2lnx
2
(k1)(x1)
x
(x0),则
h'(x)
2
(k1)(x1)2x
2
x
。
(i)设k0,由
h'(x)
22
k(x1)(x1)
2
x
知,当x1时,h'(x)0。
而h
(1)0,故
当x(0,1)时,h(x)0,可得
1
1
2
x
h(x)0
;
当x(1,+)时,h(x)<0,可得
1
1
2
x
h(x)>0
从而当x>0,且x1时,f(x)-(
ln
x
x
1
+
k
x
)>0,即f(x)>
ln
x
x
1
+
k
x
.
(ii)设0 1 1k 2+1)+2x>0,故 )时,(k-1)(x ' h(x)>0,而 h (1)=0,故当x(1, 1 1k )时,h(x)>0,可得 1 1 2 x h(x)<0,与题设矛盾。 (iii)设k1.此时 ' h(x)>0,而h (1)=0,故当x(1,+)时,h(x)>0,可得 1 1 x 2 h(x)<0,与题设矛盾。 综合得,k的取值范围为(-,0] 解: (2)由 (1)知 f(x) lnx1 x1x . 故要证: f(x) ln x x 1 只需证 lnx1lnx x1xx1 为去分母,故分x>1与0 当x>1时,需证 2 x(x1)lnxx1x(x1)lnx 即 lnx 21 x x 即需证 lnxx 1 x . (1) 设 g(x)lnxx 1 x ,则 1 g'(x)1 x 由x>1得g'(x)0,所以 g(x)lnxx 1 x 在(1,+)上为减函数.又因g (1)=0 所以当x>1时g(x)<0即 (1)式成立. 同理0 lnxx 1 x (2) 而由0 g(x)lnxx 1 x 在(0,1)上为增函数.又因g (1)=0 所以当0 (2)式成立. 9/11 综上所证,知要证不等式成立. 点评: 抓住基本思路,去分母化简问题,不可死算. (22)解: (I)连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中, AD×AB=mn=AE×A,C 即 AD AC AE AB .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E四点共圆。 (Ⅱ)m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12. 故AD=2,AB=12. 取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线,两垂线相交于H点,连接 DH.因为C,B,D,E四点共圆,所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH. 由于∠A=900,故GH∥AB,HF∥AC.HF=AG=5,DF= 0,故GH∥AB,HF∥AC.HF=AG=5,DF= 1 2 (12-2)=5. 故C,B,D,E四点所在圆的半径为52 (23)解: (I)设P(x,y),则由条件知M( X 2 Y 2 ).由于M点在C1上,所以 x 2 y 2 2cos, 22sin 即 x y 4 4 cos 4sin 从而C2的参数方程为 x y 4cos 44sin (为参数) (Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为4sin,曲线C2的极坐标方程为8sin。 射线 与C1的交点A的极径为14sin , 33 10/11 射线。 与C2的交点B的极径为28sin 33 所以|AB||21|23. (24)解: (Ⅰ)当a1时,f(x)3x2可化为 |x1|2。 由此可得x3或x1。 故不等式f(x)3x2的解集为 {x|x3或x1}。 (Ⅱ)由f(x)0得 xa3x0 此不等式化为不等式组 xa xa3x0 或 xa ax3x0 xaxa 即 a x或 4 a a 2 因为a0,所以不等式组的解集为x|x a 2 由题设可得 a 2 =1,故a2 11/11
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