7-3加乘原理综合应用.题库版.doc
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加乘原理综合运用
知识框架图
7计数综合
7-3加乘原理综合运用
7-3-1简单加乘原理综合运用
7-3-2加乘原理与数字问题
7-3-3加乘原理与图论
教学目标
1.复习乘法原理和加法原理;
2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力.
3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题,掌握常见的计数方法,会使用这些方法解决问题.
在分类讨论中结合分步分析,在分步分析中结合分类讨论;教师应该明确并强调哪些是分类,哪些是分步.并了解与加、乘原理相关的常见题型:
数论类问题、染色问题、图形组合.
知识要点
一、加乘原理概念
生活中常有这样的情况:
在做一件事时,有几类不同的方法,在具体做的时候,只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成,并且这几类方法是互不影响的.那么考虑完成这件事所有可能的做法,就要用到加法原理来解决.
还有这样的一种情况:
就是在做一件事时,要分几步才能完成,而在完成每一步时,又有几种不同的方法.要知道完成这件事情共有多少种方法,就要用到乘法原理来解决.
二、加乘原理应用
应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点:
⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和.
⑵乘法原理是把一件事分几步完成,这几步缺一不可,所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积.
⑶在很多题目中,加法原理和乘法原理都不是单独出现的,这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理,综合分析,正确作出分类和分步.
加法原理运用的范围:
完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决.我们可以简记为:
“加法分类,类类独立”.
乘法原理运用的范围:
这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的,这样的问题可以使用乘法原理解决.我们可以简记为:
“乘法分步,步步相关”.
例题精讲
模块一、简单加乘原理综合应用
【例1】商店里有2种巧克力糖:
牛奶味、榛仁味;有2种水果糖:
苹果味、梨味、橙味.小明想买一些糖送给他的小朋友.
⑴如果小明只买一种糖,他有几种选法?
⑵如果小明想买水果糖、巧克力糖各种,他有几种选法?
(2级)
【解析】⑴小明只买一种糖,完成这件事一步即可完成,有两类办法:
第一类是从种巧克力糖中选一种
有种办法;第二类是从种水果糖中选一种,有种办法.因此,小明有种选糖的方法.
⑵小明完成这件事要分两步,每步分别有种、种方法,因此有种方法.
【例2】从北京到广州可以选择直达的飞机和火车,也可以选择中途在上海或者武汉作停留,已知北京到上海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车.问,从北京到广州一共有多少种交通方式供选择?
(2级)
【解析】从北京转道上海到广州一共有种方法,从北京转道武汉到广州一共也有种方法供选择,从北京直接去广州有2种方法,所以一共有种方法.
【例3】从学而思学校到王明家有3条路可走,从王明家到张老师家有2条路可走,从学而思学校到张老师家有3条路可走,那么从学而思学校到张老师家共有多少种走法?
(2级)
【解析】根据乘法原理,经过王明家到张老师家的走法一共有种方法,从学而思学校直接去张老师家一共有3条路可走,根据加法原理,一共有种走法.
【巩固】如下图,从甲地到乙地有2条路,从乙地到丙地有4条路,从甲地到丁地有3条路可走,从丁地到丙地也有3条路,请问从甲地到丙地共有多少种不同走法?
(2级)
【解析】从甲地到丙地有两种方法:
第一类,从甲地经过乙地到丙地,根据乘法原理,走法一共有种方法,;第二类,从甲地经过丁地到丙地,一共有种方法.根据加法原理,一共有种走法.
【巩固】王老师从重庆到南京,他可以乘飞机、汽车直接到达,也可以先到武汉,再由武汉到南京.他从重庆到武汉可乘船,也可乘火车;又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机,如图.那么王老师从重庆到南京有多少种不同走法呢?
(2级)
【解析】从重庆到南京的走法有两类:
第一类从重庆经过武汉去南京,根据乘法原理,有(种)走法;第二类不经过武汉,有2种走法.根据加法原理,从重庆到南京一共有种不同走法.
【例4】如下图,八面体有12条棱,6个顶点.一只蚂蚁从顶点出发,沿棱爬行,要求恰好经过每一个顶点一次.问共有多少种不同的走法?
(6级)
【解析】走完6个顶点,有5个步骤,可分为两大类:
①第二次走点:
就是意味着从点出发,我们要先走,,,中间的一点,再经过点,但之后只能走,点,最后选择后面两点.
有种(从到的话,是不能到的);
②第二次不走:
有种(同理,不能到);
共计:
种.
【例5】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读,那么共有多少种不同的选择?
(4级)
【解析】因为强调2本书来自不同的学科,所以共有三种情况:
来自语文、数学:
3×4=12;来自语文、外语:
3×5=15;来自数学、外语:
4×5=20;所以共有12+15+20=47.
【例6】某条铁路线上,包括起点和终点在内原来共有7个车站,现在新增了3个车站,铁路上两站之间往返的车票不一样,那么,这样需要增加多少种不同的车票?
(6级)
【解析】1、新站为起点,旧站为终点有3×7=21张,2、旧站为起点,新站为终点有7×3=21张,3、起点、终点均为新站有3×2=6张,以上共有21+21+6=48张 .
【例7】某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成.现有钳工3人、电工3人,另有1人钳工、电工都会.从7人中挑选4人完成这项工作,共有多少种方法?
(6级)
【解析】分两类情况讨论:
⑴都会的这1人被挑选中,则有:
①如果这人做钳工的话,则再按乘法原理,先选一名钳工有3种方法,再选2名电工也有3种方法;所以有种方法;
②同样,这人做电工,也有9种方法.
⑵都会的这一人没有被挑选,则从3名钳工中选2人,有3种方法;从3名电工中选2人,也有3种方法,一共有种方法.
所以,根据加法原理,一共有种方法.
【例8】某信号兵用红,黄,蓝,绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号.每次可挂一面,二面或三面,并且不同的顺序,不同的位置表示不同的信号.一共可以表示出多少种不同的信号?
(6级)
【解析】由于每次可挂一面、二面或三面旗子,我们可以根据旗杆上旗子的面数分三类考虑:
第一类,可以从四种颜色中任选一种,有4种表示法;
第二类,要分两步完成:
第一步,第一面旗子可以从四种颜色中选一种,有4种选法;第二步,第二面旗子可从剩下的三种中选一种,有3种选法.根据乘法原理,共有种表示法;
第三类,要分三步完成:
第一步,第一面旗子可以从四种颜色中选一种,有4种选法;第二步,第二面旗子可从剩下的三种中选一种,有3种选法;第三步,第三面旗子可从剩下的两种颜色中选一种,有2种选法.根据乘法原理,共有种表示法.
根据加法原理,一共可以表示出种不同的信号.
【巩固】五面五种颜色的小旗,任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号,问:
共可以表示多少种不同的信号?
(6级)
【解析】分3种情况:
⑴取出一面,有5种信号;
⑵取出两面:
可以表示种信号;
⑶取出三面:
可以表示:
种信号;
由加法原理,一共可以表示:
种信号.
【例9】五种颜色不同的信号旗,各有5面,任意取出三面排成一行,表示一种信号,问:
共可以表示多少种不同的信号?
(6级)
【解析】方法一:
取出的3面旗子,可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色,应按此进行分类
⑴一种颜色:
5种可能;
⑵两种颜色:
⑶三种颜色:
所以,一共可以表示种不同的信号
方法二:
每一个位置都有5种颜色可选,所以共有种.
【巩固】红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗,各有2,2,3,3面,任意取出三面按顺序排成一行,表示一种信号,问:
共可以表示多少种不同的信号?
如果白旗不能打头又有多少种?
(6级)
【解析】
(一)取出的3面旗子,可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色,应按此进行分类
第一类,一种颜色:
都是蓝色的或者都是白色的,2种可能;
第二类,两种颜色:
第三类,三种颜色:
所以,根据加法原理,一共可以表示种不同的信号.
(二)白棋打头的信号,后两面旗有种情况.所以白棋不打头的信号有种.
【例10】(2008年清华附中考题)小红和小明举行象棋比赛,按比赛规定,谁先胜头两局谁赢,如果没有胜头两局,谁先胜三局谁赢.共有种可能的情况.(6级)
【解析】小红和小明如果有谁胜了头两局,则胜者赢,此时共2种情况;如果没有人胜头两局,即头两局中两人各胜一局,则最少再进行两局、最多再进行三局,必有一人胜三局,如果只需再进行两局,则这两局的胜者为同一人,对此共有种情况;如果还需进行三局,则后三局中有一人胜两局,另一人只胜一局,且这一局不能为最后一局,只能为第三局或第四局,此时共有种情况,所以共有种情况.
【例11】(2009年“数学解题能力展示”中年级复赛试题)过年了,妈妈买了7件不同的礼物,要送给亲朋好友的5个孩子每人一件.其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个,朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件.那么,妈妈送出这5件礼物共有 种方法.(6级)
【解析】若将遥控汽车给小强,则学习机要给小玉,此时另外3个孩子在剩余5件礼物中任选3件,有种方法;若将遥控车给小玉,则智力拼图要给小强,此时也有60种方法;若遥控车既不给小强、也不给小玉,则智力拼图要给小强,学习机要给小玉,此时仍然有60种方法.所以共有种方法.
【例12】有3所学校共订300份中国少年报,每所学校订了至少98份,至多102份.问:
一共有多少种不同的订法?
(6级)
【解析】可以分三种情况来考虑:
⑴3所学校订的报纸数量互不相同,有98,100,102;99,100,101两种组合,每种组各有种不同的排列,此时有种订法.
⑵3所学校订的报纸数量有2所相同,有98,101,101;99,99,102两种组合,每种组各有3种不同的排列,此时有种订法.
⑶3所学校订的报纸数量都相同,只有100,100,100一种订法.
由加法原理,不同的订法一共有种.
【例13】玩具厂生产一种玩具棒,共节,用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色.这家厂共可生产________种颜色不同的玩具棒.(8级)
【解析】每节有种涂法,共有涂法(种).但上述种涂法中,有些涂法属于重复计算,这是因为有些游戏棒倒过来放时的颜色与顺着放时的颜色一样,却被我们当做两种颜色计算了两次.
可以发现只有游戏棒的颜色关于中点对称时才没有被重复计算,关于中点对称的游戏棒有(种).故玩具棒最多有种不同的颜色.
【例14】奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特,他们文字的每个单词都由个字母、、、、组成,并且所有的单词都有着如下的规律,⑴字母不打头,⑵单词中每个字母后边必然紧跟着字母,⑶和不会出现在同一个字母之中,那么由四个字母构成的单词一共有多少种?
(8级)
【解析】分为三种:
第一种:
有两个的情况只有1种
第二种,有一个的情况,又分3类
第一类,在第一个位置,则在第二个位置,后边的排列有种,减去、同时出现的两种,总共有14种,
第二类,在第二个位置,则在第三个位置,总共有种.
第三类,在第三个位置,则在第四个位置,总共有种.
第三种,没有的情况:
分别计算没有的情况:
种.
没有的情况:
种.
没有、的情况:
种.
由容斥原理得到一共有种.
所以,根据加法原理,
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