热力学与统计物理第四章知识总结汇总.docx
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热力学与统计物理第四章知识总结汇总
§6.1粒子运动状态的经典描述
一、μ空间
1、μ空间的建立
在经典力学中,我们经常利用物体的坐标和动量描述物体的力学运动状态。
当然这种方法也可以用于描述遵守经典力学规律的近独立粒子。
如果粒子的自由度为r,则粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r个坐标q
,q
,…,q
和相应的r个广义动量P
,P
,…,P
在该时刻的数值确定。
粒子的能量ε是广义坐标和广义动量的函数,即ε=ε(q
,q
,…,q
;P
,P
,…,P
)
当存在外场时,ε还是描述外场参量的函数。
为了形象地描述粒子的力学运动状态,我们用q
,q
,…,q
;
P
,P
,…,P
共2r个变量为直角坐标,构成一个2r维空间,称为粒子的相空间或者μ空间。
粒子在某一时刻的力学运动状态(q
,q
,…,q
;P
,P
,…,P
)可以用μ空间中的一个点表示,称为粒子运动状态的代表点。
当粒子的运动状态随时间改变时,代表点相应地在μ空间中移动,描绘出一种轨迹,称为相轨迹。
由N个粒子组成的系统在某一时刻的一个特定的微观状态,在μ空间中用N个代表点表示。
随着时间的变化,系统运动状态的变化由N个代表点在μ空间中的N条运动轨迹,即N条线代表。
2、性质
i) μ空间是人为想象出来的超越空间,是个相空间。
引进它的目的在于使运动状态的描述几何化、形象化,以便于进行统计。
μ空间中的一个代表点是一个粒子的微观运动状态而不是一个粒子。
ii)在经典力学范围,在无相互作用的独立粒子系统中,任何粒子总可找到和它相应的μ空间来形象地描述它的运动状态,但不是所有的粒子的运动状态可以在同一μ空间中描述。
如一个自由度数为3的粒子,它需在一个6维的μ空间中描述;一个自由度数为5的粒子,它的μ空间是10维的,即需在10维的μ空间中描述它的运动状态。
二、自由粒子
所谓自由粒子,指的是不受外力作用可以自由运动的粒子。
在通常情况下,我们还经常把可以忽略外力作用的粒子看作自由粒子。
例如,当不存在力场时,理想气体的分子或金属中的自由电子都可以被看作自由粒子。
自由粒子有三个自由度,确定它的运动状态需要三个坐标(x,y,z)和三个动量(P
P
P
)。
因此,它的运动可用六维相空间中的点来描述。
经典力学告诉我们,自由粒子的能量就是它的动能
=
(P
+P
+P
) ⑴
最简单的μ空间运动是一维自由粒子的运动,其粒子运动状态可以在纸面上画出。
我们用x和P
表示粒子的坐标和动量,以x和P
为直角坐标,这样构成二维的μ空间。
如图所示设一维容器的长度为L,则x可取0到L中的任何数值。
对于遵从经典力学运动规律的粒子,P
原则上可以取-
到
中的任何数值。
这样,粒子的任何一个运动状态(x,P
)可由μ空间在上述范围中的一个点代表。
当粒子以一定的动量P
运动时,运动状态代表点的轨迹是平行于x轴的一条直线,直线与x轴的距离等于P
。
不同的动量P
可以描绘出不同的直线。
对于3维的自由粒子,μ空间是6维的,不可能在纸上画出它的图形来,但可把这6维的μ空间分解为三个二维的子空间,在一个子空间中描述粒子沿一个坐标轴的运动。
三、线性谐振子
质量为m的粒子在弹性力f=-Ax的作用下,将在原点附近作一维简谐振动,称为线性谐振子。
振动的圆频率
=
,A为常数,是弹性力系数。
M为粒子质量。
在一定的条件下,分子内原子的振动,晶体中原子或离子在其平衡位置附近的振动都可以看成是线性谐振子的运动。
线性谐振子的自由度为1。
任一时刻粒子离开原点的位移为x,相应的动量P=m
,其能量是动能和势能之和,为
=
+
x
=
+
m
x
⑵
如果给定振子的能量
,则⑵式可化为:
+
=1 ⑶
则以x和P
为直角坐标构成二维的μ空间,振子在任一时刻的运动状态由μ空间的一个代表点来表示。
当振子的运动状态随时间而变化时,运动状态的代表点在空间中描绘出一条轨迹,每个点的坐标x和动量P
在能量一定时,满足⑶式。
我们可以在二维μ空间中画出一个半轴分别为
和
的一个椭圆,椭圆的面积等于
。
由此可见,在μ空间中由能量相等的代表点所联结成的等能面是半轴长度分别为
和
的椭圆。
能量不同,椭圆也就不同。
§4.2 粒子运动状态的量子描述
一、量子描述
1、DeBroglie(德布罗意)关系
实践和理论都告诉我们,微观粒子具有明显的波粒二象性。
一方面,它们是客观存在的单个实体,另一方面,在适当的条件下又可以观察到微观粒子具有干涉、衍射等为波动所特有的物理现象。
根据DeBroglie(德布罗意)的波粒二象性理论,粒子能量
与圆频率
,动量
与波矢
的关系为
=
=
⑴
上式称为DeBroglie关系,适用于一切微观粒子,其中
=
,称
(或h)为Planck常数
它是量子物理中的基本常数。
量纲为[时间]
[能量]=[长度]
[动量]=[角动量]。
这类物理量常称为作用量,因此
也称基本作用量子。
用宏观现象的单位(Kg
m
S)来量度
,
的数值很小;反之,宏观世界用作用量子
为单位时,其参量将有非常大的数值,这样,Planck常数提供了一个判据:
当一个物质系统的任何具有作用量纲的物理量具有与
相比拟的数值时,这个物质系统是一个量子系统;反之,物理量用
来量度,数值非常大时,该系统为经典系统。
2、测不准关系
当我们用粒子和波两种图象去描述同一个微观粒子时,我们不能把经典的宏观粒子的全部属性或经典波动的全部属性都强加给这个微观粒子。
例如,当我们把经典力学中表征宏观粒子运动状态的位置(即坐标)和动量的观念用于微观粒子时,微观粒子的波动性就会对这种观念加以某种“限制”。
1927年海森堡(W.HeiSenberg)指出,要同时确定微观粒子的坐标和动量是不可能的,它们的准确度有一个原则上的限度,若用Δx表示微观粒子在x坐标轴上位置的准确度或者位置的可能范围,用ΔP
表示同一微观粒子同一时刻在x坐标方向上动量分量的准确度或者动量分量的可能范围,则Δx和ΔP
之间满足
kΔx
ΔP
h ⑵
这就是著名的海森堡测不准关系。
上式说明:
若准确地指定微观粒子的位置,即指定粒子准确地位于x出或者Δx=0,则由测不准关系式,必然得出ΔP
,这表示微观粒子的动量可能具有P
P
+
之间的任何数值,因而粒子的动量是不确定的。
反之,若准确的指定微观粒子的动量,则粒子的坐标也是不确定的。
这说明微观粒子的运动没有确定的轨迹,运动不是轨道运动。
在经典力学的理论中,粒子可以同时具有确定的坐标和动量。
这并不是说在实际上我们可以任意的精确度做到这一点,而是说在经典力学的理论中,原则上不允许对这精确度有任何限制。
由于普朗克常数h的数值很小,所以测不准关系在任何意义上都不会跟宏观物理学的经验知识发生矛盾。
3、量子描述
在量子力学中微观粒子的运动状态称为量子态。
量子态由一组量子数表征。
这组量子数的数目等于自由度数。
以下举例说明几种粒子的量子数。
(1)外磁场中的电子自旋 电子自旋.swf
电子具有自旋角动量
和自旋磁矩
。
两者之比
=-
其中e为电子电荷的绝对值,m为电子的质量。
在原子物理课讲过,如果存在z方向的外磁场,磁感强度为
,电子的自旋角动量在外磁场方向的投影有两个可能的值,即S
=±
。
自旋磁矩在外磁场方向的投影相应为μ
=
。
电子在外磁场的势能为
-
=±
B ⑶
因此描述处在外磁场中的电子自旋只要一个量子数S
,它只能取两个分立的数值±
。
(2)自由粒子
所谓自由粒子,指的是不受外力作用可以自由运动的粒子。
在通常情况下,我们还经常把可以忽略外力作用的粒子看作自由粒子
i)一维自由粒子
为简单起见,我们首先讨论一维的自由粒子。
设粒子处在长度为L的一维容器中,由量子力学知,在边界满足周期条件,则有
波矢量k
=
n
n
=0,±1,±2… ⑷
其中
是波矢。
将上式代入
=
,得一维自由粒子的动量为:
P
=
n
n
=0,±1,±2… ⑸
这里,n
表征一维自由粒子运动状态的量子数。
则一维自由粒子的能量由经典力学可得
=
=
n
=0,±1,±2… ⑹式⑸和⑹表明粒子的动量是分立的。
这是局域在有限空间范围的量子特征。
分立的能量值称为能级,由⑹式可求得相邻两能级的能级间距为ΔE
=E
-E
=
-
=
⑺
ii)三维自由粒子
设粒子处在边长为L的立方容器中,则粒子的三个动量分量分别为
P
=
n
n
=0,±1,±2…
P
=
n
n
=0,±1,±2… ⑻
P
=
n
n
=0,±1,±2…
式中n
n
n
是三维自由粒子运动状态的量子数。
能量为
=
(P
+P
+P
)=
⑼
由此可知,能级取决于(
)的数值。
因此处于同一能级上的量子态不止一个。
例如:
当
=
时,n
n
n
可以取
6组不同的值,即:
n
=0 n
=0 n
=±1
n
=0 n
=±1 n
=0
n
=±1 n
=0 n
=0
也就是说,能级
上的量子态有6个,我们就称能级
是简并的简并度为6。
某一能级的量子状态不止一个,一个能级的量子态数称为该能级的简并度
二、粒子的量子状态在μ空间中的描述
现在我们把测不准关系的结论应用到μ空间中。
可以证明,对于自由度为r的粒子,每一个量子状态在μ空间中占据大小为h
的一个体积元。
换句话说,粒子每一个可能的状态的状态对应于μ空间中大小为h
的一个体积元,我们可以根据测不准关系来理解。
测不准关系指出,在量子力学所容许的最精确的描述中,粒子坐标的不确定值Δq和与之共扼的动量的不确定值ΔP满足
ΔqΔP
h ⑽
因此如果用广义坐标q和广义动量P在μ空间中描述粒子的运动状态时,一个运动状态必然对应于μ空间中的一个体积元,我们称这个体积元为一个相格。
(由于微观粒子的运动受测不准关系限制,因而在μ空间中表示同一空间运动状态的代表点将分布在一块小体积内,这块小体积称为相格。
)对于自由度为1的粒子,这个相格(体积元)的大小为h。
如果粒子的自由度为r,每一个自由度的坐标和动量的不确定值Δq
和ΔP
分别满足测不准关系Δq
ΔP
h,则
Δq
…Δq
ΔP
…ΔP
h
⑾
因此,对于自由度为r的粒子,每一个可能的状态对应于μ空间中大小为h
的一个相格(体积元)。
例如,三维自由粒子的一个量子态对应于μ空间中体积为h
的一个相格。
nsV表示容器的体积。
在体积V内,在P
到P
+dP
P
到P
+dP
,P
到P
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