完整版证明圆的切线经典例题.docx
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完整版证明圆的切线经典例题
证明圆的切线方法及例题
证明圆的切线常用的方法有:
一、若直线I过OO上某一点A,证明I是OO的切线,只需连OA,证明OA丄I就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直•
例1如图,在厶ABC中,AB=AC,以AB为直径的OO交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交0D延长线于F.
求证:
EF与O0相切.
证明:
连结OE,AD.
•/AB是O0的直径,
•••AD丄BC.
又•••AB=BC,
•••/3=/4.
——
•BD=DE,/1=/2.
又•••OB=OE,OF=OF,
•••△BOF◎△EOF(SAS)
•••/OBF=/OEF.
•••BF与OO相切,
•OB丄BF.
•••/OEF=9O°.
•EF与OO相切.
说明:
此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2如图,AD是/BAC的平分线,求证:
PA与OO相切.
证明一:
作直径AE,连结EC.
•/AD是/BAC的平分线,
•••/DAB=/DAC.
•/PA=PD,
•••/2=/1+/DAC.
•••/2=/B+/DAB,
•••/1=/B.
P为BC延长线上一点,且PA=PD.
•/AE是OO的直径,
•AC丄EC,/E+/EAC=90°.
•••/1+/EAC=90°.
即OA丄PA.
•PA与OO相切.
证明二:
延长AD交OO于E,连结
•/AD是/BAC的平分线,
•BE=CE,
•OE丄BC.
•••/E+/BDE=900.
•/OA=OE,
•••/E=/1.
P
•/PA=PD,
•••/PAD=/PDA.
又•••/PDA=/BDE,
说明:
例3
求证:
证明一
证明二
•••/1+/PAD=90°
即OA丄PA.
•PA与OO相切
此题是通过证明两角互余,证明垂直的如图,AB=AC,AB是OO的直径,
DM与OO相切.
:
连结OD.
-AB=AC,
•/B=/C.
-OB=OD,
•/仁/B.
•/仁/C.
•OD//AC.
-DM丄AC,
•DM丄OD.
•DM与OO相切
:
连结OD,AD.
•/AB是OO的直径,
•AD丄BC.
又•••AB=AC,
•/1=/2.
•/DM丄AC,
•/2+Z4=90°
•/OA=OD,
•/仁/3.
,解题中要注意知识的综合运用
OO交BC于D,DM丄AC于M
•/3+/4=90°.
即0D丄DM.
•••DM是OO的切线
C在OO上,且/CAB=30°,BD=OB,
3证明垂直的,此题解法颇多,但这种方法较
解题中注意充分利用已知及图上已知
例4如图,已知:
AB是O0的直径,点
D在AB的延长线上.
求证:
DC是O0的切线
证明:
连结OC、BC.
•/OA=OC,
•••/A=/1=/30°.
•••/BOC=/A+/1=60°.
又•••OC=OB,
•△OBC是等边三角形
•OB=BC.
•/OB=BD,
•OB=BC=BD.
•OC丄CD.
•DC是OO的切线.
说明:
此题是根据圆周角定理的推论
例5如图,AB是OO的直径,CD丄AB,且OA2=OD•OP.
求证:
PC是OO的切线.
证明:
连结OC
•/OA2=OD•OP,OA=OC,
•OC2=OD•OP,
OCopODOC.
又•••/1=/1,
•••△OCPs\ODC.
•••/OCP=/ODC.
•/CD丄AB,
•••/OCP=9O°.
•PC是OO的切线.
说明:
此题是通过证三角形相似证明垂直的
例6如图,ABCD是正方形,G是BC延长线上一点,AG交BD于E,交CD于
F.
求证:
CE与厶CFG的外接圆相切
分析:
此题图上没有画出△CFG的外接圆,但△CFG是直角三角形,圆心在斜边
FG的中点,
证明:
为此我们取FG的中点O,连结.OC,证明CE丄OC即可得解.
取FG中点O,连结OC.
TABCD是正方形,
•BC丄CD,△CFG是Rt△
•/O是FG的中点,
E
C
•O是RtACFG的外心.
•/OC=OG,
•••/3=/G,
•/AD//BC,
•/G=/4.
•/AD=CD,DE=DE,
/ADE=/CDE=45°,
•△ADECDE(SAS)
•••/4=/1,Z1=/3.
•••/2+/3=90°,
•••/1+/2=90°.
即CE丄OC.
•CE与厶CFG的外接圆相切
、若直线I与OO没有已知的公共点,又要证明I是OO的切线,只需作OA丄I,
A为垂足,证明OA是OO的半径就行了,简称:
"作垂直;证半径”
例7如图,AB=AC,D为BC中点,OD与AB切于E点.
求证:
AC与OD相切.
证明一:
连结DE,作DF丄AC,F是垂足.
•••AB是OD的切线,
•DE丄AB.
•/DF丄AC,
•••/DEB=/DFC=90°.
•/AB=AC,
•••/B=/C.
又•••BD=CD,
•••△BDE也厶CDF(AAS)•DF=DE.
•AC是OD的切线
证明二:
连结DE,AD,作DF丄AC,F是垂足.
•••AB与OD相切,
•DE丄AB.
•/AB=AC,BD=CD,
•/DE丄AB,DF丄AC,
•••DE=DF.
•••F在OD上.
•AC与OD相切.
说明:
证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的,证明二是利用角平分线的性
质证明DF=DE的,这类习题多数与角平分线有关•
例8已知:
如图,AC,BD与OO切于A、B,且AC//BD,若/COD=9O0.求证:
CD是OO的切线.
证明一:
连结OA,OB,作OE丄CD,E为垂足.
•••/4+/5=90°.
•••/1=/5.
•Rt△AOCsRt△BDO.
•ACOC
"OBOD.
•/OA=OB,
•ACOC
…OAOD.
又•••/CAO=/COD=90°,
•△AOCODC,
•••/1=/2.
又•••OA丄AC,OE丄CD,
•••OE=OA.
•••E点在OO上.
•CD是OO的切线.
证明二:
连结OA,OB,作OE丄CD于E,延长DO交CA延长线于F.
•••AC,BD与OO相切,
•AC丄OA,BD丄OB.
•/AC//BD,
•••/F=ZBDO.
又•••OA=OB,
•△AOF◎△BOD(AAS
•OF=OD.
•••/COD=9O°,
•CF=CD,/1=/2.
又•••OA丄AC,OE丄CD,
•OE=OA.
•E点在OO上.
•CD是OO的切线.
证明三:
连结AO并延长,作OE丄CD于E,取CD中点F,连结OF.
•••AC与OO相切,
•AC丄AO.
•/AC//BD,•AO丄BD.
•••BD与OO相切于B,
•AO的延长线必经过点
•AB是OO的直径.
•/AC//BD,OA=OB,
•••OF//AC,
•••/仁/COF.
•••/COD=90°,CF=DF,
1
•OF—CDCF.
2
•••/2=ZCOF.
•••/仁/2.
•/OA丄AC,OE丄CD,
•OE=OA.
•E点在OO上.
•CD是OO的切线
说明:
证明一是利用相似三角形证明/1=/2,证明二是利用等腰三角形三线合一
证明/1=/2.证明三是利用梯形的性质证明/1=/2,这种方法必需先证明A、0、B
三点共线.
以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考
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