中考数学一元二次方程与二次函数复习冲刺题.docx
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中考数学一元二次方程与二次函数复习冲刺题
2013年中考数学一元二次方程与二次函数复习冲刺题
2013中考总结复习冲刺练:
一元二次方程与二次函数
【前言】
前三讲,笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题,在这一类问题当中,尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象,构造,往往有时候一条辅助线没有想到,整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说,代数综合题倒不需要太多巧妙的方法,但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中,代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体,多种其他知识点辅助的形式出现的。
所以在接下来的专题当中,我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。
一元二次方程与二次函数问题当中,纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。
但是在后面的中难档大题当中,通常会和根的判别式,整数根和抛物线等知识点结合,所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。
第一部分真题精讲
【例1】2012,西城,一模
已知:
关于的方程.
⑴求证:
取任何实数时,方程总有实数根;
⑵若二次函数的图象关于轴对称.
①求二次函数的解析式;
②已知一次函数,证明:
在实数范围内,对于的同一个值,这两个函数所对应的函数值均成立;
⑶在⑵条件下,若二次函数的图象经过点,且在实数范围内,对于的同一个值,这三个函数所对应的函数值,均成立,求二次函数的解析式.
【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题,这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。
由于并未说明该方程是否是一元二次方程,所以需要讨论M=0和M≠0两种情况,然后利用根的判别式去判断。
第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质,即一次项系数为0,然后求得解析式。
第二问加入了一个一次函数,证明因变量的大小关系,直接相减即可。
事实上这个一次函数恰好是抛物线的一条切线,只有一个公共点(1,0)。
根据这个信息,第三问的函数如果要取不等式等号,也必须过该点。
于是通过代点,将用只含a的表达式表示出来,再利用,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.
【解析】
解:
(1)分两种情况:
当时,原方程化为,解得,(不要遗漏)
∴当,原方程有实数根.
当时,原方程为关于的一元二次方程,
∵.
∴原方程有两个实数根.(如果上面的方程不是完全平方式该怎样办?
再来一次根的判定,让判别式小于0就可以了,不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式,大家注意就是了)
综上所述,取任何实数时,方程总有实数根.
(2)①∵关于的二次函数的图象关于轴对称,
∴.(关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0)
∴
∴抛物线的解析式为.
②∵,(判断大小直接做差)
∴(当且仅当时,等号成立).
(3)由②知,当时,.
∴、的图象都经过.(很重要,要对那个等号有敏锐的感觉)
∵对于的同一个值,,
∴的图象必经过.
又∵经过,
∴.(巧妙的将表达式化成两点式,避免繁琐计算)
设.
∵对于的同一个值,这三个函数所对应的函数值均成立,
∴,
∴.
又根据、的图象可得,
∴.(a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值)
∴.
∴.
而.
只有,解得.
∴抛物线的解析式为.
【例2】2012,门头沟,一模
关于的一元二次方程.
(1)当为何值时,方程有两个不相等的实数根;
(2)点是抛物线上的点,求抛物线的解析式;
(3)在
(2)的条件下,若点与点关于抛物线的对称轴对称,是否存在与抛物线只交于点的直线,若存在,请求出直线的解析式;若不存在,请说明理由.
【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。
第二问给点求解析式,比较简单。
值得关注的是第三问,要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点,则需要设直线y=kx+b以后联立,新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零,但是这样还不够,因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.
【解析】:
(1)由题意得
解得
解得
当且时,方程有两个不相等的实数根.
(2)由题意得
解得(舍)(始终牢记二次项系数不为0)
(3)抛物线的对称轴是
由题意得(关于对称轴对称的点的性质要掌握)
与抛物线有且只有一个交点(这种情况考试中容易遗漏)
另设过点的直线()
把代入,得,
整理得
有且只有一个交点,
解得
综上,与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有,
【例3】
已知P()和Q(1,)是抛物线上的两点.
(1)求的值;
(2)判断关于的一元二次方程=0是否有实数根,若有,求出它的实数根;若没有,请说明理由;
(3)将抛物线的图象向上平移(是正整数)个单位,使平移后的图象与轴无交点,求的最小值.
【思路分析】拿到题目,很多同学不假思索就直接开始代点,然后建立二元方程组,
十分麻烦,计算量大,浪费时间并且可能出错。
但是仔细看题,发现P,Q纵坐标是一样的,说明他们关于抛物线的对称轴对称。
而抛物线只有一个未知系数,所以轻松写出对称轴求出b。
第二问依然是判别式问题,比较简单。
第三问考平移,也是这类问题的一个热点,在其他区县的模拟题中也有类似的考察。
考生一定要把握平移后解析式发生的变化,即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。
【解析】
(1)因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同,所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等.
所以,抛物线对称轴,所以,.
(2)由
(1)可知,关于的一元二次方程为=0.
因为,=16-8=80.
所以,方程有两个不同的实数根,分别是
,.
(3)由
(1)可知,抛物线的图象向上平移(是正整数)个单位后的解析式为.
若使抛物线的图象与轴无交点,只需无实数解即可.
由==又是正整数,所以得最小值为2.
【例4】2012,昌平,一模
已知抛物线,其中是常数.
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)若,且抛物线与轴交于整数点(坐标为整数的点),求此抛物线的解析式.
【思路分析】本题第一问较为简单,用直接求顶点的公式也可以算,但是如果巧妙的将a提出来,里面就是一个关于X的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值.
(1)依题意,得,
∴
∴抛物线的顶点坐标为
(2)∵抛物线与轴交于整数点,
∴的根是整数.
∴是整数.
∵,
∴是整数.
∴是整数的完全平方数.
∵,
∴.(很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手)
∴取1,4,
当时,;当时,.
∴的值为2或.
∴抛物线的解析式为或.
【例5】2012,平谷,一模
已知:
关于的一元二次方程(为实数)
(1)若方程有两个不相等的实数根,求的取值范围;
(2)在
(1)的条件下,求证:
无论取何值,抛物线总过轴上的一个固定点;
(3)若是整数,且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根,把抛物线向右平移个单位长度,求平移后的解析式.
【思路分析】本题第一问比较简单,直接判别式≥0就可以了,依然不能遗漏的是m-1≠0。
第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m提出,对其进行因式分解得到y=(mx-x-1)(x+1)就可以看出当x=-1时,Y=0,而这一点恰是抛物线横过的X轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性(在X轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.
解:
(1)
∵方程有两个不相等的实数根,
∴
∵,
∴的取值范围是且.
(2)证明:
令得.
∴.
∴(这样做是因为已经知道判别式是,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)
∴抛物线与轴的交点坐标为,
∴无论取何值,抛物线总过定点
(3)∵是整数∴只需是整数.
∵是整数,且,
∴
当时,抛物线为.
把它的图象向右平移个单位长度,得到的抛物线解析式为
【总结】中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容,但是考点无非也就是因式分解,判别式,对称轴,两根范围,平移以及直线与抛物线的交点问题。
总体来说这类题目不难,但是需要计算认真,尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。
这种题目大多包涵多个小问。
第一问往往是考验判别式大于0,不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况。
第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察,考生需要熟记对称轴,顶点坐标等多个公式的直接应用。
至于根与系数的关系(韦达定理)近年来中考已经尽量避免提及,虽不提倡但是应用了也不会扣分,考生还是尽量掌握为好,在实际应用中能节省大量的时间。
第二部分发散思考
【思考1】.2012,北京中考
已知关于的一元二次方程有实数根,为正整数.
(1)求的值;
(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于的二次函数的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式;
(3)在
(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:
当直线
与此图象有两个公共点时,的取值范围.
【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说,判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.
【思考2】2012,东城,一模
已知:
关于的一元二次方程
(1)若求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)若12<m<40的整数,且方程有两个整数根,求的值.
【思路分析】本题也是整根问题,但是不像上题,就三个值一个个试就可以试出来结果。
本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.
【思考3】2012,海淀,一模
已知:
关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数,二次函数y=ax2-bx+kc
(c≠0)的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
(1)若方程①的根为正整数,求整数k的值;
(2)求代数式的值;
(3)求证:
关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0②必有两个不相等的实数根.
【思路分析】本题有一定难度,属于拉分题目。
第一问还好,分类讨论K的取值即可。
第二问则需要将k用a,b表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.
【思考4】2012,顺义,一模
.已知:
关于的一元二次方程.
(1)求证:
不论取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根满足,求的值.
【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出,
发现都是关于m的一次表达式,做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解.这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.
第三部分思考题解析
【思考1解析】
解:
(1)由题意得,.
∴.
∵为正整数,
∴.
(2)当时,方程有一个根为零;
当时,方程无整数根;
当时,方程有两个非零的整数根.
综上所述,和不合题意,舍去;符合题意.
当时,二次函数为,把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为.
(3)设二次函数的图象与轴交于
两点,则,.
依题意翻折后的图象如图所示.
当直线经过点时,可得;
当直线经过点时,可得.
由图象可知,符合题意的的取值范围为.
【思考2解析】
证明:
∴方程有两个不相等的实数根。
(2)
∵方程有两个整数根,必须使且m为整数.
又∵12<m<40,
∴5<<9.
∴m=24
【思考3解析】
解:
由kx=x+2,得(k-1)x=2.
依题意k-1≠0.
∴.
∵方程的根为正整数,k为整数,
∴k-1=1或k-1=2.
∴k1=2,k2=3.
(2)解:
依题意,二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点(1,0),
∴0=a-b+kc,kc=b-a.
∴
=
(3)证明:
方程②的判别式为Δ=(-b)2-4ac=b2-4ac.
由a≠0,c≠0,得ac≠0.
(i)若ac0.故Δ=b2-4ac>0.此时方程②有两个不相等的实数
根.
(ii)证法一:
若ac>0,由
(2)知a-b+kc=0,故b=a+kc.
Δ=b2-4ac=(a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac=a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac
=(a-kc)2+4ac(k-1).
∵方程kx=x+2的根为正实数,
∴方程(k-1)x=2的根为正实数.
由x>0,2>0,得k-1>0.
∴4ac(k-1)>0.
∵(a-kc)20,
∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0.此时方程②有两个不相等的实数根.
证法二:
若ac>0,
∵抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点,
∴Δ1=(-b)2-4akc=b2-4akc0.
(b2-4ac)-(b2-4akc)=4ac(k-1).
由证法一知k-1>0,
∴b2-4ac>b2-4akc0.
∴Δ=b2-4ac>0.此时方程②有两个不相等的实数根.
综上,方程②有两个不相等的实数根.
【思考4解析】
(1)
不论取何值,方程总有两个不相等实数根
(2)由原方程可得
∴--
∴
又∵
∴
∴-
经检验:
符合题意.
∴的值为4.
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