高三一轮复习讲义第3章第1节导数的概念及运算及答案.docx
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高三一轮复习讲义第3章第1节导数的概念及运算及答案
导数的概念及运算
1.导数与导函数的概念
(1)一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作,即f′(x0)==.
(2)如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,这个函数称为函数y=f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=f′(x0).
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=0
f(x)=xα(α∈Q*)
f′(x)=αxα-1
f(x)=sinx
f′(x)=cosx
f(x)=cosx
f′(x)=-sinx
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=ax(a>0,a≠1)
f′(x)=axlna
f(x)=lnx
f′(x)=
f(x)=logax(a>0,a≠1)
f′(x)=
4.导数的运算法则
若f′(x),g′(x)存在,则有
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)[]′=(g(x)≠0).
5.复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
【知识拓展】
1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.
2.[]′=-(f(x)≠0).
3.[af(x)+bg(x)]′=af′(x)+bg′(x).
4.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.()
(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.()
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.()
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()
(5)函数f(x)=sin(-x)的导数是f′(x)=cosx.()
考点自测
1.(教材改编)若f(x)=x·ex,则f′
(1)等于()
A.0B.eC.2eD.e2
2.如图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是()
3.某质点的位移函数是s(t)=2t3-gt2(g=10m/s2),则当t=2s时,它的加速度是()
A.14m/s2B.4m/s2C.10m/s2D.-4m/s2
4.设函数f(x)的导数为f′(x),且f(x)=f′()sinx+cosx,则f′()=.
5.曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程是.
题型一导数的计算
例1求下列函数的导数.
(1)y=x2sinx;
(2)y=lnx+;(3)y=;(4)y=sin(2x+);(5)y=ln(2x-5).
(2)复合函数求导时,先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元.
(1)f(x)=x(2016+lnx),若f′(x0)=2017,则x0等于()
A.e2B.1C.ln2D.e
(2)若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′
(1)=2,则f′(-1)等于()
A.-1B.-2C.2D.0
题型二导数的几何意义
命题点1求切线方程
例2
(1)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.
(2)已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为()
A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=0
命题点2求参数的值
例3
(1)函数y=ex的切线方程为y=mx,则m=.
(2)已知f(x)=lnx,g(x)=x2+mx+(m<0),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,与f(x)图象的切点为(1,f
(1)),则m等于()
A.-1B.-3C.-4D.-2
命题点3导数与函数图象的关系
例4如图,点A(2,1),B(3,0),E(x,0)(x≥0),过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S,则函数S=f(x)的图象为下图中的()
(1)已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为()
A.3B.2C.1D.
(2)设曲线y=在点(,1)处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于()
A.-1B.C.-2D.2
3.求曲线的切线方程
典例若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,求a的值.
错解展示
1.若f(x)=2xf′
(1)+x2,则f′(0)等于()
A.2B.0C.-2D.-4
2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=t3-3t2+8t,那么速度为零的时刻是()
A.1秒B.1秒末和2秒末C.4秒末D.2秒末和4秒末
3.若直线y=x是曲线y=x3-3x2+px的切线,则实数p的值为()
A.1B.2C.D.1或
4.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)等于()
A.-1B.0C.2D.4
5.已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率为()
A.eB.-eC.D.-
6.已知函数f(x)=+1,g(x)=alnx,若在x=处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行,则实数a的值为()
A.B.C.1D.4
7.已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f
(1))处的切线过点(2,7),则a=.
8.曲线y=log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于.
9.若函数f(x)=x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.
*10.已知曲线f(x)=xn+1(n∈N*)与直线x=1交于点P,设曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn,则log2016x1+log2016x2+…+log2016x2015的值为.
11.已知曲线y=x3+.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
12.已知函数f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围;
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.
*13.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:
曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
导数的概念及运算
1.导数与导函数的概念
(1)一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作,即f′(x0)==.
(2)如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,这个函数称为函数y=f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=f′(x0).
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=0
f(x)=xα(α∈Q*)
f′(x)=αxα-1
f(x)=sinx
f′(x)=cosx
f(x)=cosx
f′(x)=-sinx
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=ax(a>0,a≠1)
f′(x)=axlna
f(x)=lnx
f′(x)=
f(x)=logax(a>0,a≠1)
f′(x)=
4.导数的运算法则
若f′(x),g′(x)存在,则有
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)[]′=(g(x)≠0).
5.复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
【知识拓展】
1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.
2.[]′=-(f(x)≠0).
3.[af(x)+bg(x)]′=af′(x)+bg′(x).
4.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.(×)
(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.(×)
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(√)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(×)
(5)函数f(x)=sin(-x)的导数是f′(x)=cosx.(×)
考点自测
1.(教材改编)若f(x)=x·ex,则f′
(1)等于()
A.0B.eC.2eD.e2
答案C
解析f′(x)=ex+x·ex,∴f′
(1)=2e.
2.如图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是()
答案D
解析由y=f′(x)的图象知y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减,说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故可排除A,C.
又由图象知y=f′(x)与y=g′(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.
3.某质点的位移函数是s(t)=2t3-gt2(g=10m/s2),则当t=2s时,它的加速度是()
A.14m/s2B.4m/s2C.10m/s2D.-4m/s2
答案A
解析由v(t)=s′(t)=6t2-gt,
a(t)=v′(t)=12t-g,
当t=2时,a
(2)=v′
(2)=12×2-10=14.
4.设函数f(x)的导数为f′(x
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- 一轮 复习 讲义 导数 概念 运算 答案