电磁感应问题中焦耳热求解方法归类例析.docx
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电磁感应问题中焦耳热求解方法归类例析
电磁感应问题中焦耳热求解方法归类例析
教学案例
近年来高考试题、各地模拟试题频频出现电磁感应中求解电热能即焦耳热的题
2型,其解题途径往往有两条:
一是用公式Q=IRt求解;二是计算克服安培力做的功W,克安运用W,Q来间接计算。
学生在解题中常常因为不能很好的理解和应用而陷入迷茫,克安
为了提高学生的甄别能力,避免解题时出错,本文将几种电磁感应问题中焦耳热的求解方法归类总结如下:
2一、用公式Q=IRt计算的三种情形
21、用公式Q=IRt直接计算
2Q=IRt直接应用的前提是电流恒定或电流I以方波规律变化,对于动生电动势E,
,E,n,BLV一般指在匀强磁场中导体棒切割磁感线的速度V不变;而对于感生电动势,t
,则要求不变。
t
例1、如图所示,矩形金属线圈的质量为m,电阻为R,放在倾角为的光滑斜面上,其中ab边长度为L,且与斜面底边平行。
MN、PQ是斜面上与ab平行的两水平虚线,间距为D。
在t=0时刻加一变化的磁场,磁感应强度B大小随时间t的变化关系为B=B-Kt,0开始方向垂直斜面向上,Kt,B,Kt。
在t=0时刻将线圈由图中位置静止释放,在t=t。
1021时刻ab边进入磁场,t=t时刻ab边穿出磁场,穿出磁场前的瞬间线圈加速度为0。
(重力2
加速度为g)求:
(1)从t,0到t,t运动过程中线圈产生的热量Q;1
(2)在t,t时刻,线圈中电流大小;1
(3)线圈的ab边在穿过磁场过程中克服安培力所做的功W。
MaLbP
N
Qd
c
θ
解析:
(1)求解的是均匀变化磁场引起的感生电流产生的焦耳热,在0到t时间内:
1
1
EBLDK,感生I,,E,S,LDK是恒定不变的,感应电流大小,所以在0到t时1感生RRt,
222LDK2间内产生的焦耳热Q,IRt,,t11R
(2)在0到t时间内,矩形线圈做初速度为0加速度a,gsin,的匀加速直线运动,1
t时刻,速度v,gsin,t,t时刻,线圈中既有感生电动势,又有动生电动势,根据楞次1111
定律和右手定则,两个电动势同向,所以E,(B,Kt)Lv,LDK,2011
E,(B,Kt)Lgsin,t,LDK,2011
E(B,Kt)Lgsin,t,LDK0112I,,所以2RR
(3)t时刻,ab边穿出磁场瞬间的速度为v,此时只有动生电动势22
E,(Kt,B)Lv,2023
E3I,,3R
由于t时刻加速度为0,根据牛顿第二定律:
mgsin,(Kt,B)IL,0,2203考虑ab边进入MN到ab边离开PQ的过程中,利用动能定理:
1122,mgDsin,W,mv,mv克安2122
3222mgsinR1,222,,解得:
W,mgDsin,mgsint,克安14422(Kt,B)L202、用电流I的有效值计算
当导体棒垂直切割磁感线运动时,产生的动生电动势E,BLV,公式中只要B、L、
V任意一个物理量按正弦(余弦)规律变化,回路中都会产生正弦(余弦)交流电,此时
就可以用电流的有效值来计算焦耳热。
例2、如图所示,矩形裸导线框
ll长边的长度为2,短边的长度为,在
两个短边上均接有电阻R,其余部分电
阻不计,导线框一长边与轴重合,左x
边的坐标x=0,线框内有一垂直于线框
平面的磁场,磁场的磁感应强度满足关
x,BB,sin()系。
一光滑导体棒AB0l2
与短边平行且与长边接触良好,电阻也是R,开始时导体棒处于x=0处,从t=0时刻起,
2
导体棒AB在沿x方向的力F作用下做速度为v的匀速运动,求:
(1)导体棒AB从x=0到x=2l的过程中力F随时间t变化的规律;
(2)导体棒AB从x=0到x=2l的过程中回路产生的热量。
解析:
(1)根据题意,在t时刻AB棒的坐标为x,vt;动生电动势E,Blv
vt13,Blvsin;而回路总电阻R,R,R,R;所以回路总电流总02l22
vt2Blvsin0E2l,,IR3R总
因为棒匀速运动,则有F,F,BIL安
vt,2222Blvsin02l2l解得F,(0?
t?
)v3R
(2)导体棒AB在切割磁感线过程中产生半个周期的正弦交流电,电流的有效值为
2Blv2BlvI1m00I,,,,有3R3R22
2根据Q=IRt总有
232Blv0解得:
Q,3R
3、用微元法(或基本积分)来计算
现在的高三学生,高中数学已经教授了导数和微积分的基本知识,例如常数的导
nn,1数为0,幂函数的导数为,sinx的导数为cosx,cosx的导数,sinx,对于电磁感xnx
应问题中,电流I随时间有规律变化的题型,可以尝试用微元法或积分进行计算。
0,例3、如图所示,两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行固定在倾角=37的绝缘斜面上,两导轨间距L=1m,导轨的电阻可忽略。
M、P两点间接有阻值为R的电阻。
一根质量m=1kg,电阻r=0.2Ω的均匀直金属杆ab放在两导轨上,与导轨垂直且接触良好。
整套装置处于磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中,磁场方向垂直于斜面向下,自图示位置起,杆ab受到大小为F=0.5V+2(式中V为杆ab运动的速度,力F的单位为N)、方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用,由静止开始运动,测得通过电阻R的电流随时间均匀增大。
g取
2010m/s,sin37=0.6。
3
(1)试判断金属杆ab在匀强磁场中做何种运动,并写出推理过程;
(2)求电阻的阻值R;
(3)求金属杆ab自静止开始下滑通过位移x=1m所需的时间t和该过程中整个回路产生的
焦耳热Q;
RMP
ab
Fx
B
NQ
EBLVI,,,Kt解析:
(1)根据题意,I,Kt(K为定值),而,R,rR,r
(R,r)Kt所以:
V==at,所以a为恒量,金属棒ab在匀强磁场中做初速度为0的匀BL
加速直线运动。
BLVI,
(2)根据闭合电路欧姆定律:
,由牛顿第二定律:
R,r
F,mgsin,F,ma安
F,BIL安
F,0.5v,2
联立以上式子,可解得
11,+8,a,,V2(4R,0.2)
11,由第
(1)题知:
加速度a为恒量,与V无关,所以,=0,可解得R=0.3,2(4R,0.2)
2并且a=8m/s。
(3)由于F=0.5V+2,F是变力,F与位移x的关系比较复杂,在中学阶段,求解金
属杆ab自静止开始下滑通过位移x=1m做的功对于一般学生是比较困难的,而
BLatI,,8t,所以可以用微元法或积分来计算焦耳热。
R,r
4
12由x=at,得t=0.5s,t=0.5s内产生的焦耳热2
143222,t,?
32,32?
32×(0.5),J微元法:
Q=?
I(R+r)t,tt,t33
33t(0.5)40.50.5220.5简单积分:
Q==32×,J,32tdt,32,tdt,32,000333
三、用W=Q间接计算的三种情形克安
1、用动能定律求解W克安
动能定理告诉我们,外力对物体所做的功,等于物体动能的变化,
1122mVmV,W,,,E合t0K22
例4、如图所示,一根质量为m的金属棒MN水平放置在两根竖直的光滑平行金属导轨上,并始终与导轨保持良好接触,导轨间距为L,导轨下端接一阻值为R的电阻,其余电阻不计.在空间内有垂直于导轨平面的磁场,磁感应强度大小只随竖直方向y变化,变化规律B=ky,k为大于零的常数.质量为M=4m的物体静止在倾角θ=30?
的光滑斜面上,并通过轻质光滑定滑轮和绝缘细绳与金属棒相连接.当金属棒沿y轴方向从y=0位置由静止开始向上运动h时,加速度恰好为0.不计空气阻力,斜面和磁场区域足够大,重力加速度为g.求:
(1)金属棒上升h时的速度
(2)金属棒上升h的过程中,电阻R上产生的热量;
解析:
(1)当金属棒上升h时,加速度为0,由整体法得:
0Mgsin30=mg+F安
金属棒受到的安培力F=BIL=KhIL安
KhLVmgR而感应电流I=,所以联立解得:
V=;222RKhL
(2)电阻R上产生的热量为Q,对整体运用动能定理:
12,(m,M)VMghsin,mgh,W=克安2
5
3225mgR所以W=mgh,克安4442KhL
3225mgR所以Q=W=mgh,克安4442KhL
可见,如果所研究的物体(物体系)同时受几个力的作用,这几个力中只有F是变安力,其余为恒力,并且初末速度已知,用动能定理来解决问题事半功倍。
2、用功能原理来求解W克安
机械能守恒定律告诉我们,在只有重力和弹力做功时,系统的机械能守恒,言下之意,如果除重力和弹力以外的其他力对物体也做功,系统的机械能就会发生变化,而且这些力做了多少功,系统的机械能就转化了多少,这就是功能原理。
例5、相距L,1.5m的足够长金属导轨竖直放置,质量为m,1kg的金属棒ab和质1
量为m,0.27kg的金属棒cd均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上,如图(a)所示,2
虚线上方磁场方向垂直纸面向里,虚线下方磁场方向竖直向下,两处磁场磁感应强度大小相同。
ab棒光滑,cd棒与导轨间动摩擦因数为μ,0.75,两棒总电阻为1.8Ω,导轨电阻不计。
ab棒在方向竖直向上,大小按图(b)所示规律变化的外力F作用下,从静止开始,沿导轨匀加速运动,同时cd棒也由静止释放。
(1)求出磁感应强度B的大小和ab棒加速度大小;
(2)已知在2s内外力F做功26.8J,求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热;
解析:
(1)由(b)图可得:
外力F=11+1.8t,对ab棒分析:
BLVF,mg,BL,ma11R总
6
而V=at,代入数据可解得:
2B2.25at2,利用(b)图,当t=0时,a=1m/s,所以:
1,(1.8t,),a1.8
22.25Bat=0,所以B=1.2T,1.8t,1.8
(2)2s内,ab棒上升的距离
12h,at,2m;2
ab棒增加的重力势能:
E,mgh,20JP1
12,E,mV,2Jab棒增加的动能:
K12
Eab棒增加的机械能:
=,E,,E,22JPK机
E由功能关系得:
W,W=也就是外力F做的功加上安培力做的功等于ab棒增克安F机
E加的机械能。
所以,W=W,=26.8,22,4.8J克安F机
从以上例题可以看出,功能原理也可以推广到电磁感应问题中,除重力(弹力)以外的外力(包括安培力)做的功等于物体机械能的变化量。
3、用能量守恒定律来求焦耳热Q
能量的转化与守恒定律是自然界的基本规律,也是物理学的重要规律,在电磁感应中用能量守恒来求解焦耳热历来是高考的热点、重点与难点。
例6、如图所示,两条光滑的绝缘导轨,导轨的水平部分与圆弧部分平滑连接,两导轨间距为L,导轨的水平部分有n段相同的匀强磁场区域(图中的虚线范围),磁场方向竖直向上,磁场的磁感应强度为B,磁场的宽度为s,相邻磁场区域的间距也为s,s大于L,磁场左右两边界均与导轨垂直。
现有一质量为m,电阻为r,边长为L的正方形金属框,由圆弧导轨上某高度处静止释放,金属框滑上水平导轨,在水平导轨上滑行一段时间进入磁场区域,最终线框恰好完全通过n段磁场区域。
地球表面处的重力加速度为g,感应电流的磁场可以忽略不计,求:
(1)刚开始下滑时,金属框重心离水平导轨所在平面的高度;
(2)整个过程中金属框内产生的电热
7
解析:
设金属框刚好完全进入水平轨道时的速度为V,考虑金属框进入第一个匀强磁0
场区域时受到安培力,由动量定理:
,即F,t,m,v安
2222BLBL;进行求和,,得到:
v,t,m,vv,t,m,v,,rr
22BLL,m,Vr
23BL所以:
,也就是金属框完全进入第一个磁场区域,速度变化量大V,,mr
23BL小为:
,根据对称性:
金属框从第一个磁场区域完全出来,速度变化量大小V,,mr
23BL也为:
,因此,金属框穿过第一个磁场区域,速度变化量大小为:
V,,mr
23BL2,U,V,2,mr
23nBL2,U根据题意,最终金属框完全通过n段磁场区域,所以:
V,0,n,0mr
设刚开始下滑时,金属框重心离水平导轨所在平面的高度为h,则有机械能守恒得:
22461VnBL202mgh,mVh,所以:
,0222g2mrg
(2)考虑整个过程,由能量守恒,金属框减少的机械能转化为焦耳热Q,所以:
4262BnLQ,mgh,2mr
电磁感应问题中焦耳热的求解是教学难点,在上述实例中,从不同角度、用不同的方法阐述了如何求解焦耳热,在实际教学中,通过归类讨论,有利于提高学生灵活运用所用知识解决实际问题的能力,有利于培养学生的创造性思维,开阔学生解题的思路。
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