等比数列及前n项和讲义.docx

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等比数列及前n项和讲义

等比数列及前n项和复习

学习重难点：

①掌握等比数列的定义及通项公式（累乘法）

②运用错位相减法求数列的前n项和

【知识回顾】

1、定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的等于同一个

常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫等比数列的，通常

用字母示。

其定义式可写为

2、通项公式：

例1:

在等比数列｛an｝中,ai16,a48,则a?

（）.

A.-4B.4C.-2D.2

11i

例2：

在等比数列中，a1-，q-，an—，贝U项数门为（）

2232

A.3B.4C.5D.6

例3:

已知数列｛an｝为等比数列，也3，a11，则a3及S4的值分别为（）

a

A.9,20B.9,20C.9,20D.9,20

例4：

an是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为（）

①an2也是等比数列②can（c0）也是等比数列

1

③丄也是等比数列④lnan也是等比数列

an

3、等比中项：

若a,G,b成等比数列，则G叫a与b的等比中项，即G>ab

性质：

若mnpq，则特别的若mn2p，则

例5:

已知两个数分别为1和2，则这两个数的等比中项为（）

2

A.1B.1C.1D.不存在

例6：

等比数列an中，已知a92，则此数列前17项之积为（）

A.216B.216C.217D.217

例7：

已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a?

=（）

A.-4B.-6C.-8D.-10na1（q1）

4、前n项和公式SnaH1qn）（求和时注意考虑公比是否等于1

1q（q1）

的情况）

5、等比数列的性质

（1）等比数列的通项可以推广为：

anamqnm，公比空qnm

am

（2）等比数列an中每隔k项取出一项，按原来的顺序排成一个新数列，则

该数列仍为等比数列，公比为qk.如a!

，a5，a9，a!

3仍成等比，公比为

。

（3）若数列an,0是两个项数相同的等比数列，则数列ban,pangqd和

（其中b,p,q是非零常数）也是等比数列

qbn

（4）若数列an的项数为2n，则S偶=q；若项数为2n1，则选一=q

11O’o1

【题型分析】

题型一、等比数列的判定与证明：

（1）定义法：

若也q（q为非零常数，nN*）或电q（q为非零

anan1

常数，nN*且n2），则a.是等比数列。

（2）等比中项法：

若数列an中，an0,，且a；1a.a.2（nN*），则数列an是等比数列。

（3）通项公式法：

若数列an的通项公式可写成ancqn1（c,q均为不为

0的常数，nN*），贝Uan是等比数列。

（4）前n项和公式法：

若数列an的前n项和SnAqnA（A为常数且

不为0，q0,1）贝9an是等比数列。

思考：

若数列耳的前n项和为Sn2na，数列an是等比数列吗?

例1:

已知数列an的前n项和Sn2an1.

（1）求证：

数列an是等比数列；

（2）求an的通项公式.

变式训练1:

设an的前n项和为Sn，若anSnn,Cna.1,求证：

数列Cn是

等比数列.

变式训练2：

设数列an的前n项和为Sn，已知a11,Sn14a.2.

（1）设bnan12an，证明数列b1是等比数列；

（2）求数列an的通项公式.

题型二、等比数列基本量的运算

【提示】在等比数列的通项公式和前n项和公式中，一共涉及a1,q,n,an,Sn五个量，一般可以“知三求二”，通过列方程组求解。

在进行等比数列的基本量运算时，要恰当运用等比数列的性质，这「样可以简化运算，提高效率。

1

例2、在等比数列an中，已知a3a636,a4a?

18，a.—,求n及

2

例3:

已知等比数列an中，aia2a37,a1a2a3=8，求an及Sn

变式训练1:

等比数列an的前n项和为&，已知S，%S2成等差数列

（1）求an的公比q;

（2）若qa33,求&。

变式训练2：

有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，其最后一个数为25,求此四个数。

题型三、等比数列性质的应用

例4:

等比数列an的各项为正数，且asa6848718，则log3ailog3a2...log3aio等于（）

A.12B.10C.8D.2+log35

例5：

已知数列an为等比数列，若an0，且a2a42a3a5a4a636，则a3a5

的值是.

例6：

已知等比数列an共有2n项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=.

1

变式训练1：

已知等比数列an中，各项都是正数，且a1,丄a3,2a2成等差数列，

2

贝y比氐=.

a7a8

变式训练2:

项数为偶数的等比数列的首项为1,其奇数项之和为85,偶数项之和为170，则此数列的公比q=，项数n=.

题型四、等比数列的综合问题

例7：

已知数列an中，ai5,a219，且数列bn是公差为-1的等差数列，

636

其中bnlOg2（ani岂）.数列Cn是公比为1的等比数列，其中CnBn1，求

332

数列Bn的通项公式及它的前n项和Sn.

例8：

在等比数列an中，an0，公比q（0,1），且a1a52a3a5a2a825，又

B3与a5的等比中项为2，bnlog23n，数列g的前n项和为Sn，则当

勺邑爼最大时，求n的值

12n

3.已知一个等比数列的各项为正数，且从第三项起的任意一项均等于前两项之

和，则此等比数列的公比为（）

7、等比数列an中，a3和as是方程x2kx50的两个根，贝Uazaqae的值为

（

）

A.

25

B.

5,5

C.5,5

D.5、、5

8、

在等比数列a

h中,

首项a

0,若an是递增数列，则公比

q满足（

）

A.

q1

B.

q1

C.0q1

D.q0

9、若数列an为等比数列，则下列数列中一定是等比数列的个数为（）

⑴a2:

⑵丄

an

:

⑶

an

:

⑷

log2an；

⑸

anan

1；⑹an

an1

A.3

B.

4

C

.5

D.6

10、在等比数列

an中，若a3

9,a7

1,

则a5

的值为（

）

A.3B

.3

C

.3或3

D

.不存在

11、等比数列｛an｝中，a66和a2010是方程x2

kx

5

0的两个根，

则a68a1038a2008

14.

若an为等比数列，且2a4a6，则公比q.

15.首项为3的等比数列的第n项是48，第2n3项是192，则n.

16.已知等比数列an中，an0,（2a4a2a6）a436，则a3a5

17.数列an的前n项和记为Sn，a11a12Sn1（n>1,nN*）

（1）求数列an的通项公式；

（2）等差数列bn的各项为正数，其前n项和为Tn，且T315，又a1th,a2d,a3b3成等比数列，求Tn.

18.等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*,点（n,Sn）均在函数ybxr（b0且b1,b,r均为常数）的图象上.

（1）求r的值；

（2）当b2时，记bnd」（nN*），求数列bn的前n项和

4an

19.有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216,后三个数成等差

数列，且它们的和为12，求这四个数。

21

20.已知数列｛a.｝中，ai1,a22,a.2-an1—a.,

33

（）.求a3,a4,a5;

（2）.证明数列｛an1an｝是等比数列；

（3）.求数列｛a.｝的通项公式.

21.设数列a.的前n项和为Sn,数列Sn的前n项和为「,满足

2*

Tn2Snn,nN.

（1）求a1的值；

（2）求数列a.的通项公式.

（2）若数列

bnbn1

前n项和为Tn，问Tn

1000的最小正整数n是多少?

2009

（1）求数列an和bn的通项公式；